基于动磁测量与BFGS法求解的鱼雷近场定位算法

李 伟，李 斌2，邓 鹏，许 政

(1.海军潜艇学院 战略导弹与水中兵器系，山东 青岛 266100； 2.西北工业大学 航海学院，陕西 西安 710000)

随着海洋科学及水中兵器的不断发展，水下目标定位领域越来越受到人们的重视，在水下无人潜航器的探测、海洋勘探、水中兵器试验与靶场建设方面有重要意义。利用水下定位技术，可判断我舰附近有无敌侦查兵力；可试验新研发水中兵器自导能力，测量其全弹道轨迹及脱靶量，为武器的成功研制与定型提供助力；可使武器试验靶场有更全面的手段测试武器性能等重要作用。

利用水声手段可定位水下运动目标前、中段的航迹，在目标远场测量上更有优势，有超短基线测量系统，短基线测量系统，长基线测量系统等，配合以卫星定位，可以实现精度较高的水下定位[1-3]。这些测量系统组件庞大，需要在特定海域海底铺设水声应答器，在水面测量舰船底部安装换能器，在水下运动目标上面安装水声收发器，限制了试验海区与特定的水下目标，使得系统建造与维护成本巨大。水下运动目标近场测量时，例如武器过靶弹道及脱靶量测量，水声定位方法不能满足其要求，测量精度会急速降低，这是因为水面舰艇附近声场环境复杂，舰船噪音、环境噪音与海洋混响为水声定位带来困难，使该方法难以测量武器末弹道与脱靶量信息，这为靶场建设、全弹道测量与新武器研发带来困难[4-5]。

在测量距离远大于目标形体尺寸时，可将目标看作磁偶极子模型，利用测得的三分量磁场强度值可反演出目标的位置实现定位。文献[6]提出了一种利用单个空间点的磁场强度及磁场梯度建立线性方程的方法，该方法计算方式更为简单，但非线性问题完全线性化会使得测量精度不能得到满足，且单个空间点获得的数据过于单一，降低了定位可信程度。文献[7]基于磁偶极子模型设计了一种用二次差分矩阵法(SDMM)和频谱匹配法(FDMM)进行目标定位与参数估计的方法，磁测系统海湖试验或工程应用时，用于测量的阵列中传感器数目有限，可以用于参数估计的数据量有限，小样本统计会降低参数估计的准确度。文献[8]提出了一种基于三维场的两点法测量辐射磁矩，其偶极子反演模型也与之匹配，但该方法必须使传感器阵元处在辐射源的径向，无法对水下高速运动机动目标进行定位。

本文设计了一种新的磁偶极子反演定位算法，该算法基于磁传感器阵列测得的水下异常动磁场磁场强度值，利用目标固有磁场实现被动测量，丰富了弹道测量中末弹道近场测量方式。目标磁感应曲线是闭合曲线，目标磁场辐射范围较近，这为目标的高精度定位提供了基础；借助电磁噪音抑制与电磁兼容技术，舰船附近磁场环境比声场环境更易于实现目标的近场定位；此外，相对水声定位系统而言，该测量系统的构建成本较低，维护与升级也更为简单。

1 基于动磁测量的近场定位实现

水下目标磁场以固定频率辐射展开，可以很好地与舰船设备造成的干扰磁场区分，通过滤波与降噪，可大幅度降低环境干扰，使目标磁场信号更为凸显。首先采用带通滤波提取出目标的交变磁场信息，然后运用同频同相的线性解调方法将交变磁场信息转换为类似于静态磁场的幅度变化曲线，再采用磁偶极子模型反演出目标的位置信息和运动状态[9-10]。

1.1 环电流下的磁偶极子模型

依据磁偶极子辐射规律与近场空间各点磁场强度计算方法，可将水下目标产生的磁场看作磁偶极子模型，环电流I产生的磁偶极子示意图如图1所示，其中空间任意一点M的球坐标为(r,φ,θ)，半径为R的环电流产生的磁矩如式(1)所示。

图1 环电流产生的磁偶极子

Pm=I·S·n

(1)

式中，S为环电流的面积,n为环电流平面的法向量。由文献[6]知磁偶极子轴向产生的磁感应强度为

(2)

可以看出磁偶极子产生的磁感应强度大小与磁矩大小成正比，与距离的三次方成反比，即磁感应强度大小以距离r三次方的速率衰减。而磁偶极子在任意空间点M产生的磁感应强度的大小为[6]

(3)

1.2 目标交变信号变换与预处理

假设交变磁场信号为H0cos(ωt+ρ)，首先将采集的磁场信号通过傅里叶变换求出磁场信号的频率f，可得ω=2πf。然后将原始信号分别乘以sin(ωt)和cos(ωt)，可以得到Sa(t)和Sb(t)的关系式：

Sa(t)=H0cos(ωt+ρ)·sinωt

(4)

Sb(t) =H0cos(ωt+ρ)·cosωt

(5)

分别将Sa(t)和Sb(t)通过低通滤波器，滤掉交流部分后通过三角函数反正切函数即可求得原始交变磁场信号的初始相位ρ，其具体求解过程如图2所示。

图2 初始相位的求取过程示意图

将原始信号H0cos(ωt+ρ)与同频同相相干载波相乘后得：

Sp(t)=H0cos(ωt+ρ)·cos(ωt+ρ)

(6)

经低通滤波后，乘以系数2便可得到原始交变磁场信号的幅度H0。对n个不同测点上采集的交变磁场信号逐一进行相干解调，便可得到交变磁场源运动过程中信号幅度H0的变化曲线。

1.3 磁偶极子反演定位算法

建立如图3所示的坐标系，磁偶极子位于空间点P0(x0,y0,z0)，磁偶极矩为[8]

M0=Mx0i+My0j+Mz0k

(7)

图3 磁偶极子磁场示意图

它在空间任意一P(x,y,z)点所产生的磁位与磁场分别为

(8)

(9)

由此可得到M0在x方向的磁矩Mx0在P(x,y,z)点沿x，y，z三个方向所产生的磁场强度为

(10)

同理可得到My0和Mz0在空间点P(x,y,z)上所产生的磁场强度为

(11)

(12)

式中，单位采用MSK制，磁场强度的单位为A/m，若令：

(13)

(14)

(15)

则磁偶极矩M0产生的磁场强度可表示为矩阵形式：

(16)

记为

H0=F0·M0

(17)

目标的磁定位问题就是求解下面非线性无约束方程组的最优化问题：

(18)

式中，F0为关于目标位置的系数矩阵;M0为磁场模型的磁矩参数;H0为三分量感应式磁通门传感器测得的交变磁场信号经过相干解调后的磁场强度变化曲线;目标函数E0为定位参数的非线性函数。

1.4 非线性无约束优化计算方法

在式(18)描述的求解目标磁定位问题的无约束非线性优化问题中，由于方程呈现一定的非线性，必须选择合适的机器学习优化算法来实现磁目标定位的无差、快速、稳定收敛等要求。这里拟采用一种非线性优化中的拟牛顿法，配合BFGS算法，该方法是数值效果最好的拟牛顿法，并且具有全局收敛性与超线性收敛速度，可以实现磁目标定位问题中的多数据融合与数据快速处理的目标。

牛顿法的特点是收敛速度快，迭代次数少，拟牛顿法在此基础上引入了Hessian矩阵的近似矩阵，减少Hessian矩阵的计算中不断求逆的过程，它的收敛速度介于梯度下降法与牛顿法之间。拟牛顿法适用于非海量数据环境下的优化，虽然每次迭代不像牛顿法一样保证最优方向，但是Hessian近似矩阵始终是正定的，因此算法始终朝着最优化的方向搜索[11]。

拟牛顿法的基本思想是用Hessian矩阵的某个近似矩阵来代替，首先泰勒公式如下：

(19)

泰勒公式是用一个近似多项式来代替复杂的函数表达式。对于拟牛顿法来说，构造二次型：

f(X)=f(Xi+1)+(X-Xi+1)T▽f(Xi+1)+

(20)

忽略高阶无穷小部分，进而求导得到：

▽f(X)≈▽f(Xi+1)+Hi+1(X-Xi+1)

(21)

令X=Xi，那么得到：

(22)

Bi+1[▽f(Xi+1)-▽f(Xi)]≈Xi+1-Xi

(23)

方程(23)就是拟牛顿方程，所以关键的问题就是如何求解每一步的Bi+1。拟采用BFGS算法计算，迭代如下[11]：

(24)

(25)

这就是BFGS算法的原理，这样可以迭代求解每一步的Bi+1，进而实现磁定位目标函数拟牛顿法的非线性优化计算。

2 动磁源定位试验及定位算法效用分析

当前不具备海湖水下试验的条件，拟采用陆上试验的方法构建系统，验证算法的定位准确性及拟牛顿法的计算难易程度。陆上试验是水下系统试验的常用手段，只要满足一定的条件，也可获得有参考价值的规律。陆上试验时，必须对试验环境做相应的要求，试验场地应远离工厂等电器设备较多的地域，减少50 Hz工频及倍频程的电磁干扰；动磁源载体运动时必须满足平稳、匀速的要求，减弱运动振动时传感器线圈切割地磁磁感线造成的振动电磁干扰，在运动载体上布防减振材料。

2.1 基于磁测阵列的动磁源近场定位试验方法

建立如图4所示的坐标系，将12只感应式磁通门传感器按图示位置布置，每个传感器连接一枚数据采集卡，对采集到的磁信号进行寄存、滤波、格式转换并与上位机程序通信，为总线提供接口。总线采用CAN卡局域网，收集数据与计算机进行信息交互，为应用程序提供命令流与数据流通道。上位机软件是基于CVI平台自主开发应用程序，该平台包含很多与测试、数据采集、快速信息处理、信息融合有关的数据库与库函数，利于软件开发。该程序可以实现如下功能：选择通道、波特率、采集频率、滤波方式；用指示灯的强弱表示各传感器信号强度大小，设置阈值后，高于阈值的信号灯会被点亮；用不同颜色曲线显示各传感器采集信号的时域变化，并将采集到的三分量磁场强度矩阵存储在计算机上，有待后期利用磁偶极子模型反演动磁源位置信息。

图4 动磁源相对磁测阵列运动态势图

动磁源采用磁性辐射棒，波形发生器可产生不同类型的波形信号，实验时采用正弦波，幅值为20 V，频率为450 Hz，占空比为50%，偏置为0，功放放大倍数为两倍。辐射棒产生的磁矩与加在上面的功率成正比，磁场辐射强度与磁矩成正比，与距离的三次方成反比，如式(2)与式(3)所示。

为保证辐射棒可以匀速平稳运行，减少振荡误差，用电动车作为载体，将辐射棒置于电动车上，下面垫减振材料。磁源运动轨迹如图4箭头所示，辐射棒从7#传感器附近出发，向12#运动，到达12#后转向1号，再沿着1#～6#的途径返回。

试验共进行两次，一次缓速(约3 m/s)，一次快速(约6 m/s)，测试系统性能与验证磁偶极子反演算法定位准确性、精度，并在过程中实时测量辐射源在传感器阵列中的实际位置，与定位坐标进行对比，求其相对定位误差。

2.2 动磁源定位结果及算法效用分析

为方便与实际位置比较，采取T0～T14这15个时刻点的三分量磁场强度值作为输入，采用式(18)所示的目标函数进行定位。动磁源缓速(约3 m/s)运动轨迹如图5所示，快速(约6 m/s)运动轨迹如图6所示，其横纵坐标单位为米(m)，满足图4建立的坐标系。图中光滑曲线是利用算法定位后，由定位点P0～P14连接起来的折线，而“*”点则为同一时刻动磁源的实际测量位置，限于篇幅，具体定位点与测量点坐标不再一一陈列。观察图5与图6，定位位置与实测位置比较接近，误差分析如表1所示,表中F表示Fast快速通过(约6 m/s)，L表示Low缓速通过(约3 m/s)，矢量差模值的单位为米(m)，表中快速与缓速通过的时刻点T分别属于两段时间，在不至于混淆的前提下，方便制表用统一符号表示。

图5 辐射棒缓速通过阵列运动轨迹图

图6 辐射棒快速通过运动轨迹

T矢量差模值(F)相对误差(F)矢量差模值(L)相对误差(L)T00.132.40%0.081.68%T10.181.84%0.171.84%T20.020.12%0.060.37%T30.271.19%0.120.54%T40.331.13%0.20.68%T50.260.77%0.20.58%T60.340.97%0.441.24%T70.370.10%0.782.01%T80.481.37%0.130.34%T91.213.66%0.130.37%T100.010.03%0.210.69%T110.451.90%0.230.93%T120.311.65%0.030.16%T130.221.58%0.291.97%T140.252.35%0.10.84%

取坐标原点到算法定位点或实际测量点的矢量作为参考，分别命名为算法定位矢量Pi与实际测量矢量Ti，作两矢量的差值Pi-Ti， 取其绝对值|Pi-Ti|，命名为矢量差模值，而相对误差的计算满足：

(26)

缓速通过时，最小的定位误差为0.16%，最大的定位误差为2.01%，平均误差为0.95%；快速通过时，最小的定位误差为0.03%，最大的定位误差为3.66%，平均误差为1.40%。所有定位误差都低于工程目标要求的4.0%的指标，具有较高的定位精度，缓速通过的平均定位误差要低于快速通过的平均定位误差，随着动磁源运动速度的增加，定位精度会略有所降低。该误差是最终合成误差，包括了测量误差、动磁源近场定位系统误差、随机误差、计算误差和模型误差，根据误差合成原理，计算误差和模型误差要低于最终误差(4%)这个水平，证明本文设计的磁偶极子反演定位算法与运用拟牛顿法及BFGS算法求解是可行的，并具有较高精度，可满足工程要求，具有应用前景。

3 结束语

本文设计了一种新的磁偶极子反演定位算法，可解决目标函数的无约束非线性优化问题，基于磁测阵列采集到的磁场强度向量，及采用拟牛顿法非线性优化算法(BFGS)等计算方法，可实现对动磁源的近场定位。通过搭建相应系统，动磁源缓速和快速定位试验，对算法定位坐标与实际测量坐标进行对比，定位误差不超过4.0%，平均误差为1.40%，得出该算法定位位置精确，计算方法得当，可以实现多信息融合与数据的快速处理。该算法在水下异常磁场近场定位与测量、鱼雷末弹道与脱靶量测量、过靶态势判断、靶场建设、新武器试验与研发等领域具有重要意义。