扩张的圈Schrödinger-Virasoro 代数的二上同调群

王 松, 王晓明

(上海海洋大学信息学院,上海201306)

1 引言

众所周知, Schrödinger 代数和Virasoro 代数与非平衡统计物理密切相关, 它们在数学和物理学(如统计物理学) 的许多领域中都有着重要的作用. Schrödinger-Virasoro 代数sb 最初是由Henkel 在研究自由Schrödinger 方程的不变性时被引入文献[1], 其结构和表示理论被Roger 和Unterberger 在文献[2] 深入研究. 比如, Henkel 在文献[1] 中给出了sb 只有一维中心扩张. Roger 和Unterberger 在研究sb 的同调理论时得出了有三维外导子[2]. sb 上的有限维不可约权模在文献[3] 中被分类. 广义的Schrödinger-Virasoro 代数的自同构群及Verma 模被完全确定[4]. 最近几年Schrödinger-Virasoro 代数及其变形的结构和表示理论被许多学者广泛研究[5−8]. 为了研究sb 的顶点表示, Unterberger 介绍了一类新的无限维李代数[9], 称之为扩张的Schrödinger-Virasoro 代数该李代数是复数域C 上的向量空间, 带有一组基满足李积关系

该无限维李代数的导子、自同构群及中心扩张等结构理论在文献[10] 中被完全刻画.

对任意的m,n,i,j ∈Z, 其中Lm,i表示Lm⊗ti, 其他定义类似.

由于李代数的二上循环在其中心扩张方面起着关键作用, 可以借助它构造许多无限维李代数, 并且可以进一步刻画所得李代数的结构及表示. 同时上同调群和李代数的结构密切相关, 比如一阶同调群和李代数的导子代数及李双代数的联系, 从而上同调群的计算就显得比较重要. 本文主要确定了扩张的圈Schrödinger-Virasoro 代数的所有二上同调群, 并且给出了它的泛中心扩张. 我们希望借助于中心扩张能够进一步深刻理解的结构及其表示.

2 扩张的圈Schrödinger-Virasoro 代数的二上同调群

令φ=ψ −ψf, 其中ψf即为(2.1) 式中的定义, 显然很容易验证

下面通过几个引理给出主要结果.

引理2.1

证由二上循环φ 的关系知

整理得

引理2.2

证由二上循环φ 的关系知

整理得

引理2.3

证由二上循环φ 的关系知

整理得

则有

引理2.4

证由关系

整理得

又由关系

整理得

取n=m, 则有

在(2.10) 式中令m=−n, 则有

从而

由(2.11) 和(2.12) 式, 得到

上式说明仅与第二个指标的和i + j + k 有关, 而与位置无关, 从而不妨设Am,i+j=φ(Lm,i+j,M−m,0). 在(2.10) 式中取m=1, 又由(2.5) 式有

在(2.14) 式中用n −1 替换n, 则有

在(2.10) 式中取n=n −1,m=2, 可得

将(2.14),(2.15) 和(2.16) 式联立方程, 解得

在(2.10) 式中令m=2,n=−1, 从而

由(2.17) 和(2.18) 式, 得到

考虑关系

又由关系

整理得到

在(2.21) 式中取m=0, 则有

在上式取n=−2, 结合(2.5) 式, 从而有

由(2.19),(2.22) 及(2.23) 式, 可得

上式也说明仅与第二个指标的和i+j+k 有关, 而与位置无关. 当n=−2 时, 由φ 的反对称性及上式知

在(2.24) 式中分别取n=2,−3, 则有

由φ 的反对称性知A2,i+j+k=0. 从而由(2.19), (2.24) 和(2.25) 式知

引理2.5φ(Mm,i,Mn,j)=0, ∀m,n,i,j ∈Z.

证由于

从而有

又由

则有

在(2.27) 式中令m=0, 则有

在(2.27) 式中令n=0, 可得

综合(2.28) 和(2.29) 式, 有

上式说明仅与第二个指标的和i + j + k 有关, 而与位置无关. 从而不妨令Bn,i+j=φ(Mn,i+j,M−n,0), 在式(2.27) 式中取n=1, 则有

又由

从而

在上式中取m=2,n=−2, 可得B1,i+j+k=0, 由(2.30) 式知

综合(2.26) 和(2.31) 式, 得到

引理2.6φ(Mm,i,Nn,j)=0, ∀m,n,i,j ∈Z.

证由关系

从而由(2.4) 式得

又由关系

结合引理2.4, 整理得

若m=0, 则有

在(2.33) 式中令n=0, 可得

由(2.33) 和(2.35) 式, 有

上式说明仅与第二个指标的和i+j+k 有关,而与位置无关.不妨设Cn,i+j=φ(Mn,i+j,N−n,0),在(2.33) 中令n=1, 则有

又由关系

又由引理2.4, 整理得

在上式令n=1,m=−1, 则有C1,i+j+k=0, 从而由(2.37) 式, 知

由上式结合(2.32) 式, 就可得到

引理2.7

证由关系

由(2.6) 式, 则有

又由关系

整理得

在上式中取m=n, 则有

在(2.40) 式中取m=−n, 可得

由(2.41) 和(2.42) 式, 则有

上式说明仅与第二个指标的和i+j+k 有关,而与位置无关.不妨设Dn,i+j=φ(Ln,i+j,N−n,0),在(2.40) 式中取n=1, 结合(2.7) 式, 则有

在上式用m −1 替换m, 有

在(2.40) 式中令n=2,m=m −1, 得到

将式(2.44),(2.45) 和(2.46) 式联立方程, 解得

在(2.40) 式中取m=2,n=−1, 结合(2.7) 式, 易得D2=D−1, 从而由(2.47) 式就有

由上式和(2.39) 式, 有

引理2.8φ(Nm,i,Nn,j)=δm+n,0mφ(N1,i+j,N−1,0), ∀m,n,i,j ∈Z.

证由关系

整理得

又由关系

从而有

在上式取m=0, 则有

在(2.49) 式中取m=−n, 可得

由(2.50) 和(2.51) 式, 有

上式说明仅与第二个指标的和i+j+k 有关,而与位置无关.不妨设En,i+j=φ(Nn,i+j,N−n,0),在(2.49) 式中令n=1, 就有

引理2.9

证由关系

由上式及(2.2) 式可得

考虑关系

整理得

在上式中令n=m, 则有

在(2.55) 式中取m=−n=1, 结合上式可得

由(2.56) 和(2.57) 式, 有

上式说明仅与第二个指标的和i+j+k 有关,而与位置无关.不妨设Fn,i+j=φ(Lm,i+j,L−m,0),在(2.55) 式中令m=1, 结合(2.3) 式, 则有

将上式n 由n −1 替代, 从而

在(2.55) 式中取m=2,n=n −1, 可得

将(2.59),(2.60) 和(2.61) 式联立方程组, 解得

由引理2.1–2.9, 我们就可以得到本文的主要定理.

定理2.1二上同调群

注考虑中心扩张满足李积关系: 对于任意给定的k ∈Z, 有