弹性波理论在简支桥面板中的应用研究

梁 栋，邹 轩

(1. 河北工业大学 土木与交通学院，天津 300401； 2. 河北省土木工程技术研究中心，天津 300401)

0 引 言

伴随着京津冀一体化的快速推进，交通一体化已成为国家战略的开路先锋。经济的快速发展对货物运输的需求日趋旺盛，这使得重载汽车的通行数量和频次大幅增加。随着单辆汽车荷载的增加，重载车辆过桥时，桥梁的动力响应会非常显著。桥梁在长期的车辆荷载作用下会出现疲劳、开裂等问题，这些破损又会使其更易受到侵蚀，形成恶性循环，从而影响桥梁的正常使用。

如今，桥梁向着跨度和宽度越来越大、质量越来越轻、刚度越来越小的结构体系发展。汽车在桥梁所受荷载中所占比例也越来越大，车-桥耦合振动效应日趋突出。长期的车-桥耦合振动是导致结构发生损伤、甚至坍毁事故的重要原因。在以往的研究中，通常只关注顺桥向的车-桥耦合振动对桥梁的冲击效应所引起桥梁损伤，少有针对横桥向进行相关研究。随着桥梁朝大宽度多车道方向发展，由车-桥耦合振动所引起的横向桥面损伤的事例也越来越多。因此，针对大宽跨比梁桥及汽车荷载的特点，需要开展汽车荷载在横向桥面的非均匀梁中的强迫振动响应及其传输特性研究，研究成果将极大地丰富车-桥耦合振动这一科学问题的内涵。

对于车-桥耦合振动问题，在传统的研究中，大多采用将桥梁简化为顺桥向的轴向简支杆件[1]，然后在杆件上施加外力荷载，并以结构动力学为理论，列出相应振动方程和矩阵进行研究和求解[2]。这种研究方法，虽然可以解决车-桥耦合的某些振动问题，但却存在一些不足之处：① 利用结构动力学振动方程来求解振动问题，需要列举较多方程和矩阵，这使得在解方程时较为繁琐；② 振动方程表达的是物体的状态量，无法表示物体在某一时刻的瞬时状态；③ 利用振动方程解决问题多是将桥梁简化成顺桥向杆件，却无法得到横桥向某点的相关物理量。

在工程实际中，有时在没有电脑的条件下仍需要知道物体在某一时刻的瞬时量，这就需要利用较为简便的计算公式来尽可能快速准确的计算出所需量值，而利用结构动力学振动方程无法做到快速准确的计算出结果。为解决以上问题，需提出新的计算方法。陈方培[3]曾对波动和振动二者之间的联系做过一个通俗定义，即“波动是振动形态在介质中的运动过程”。为此，笔者将尝试利用弹性波波动理论相关知识，给出相应的波动方程公式，讨论其在简支桥面板上的应用，并对横桥面在外力作用下的振动响应进行相关计算。

1 二维波动方程的推导

由文献[4]可知，在无限大的空间中，当体力为零时，在三维空间中的弹性均匀介质的位移满足达朗贝尔方程：

(1)

考虑扰动区的初始位移u0和初始速度u′0t，结合方程(1)，对于不同弹性体内的任意一点M，它在t时刻的位移u可以由公式(2)给出：

(2)

如果将(2)看成是初值问题，则可得出初值问题方程组：

(3)

对三维非齐次波动方程，由振动波的推迟势[5]可以得到：

(4)

此(4)式为三维非齐次波动方程。其相应的初值问题方程组为：

(5)

由此，可利用初值问题方程组求解空间弹性体某点在t时刻的位移u。

对于要研究的车-桥耦合振动对桥面的作用，由于波动存在于桥面板平面上，如果仅考虑桥面板在外荷载作用下的桥面振动情况，可以将振动波看成是在无限大的二维平面薄板上传播。因此，可以将式(4)进行降维，得到二维非齐次波动方程。

由于在无限大的二维空间平面上，式(4)中u0和u′0t都是与z无关的函数，所以在球面上的积分可以化为平面z为常数的投影，即平面区域

(6)

上的积分。由于球面上的面积元ds和它的投影平面元素dαdβ之间有如下关系：

(7)

综合式(3)、(6)、(7)，可以得到：

(8)

对(8)式，若采用极坐标对其进行代换，r=v(t-s),α=x+ρcosθ，β=y+ρsinθ。进一步有：

(9)

式(8)、(9)即为二维非齐次波动方程。其相应的初值条件方程组为：

(10)

2 算例分析

虽然通过对已知的三维波动方程进行降维，导出了振动波在平面上传播时所需的二维波动方程。但是，实际上振动波在任何介质中传播，都由于介质阻尼不可避免的产生损耗，导致振幅逐渐变小。

对于绝大多数桥梁的桥面板结构，其材料主要以钢筋混凝土为主。从已有的实验数据和文献[6-7]中可知，振动波在混凝土材料(硬塑性的粘土和中密的碎石)中传播的波动修正系数范围通常在μ=0.375～0.625之间。因此，我们将式(10)加入波动修正系数后，变为：

(11)

根据前文所推导的二维波动方程，下面通过算例来介绍二维波动方程的应用。

如图1，一块轻质矩形的钢筋混凝土弹性薄板，边长分别为a=15 m，b=10 m。弹性薄板的弹性模量是3×e10Pa，剪切模量是0.3。板在x=0和x=15 m处沿着两边简支，y=0和y=10 m处两边无约束。在弹性薄板上的一点(4,3)处施加一个竖直的正弦集中力f(35,10,t)=-sin2πtN。弹性薄板的初始条件是u(x,y,0)=0，u′t(x,y,0)=0，振动波在钢筋混凝土板中的传播速度为v=2 500 m/s，且振动波在弹性波板边缘传播时的波动修正系数μ=0.53。求距集中力l=5 m处板跨边的一点(x1,y1)在0.5～5.0 s之间每间隔0.5 s时距平衡点的位移。

图1 弹性薄板受力情况Fig. 1 Schematic diagram of force of elastic thin plate

由于矩形板是弹性薄板，当施加集中荷载后，板面任意点相对于初始平衡位置的位移可看作此刻板面在这一点的挠度。

由l=vt得知，当t=0.5 s时，此时以集中力为圆心，半径为l=5 m的圆上各点已开始波动。由式(11)建立关于u的初始条件方程组：

(12)

将式(12)及其他相关条件带入式(9)中，可得到：

(13)

观察式(13)，可知等式右边第1项和第2项均为零，故式(13)可化简成：

(14)

对式(14)进行计算，可得：

u(x1,y1,0.5)≈-0.079 6

即(x1,y1)在t=0.5 s时的位移量。

然后，利用式(9)依次对其他时刻的质点位移进行计算，可得：

u(x1,y1,1)≈0.159 2，u(x1,y1,1.5)≈-0.238 7，

u(x1,y1,2)≈0.318 4，u(x1,y1,2.5)≈-0.397 8，

u(x1,y1,3)≈0.477 7，u(x1,y1,3.5)≈-0.557 0，

u(x1,y1,4)≈0.636 9，u(x1,y1,4.5)≈-0.716 2，

u(x1,y1,5)≈0.796 2

由此，由二维波动方程得出t=0.5～5.0 s时的质点位移量。

3 有限元验证

3.1 有限元模型

利用有限元软件ANSYS对上述算例进行建模，模拟钢筋混凝土简支板，由于验证计算结果是否可靠。

建立一块15 m×10 m矩形板的有限元模型。输入命令流，选取壳单元shell 63，并设置弹性模量3×e10Pa，剪切模量0.3，划分网格，建立矩形板[8]。然后，对两个短边边界施加简支约束，两长边不加约束使之为自由边，将矩形板固定成简支板。最后，将一个集中荷载施加于板上一个节点上。将集中荷载施加于80号节点上，如图2。

图2 简支板有限元Fig. 2 Finite element diagram of simply supported plate

为得到施加荷载后简支板上的一点在不同时间上的位移值，选取横桥向距离受集中力点5 m的边界点位置上10号节点进行分析。以0.5 s为周期，并根据ANSYS中plvar命令得出其在0.5～5.0 s之间的位移数据，见表1。

表1 10号节点位移Table 1 No. 10 node displacement

将表中的各项位移数据制作成对比图，如图3。

图3 10号节点理论值和模拟值对比Fig. 3 Comparative diagram of theoretical and simulated values

3.2 数据分析

由表1和图3，可以得到横桥向的10号节点在不同时刻的位移情况。从折线图可以发现，利用二维波动方程所计算的理论值趋势与有限元模拟所得的振幅值趋势是相同的，都是随着时间的增长振幅逐渐增大。这是因为在板上始终施加一个正弦的周期集中力，随着时间推移板上任意一点的能量相对于前一时刻会越来越大，因而简支板上任一点的位移也就越来越大。

通过对理论值和模拟值的误差分析，二者在同一时刻的位移值之间相差不到10%，通过查阅一些实验规程要求，二者误差属于正常范围。由此可验证波利用动方程计算某一时刻的某点位移是合理的。

3.3 计算方法对比

经过与米静等[9]、张英世等[10]传统振动方程计算方法作对比后，可以发现由二维波动方程计算出的结果更加快捷，且任意时刻的板面振动情况都可以计算，因此利用二维波动方程作为计算桥面振动的方法是更加合适的。

4 结 语

通过对三维波动方程降维，导出适用于平面的二维波动方程。利用二维波动方程对算例进行计算后，又利用Ansys对算例进行有限元模拟，从而验证二维波动方程计算的合理性。相较于使用结构动力学振动方程需要事先求解简支板的振型函数和固有频率，才能得出板的动力响应结果，使用二维波动方程能够使计算更加快捷简便，并且可以得到任意时刻板的振动情况。对于横桥向方向桥面板振动研究，由以上验证也可以得出利用二维波动方程计算的合理性。这就为研究横桥向车-桥耦合振动对桥面的作用提供了另一种实用的计算方法，弥补了经典方法中结构动力学公式无法对横桥向振动状态进行较精确计算的不足。