亲历数学建模，感悟数学思想

沈军梅

“鸽巢问题”是义务教育课程标准实验教科书人教版六年级下册数学广角的内容。鸽巢问题又称抽屉原理。本节课内容既独立又抽象，独立是因为它有别于其他课，与前后知识点没有联系，比较孤立;抽象是因为“鸽巢问题”实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，是一种思想方法。教材紧紧围绕学生的认知特点，通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”。学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题。例1教材借助把4支铅笔放进3个笔筒中的操作情景，介绍了一类简单的“鸽巢问题”，即把m个物体任意分别放进n个空抽屉里（m>n，n是非零自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。例2介绍的是另一种类型的“鸽巢问题”，即把多余kn个物体任意放进n个空抽屉（k是整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。实际上，如果设定k=1，这类“鸽巢问题”就变成了例1的形式。因此，这两类“鸽巢问题”本质是一致的，例1只是例2的一个特例。

六年级学生已经有一定的逻辑思维能力，理解“鸽巢问题”的理论并不复杂，但在建立模型过程中，让学生灵活、准确地使用“总有”“至少”这些特定语言来表述，以及在具体应用中找到实际问题与“鸽巢问题”模型之间的联系是学生学习的两个难点。在教学时，教师可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先采用自己的方法“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”“假设法”进行比较，思考每种方法各有什么优越性和局限性，让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。

基于对教材、学情的理解，我的教学实践设计如下：

一、游戏导入，激发兴趣

课伊始，创设魔术表演的情境，老师手中有一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，请1名学生随意抽5张，老师猜出至少有2张是同一花色。再让这名学生任意抽14张，老师猜出至少有一对花色相同。当学生感受到老师的神奇时，教师引导说，老师为什么能作出如此准确的判断呢？因为这个有趣的魔术中蕴含着一个数学原理，这节课我们就用铅笔和笔筒来研究这个原理。

二、动手操作，感知模型

1.呈现问题

课件出示：把4支铅笔放进3个笔筒里，你可以怎样摆放？有几种不同的摆放方法？

2.实物操作

组织学生小组合作，边摆边记录，教师巡视。

3.反馈交流

（1）枚举法。各小组学生口述摆放方法，老师在黑

板上用数的分解的方式把所有的可能都罗列出来，

即（4，0，0）（3，1，0）（2，1，1）（2，2，0），并指出，像这样把所有的方法一一列举出来，得到结论的方法叫作枚举法（板书）。

观察四种方法有什么共同点？学生发现了两个共同点：一是每种方法的3个笔筒里都有4支铅笔。二是每种方法中总有一个笔筒至少有2支铅笔。根据第二个共同点，理解关键词“总有”和“至少”。学生认为“总有”是一定有、肯定有的意思;“至少”是最少的意思。老师在此环节进行三个追问帮助学生深度理解“总有一个笔筒至少有2支铅笔”这句话。追问1：“至少2支”究竟指的是多少支？学生思考后回答：“至少2支”是指2支及2支以上，即一定有一个笔筒最少有2支铅笔，或者2支以上。追问2：2支、3支、4支、5支……都可以吗？一名学生说最多是4支，不可能超过4支。追问3：哪个笔筒里至少会有2支铅笔呢？学生观察后得出：放得最多的笔筒里至少有2支铅笔。有学生质疑，（2，2，0）这种摆放方法不符合这个结论，有2个笔筒里都有2支铅笔。全班再次理解后得出：“总有一个”的意思就是存在一个就可以了，两个笔筒里都是最多的也可以。

（2）假设法。如果每个笔筒里不允许放2支及2支以上的铅笔，你能办到吗？学生说不可以，假如每个笔筒里都先放1支，最多放3支，剩下1支不管放进哪个笔筒，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。老师指出，这种方法，我们称为“假设法”，先假设每个笔筒里都放1支铅笔，余下的1支无论放进哪个笔筒，都会出现“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”的结论。

4.优化策略

这种假设法你能用算式表示吗？学生列出4÷3=1…1，1+1=2，老师追问商1和余1的意义是否相同。这种推理方法与枚举法中的那种摆放方法实际上是一样的？一名学生说是（2，1，1），为什么只研究这种方法就能断定一定有“至少2支铅笔放到同一个笔筒里”？师生共同讨论后得出：

从最不利的情况考虑，把铅笔平均分，把铅笔依次放进笔筒里，这样每个笔筒里放1支，不让任何一个笔筒空着，就达到了让所有笔筒中的铅笔最少的目的，而另一支铅笔不管怎么放，都一定能保证总有2支铅笔放进同一个笔筒里。

而其他方法，有的也放进2支，甚至是3支、4支，这样只能说明有2支以上的铅笔放进同一个笔筒里，不能满足“至少”这个条件，所以只要这种情况考虑了，其他条件就一定能满足，也就是说其他情况就不用考虑了。

三、深入探究，建立模型

1.加深感悟

如果5支铅笔放进4个笔筒里，会有什么结果呢？学生用假设法很快得出结论：总有1个笔筒里至少有2支铅笔。如果6支铅笔放进5个笔筒里，10支铅笔放进9个笔筒里，100支铅笔放进99个笔筒里等，你有什么發现？学生独立思考后发现，只要铅笔的数量比笔筒的数量多1，余数都是1，那么总有一个笔筒至少要放进2支铅笔。

2.提升思维

如果铅笔的数量不是比笔筒的数量多1呢？5支铅笔放入3个笔筒，总有一个笔筒里至少有几支铅笔？小组同学交流后进行集体反馈，重点讨论：先在每个笔筒放1支，剩下2支再平均分后放入不同的笔筒，这样才能保证放得最多的那个笔筒里的铅笔数最少。

3.建立模型

请独立思考7支铅笔放入3个笔筒里会有什么结果？把m支铅笔放入n个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放几支铅笔？学生思考后集体交流，得到结论：当铅笔比笔筒多时，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（商+1）支笔。

4.揭示课题

同学们发现的这个规律，其实就是一个非常著名的数学问题，叫抽屉原理，刚才用铅笔和笔筒研究这个原理的时候，把铅笔看作被分的物体，笔筒看作抽屉。数学研究是无国界的。还有一些国家是用鸽子和鸽巢来研究物体和抽屉的关系。虽然研究的素材不同，但反映的原理却是相同的，所以抽屉原理也被称为鸽舍原理，把这类问题称为“鸽巢问题”（揭示课题）。因为最先发现这一规律的人是德国数学家狄利克雷，人们为了纪念他能从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用它的名字命名，叫“狄利克雷”原理。

四、运用模型，解决问题

首先让学生解释课前扑克牌游戏里老师能快速做出正确判断的秘密，接着让学生举出一些能用鸽巢原理揭示的生活中的例子，最后完成课本69页的做一做。在教学时，可以让学生说一说什么相当于“鸽巢”，什么相当于“鸽子”，用模型化的语言来解释，帮助学生找到实际问题与“鸽巢问题”模型之间的联系。

教学后，反思如下：

1.游戏导入，激发学生的学习兴趣

课伊始，我就从学生喜欢的魔术游戏入手，创设关于“鸽巢问题”的“行为表征”的情境，提出了待解决的问题，“知道老师为什么能做出准确的判断吗？因为这个有趣的魔术中蕴含着一个数学原理，这节课我们就研究这个原理”。围绕着中心问题而展开教学，抓住学生好奇的心理，激发学生的求知欲，唤起学生的主体意识，为学生自主探索、发现问题、解决问题营造氛围。

2.重组教材，实施过程简洁有效

教材中的例1借助可操作、直观的素材，介绍了“鸽巢原理”的最基本形式，只需口头表达，例2提高到用算式推理过程表达，介绍了“鸽巢原理”的一般形式。为了让学生从直观操作顺利过渡到抽象的推理，本节课我一改教材69页例2“7本书放入3个抽屉”的情境，将例1“笔筒放入铅笔”的情境贯穿课的始终，使得教学结构紧凑，实施过程层层推进，扎实有效，体现了课堂教学的整体性和简约性。

3.自主构建，注重数学思想方法渗透

首先引导学生从简单的情况开始研究，渗透“建模”思想。学生通过枚举、假设等方法把抽象的数学知识同具体的分析策略结合起来，经历知识的发生、发展的过程以及简单的推理，体验方法的多样化和优化，让学生逐步学会用一般性的数学方法来思考问题。在大量举例后学生理解了“当铅笔比笔筒多时，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（商+1）支笔”的規律，构建了“鸽巢问题”的模型，使知识得到了升华。在解决问题时注重让学生找到实际问题与“鸽巢问题”模型之间的联系，将方法迁移类推，加以解释，培养了学生的数学思维能力，促进了学生逻辑推理能力的发展。