利用错误资源进行教学活动的再实践

汪海鲸

学生在学习数学的过程中，会不可避免地产生这样或那样的错误。有的错题有一定的典型性，充分利用这些错题资源，能够挖掘出隐藏在错题背后的内涵，进而将错误转化为教师的教学智慧，让它成为宝贵的教学资源。同时，把错误转化为学生后续学习的资源，进行作业练习的再设计，能够让错误成为提高学生思维能力的生长点。

一、学生错误产生的主要根源

一是基本概念理解不清。数学概念是数学知识体系的支柱。在初中阶段，数学概念的学习是构建整个数学知识体系的关键。然而，在数学学习过程中，学生往往忽视了对概念的理解与掌握，存在理解不透彻、概念混淆等情况。例如，当m、n都为自然数时，那多项式am+bn+2m+n的次数是多少？学生的答案有三种，即m、n和m+n，但都是错误的。究其原因，是学生对多项式“次数”这一概念的理解不到位。

二是基本运算存在错误。《课程标准（2011年版）》对各学段的运算提出了明确的要求，即学生要掌握必要的运算（包括估算）技能。但学生在学习中经常会出现计算错误。究其原因，是学生存在因视觉迁移而引起的认知错误和没有完全掌握运算法则等。例如，在计算（x-2y）（x+3y）-（-x+y）（-x-y）中，学生的错误率较高。究其原因，是学生没有发觉（-x+y）（-x-y）可利用平方差的公式来计算;或已知道可用平方差公式来计算，但没有找到其中那个单项式所对应的平方差公式里面的a与b;或对-（-x+y）（-x-y）前面的减号，没有对“后式”进行整体变号，从而造成了计算错误。

三是数学思维品质的缺失。数学思维品质的形成在数学学习过程中占据核心地位。生活中，人们经常要运用数学的方法去思考和解决问题。在数学学习过程中，需要学生综合运用基本的数学概念、数学方法和数学思想，来逐步形成数学能力，发展数学思维。因此，在数学学习过程中，如果学生缺乏观察、分析、判断和创造性思维能力，就会在解题中出现错误。例如，关于x的方程=1的解是负数，求a的取值范围。很多学生的答案是a<1，但实际结果是同时要求a≠0。其中所暴露出的问题，就是学生在问题解决的过程中缺乏观察与判断，以致对问题产生片面性思考。

四是数学学习情境的缺失。数学学习离不开情境的建构，否则容易形成错误的理解。小学数学中有这样一个问题：一辆大客车能坐48名乘客，如果全校1034名师生坐这种大客车去野外做实践活动，那一共需多少辆大客车？这个问题正确的计算结果是“1034除以48等于21，余数为26”。但有31%的学生回答所需大客车的数量为“21辆26人”;25%的学生回答所需大客车的数量为“21辆”;24%的学生回答正确，即所需大客车的数量为“22辆”;20%的学生计算错误。出现这种情况的原因是学生没有理解题中情境的意义，这就不利于学生数学能力的形成。

二、错题导课激发学生探知欲

学生在解题过程中出现的错误是很好的教学资源，如果能恰当运用，就可以激发学生的学习热情，使学生对问题形成认知冲突，从而提高学生的思维能力与积极性。例如，在沪教版八年级上“一元二次方程的应用（2）”的教学过程中，其导入一般是从课本上的例题3（见图1）引出来的，大部分学生都能够理解掌握。但若将题目中的铁栅栏开一扇2米的门，再让学生根据围成的面积求边长，很多学生就会出现错误。这时，就可对例题3进行改编，即将临时仓库的一边开一扇2米宽的门。这使学生们形成了两种意见：对“2米宽的门”中的“2”这个量，在设长度时，是“加上2”，还是“减去2”。这时，教师应放慢节奏，不做判断，让各方代表充分发表自己的意见，让其他学生在听的过程中思考用何种列式更合理。这样，恰当利用学生在问题认知上的错误，引发学生的认知冲突，让他们养成主动思考的习惯。当教师发现学生出现错误时，要及时利用学生的错误引导他们思考，让他们找到分析问题的正确思路。

三、利用学生的错题突破重难点

一是将难点分解转化。对于教学中的重难点问题，需要教师给学生设计一个与已有知识紧密相连的学习过程。如在沪教版八年级上“一元二次方程的应用（1）”的教学中，需要学生在学习过程中掌握以下知识：如何通过求解方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解來对多项式ax2+bx+c（a≠0）进行因式分解;方程ax2+bx+c=0（a≠0）和多项式ax2+bx+c（a≠0）因式分解之间是什么关系。学生在探究这两个问题时，不是出现求根的错误，就是容易漏掉二次项的系数a，或出现符号的错误。倘若仿照一元二次方程求根公式法的推导过程，对二次三项式ax2+bx+c（a≠0）进行配方，配成完全平方式的形式来处理，就会发现二次三项式因式分解的方法，还会找到它与一元二次方程求根公式之间的联系，有利于学生对这节课的知识点进行更深入的理解和把握。

二是渗透数学思想。数学思想是数学学习的关键，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。例如，在沪教版八年级上“一元二次方程”的学习过程中，分类讨论思想的渗透是很重要的一环。学生在解决问题的过程中，往往存在片面看待问题的现象，故容易造成错误。例如，已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围。关于字母系数的取值范围是学习的难点，因为这里并未指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。教学中，教师可将分类讨论的数学思想方法的一般解题步骤提炼出来，供学生参考：第一，明确讨论的对象;第二，进行合理分类，而且要有个明确的分类标准，还要注意分类是否有遗漏、重复;第三，逐类讨论，分级进行。

四、利用错题进行作业设计

在沪教版八年级上“一元二次方程的概念”的学习中，学生很容易对一元二次方程概念的理解与掌握出现错误。究其原因，是学生在“一元二次方程二次项系数不为零”问题的讨论上容易遗漏。为此，在针对此项内容的学习与掌握上，教师可在本单元的练习设计中，从不同层次、不同知识上渗透对二次项系数不为零的讨论，让学生从不同的角度深化对一元二次方程概念的理解，提升学生对这一概念在不同情形下的运用与掌握，从而不断巩固学生所学的知识，不断提升学生的思维品质。

以上是通过分析学生错误产生的原因，来反思教师在教学过程中的得与失，以及它与学生的学法之间的关联，进而不断完善教学方式方法;通过教学环节的改进、习题的配置，达到提高学生预见错题的能力，变错题为提高学习效率的资源。

（责任编辑   郭向和）