飞机性能的航路网络通行能力优化

王莉莉，王航臣

(中国民航大学 天津市空管运行规划与安全技术重点实验室，天津 300300)

0 引 言

近年来，我国民航运输快速发展，空中交通网络拥塞现象越发严重，有限的空域资源与持续增长的出行需求之间矛盾日益突出，造成了航班延误增多、飞行冲突增加，给航空公司和空管部门造成了巨大压力。据统计，2017年航班正常率仅为71.67%，比起2016年下降5.09%[1]。究其原因，一方面空中交通流量管理(air traffic flow management, ATFM)过于依赖管制员工作经验，在交通流量过大时缺乏量化的最优化模型协助决策；另一方面由于空域利用率低、面对突发事件处理能力不足，如兰州管制区全年九成以上时间都有军航活动，大部分航班延误均由军航活动造成[2]。不同性能航空器尾流强度和跑道占用时间不同，机型组合间隔不同都会影响航路网络通行能力。如何更加合理调配不同性能航空器，合理使用空域资源是学界亟待解决的问题。

现有的短期ATFM研究，多采用数学规划方法。该方法多以网络流理论为基础进行建模，但这些方法存在的不足是：① 运算效率存在不足，传统网络流算法只能精确求解小规模的航路网络流量分配问题[3]；② 对于大规模流量分配，只能采用启发式算法[3-4]或将问题分解简化[5-7]，从而减少问题的运算时间。航路网络运行优化，无论是以地面等待时间最短[6,8-9]、空中等待时间最短[6,9]还是航行时间最短[10]、飞行油耗与排放最低[11]，其本质都是有限时间与空间资源指派与分配的组合优化问题。

虽如今计算机运算能力已大幅提升，但ATFM问题的组合规模使得在实际管制运行中，很多算法无法投入应用；其次大多数文献只考虑了少量航空器、少量交叉点的静态分配问题，没有上升到网络层面。如文献[12-14]仅讨论了单个交叉点不同构型、交叉角度、不同高度层与不同机型组合下航路交叉点通行能力与拥挤识别问题，在分析过程中着重讨论了航空器之间相互影响，但没有考虑到通行能力与延误优化为整个网络系统优化，并非单个交叉点的最优；文献[15-18]将研究点从单个交叉点上升到扇区和空域，着重分析了诸如恶劣天气、飞行受限区等突发情况对不同结构空域容量的影响，以及空中交通流的改航措施，但只是分析了静态流量分配，没有考虑航路拥挤程度随交通流量变化及随时间变化的情况。

综上所述，以往研究对航路网络结构设计、固定结构下的静态交通流状态、固定结构下空中交通流的静态分配已取得一定成果，但很少有研究考虑航路的费用随诸如流量、时间和航空器尾流强度不同造成的通行能力变化。故笔者针对大型机、中型机与小型机这3种交通流的分配展开研究，先对航路网上流量分配问题进行分析，定义了航路费用函数；再基于多品种流理论(multi commodity flows, MCF)和改进的系统最优分配模型(system optimum assignment, SO)，根据三流的特点，建立了可分配的3种交通流数学模型；最后针对模型特点，设计了一种阶段式分配流量的近似算法，并在运算效率上和传统网络流算法进行对比。

1 问题描述

1.1 飞机性能对网络通行能力的影响

对于执行客、货运输任务的民用飞机，其起飞、爬升、续航和下降性能对飞行安全和经济性两方面都有较大影响。跑道上前后机型的不同组合会对空域各要素容量和安全间隔产生影响，如将机型划分为大型机(H)、中型机(M)和小型机(L)后，这3种机型尾流强度不同，为防止飞机进入前机尾流涡场所引起的俯仰、滚转和失速等危险情况，国际民航组织(ICAO)根据尾流强度对尾流间隔进行了划分，如表1。综上所述，这3种机型对空中交通系统影响差别较大，有必要针对以前研究中将空中交通流视为一种流的假设做出改进，使用MCF分别描述这3种机型。

表1 ICAO尾流间隔标准Table 1 ICAO standard for wake separation

由于飞机尾流限制，任一时间航路网络上飞机数量都有限制，机型分布对网络通行能力有较大影响；为描述这种影响，建模时应考虑机型分布影响。机型分布建模中，由于到达某机场的飞机机型随机分布，可采用离散概率分布建模。用大型机、中型机和小型机占所有航班计划的百分比，表示该机型到达概率，设空中交通流中大型机、中型机和小型机所占百分比分别为p1、p2、p3，且p1+p2+p3=1。

1.2 航路网的数学表示与费用函数

在流量分配问题中，常将待分配的交通网络抽象为一个赋权有向连通图G=[V,E,Ck(x)]，记为：V={Vi,Vst}。对于航路网络：Vi表示航路交叉点与导航台点的集合，Vst表示起点机场和目的机场的集合，s表示起点机场，t表示讫点机场；设m为该段航路的起点，n为该段航路的终点，则E={emn}表示网络G中航路的集合；Ck(x)表示第k(k=1,2,3)种航空器关于流量的阻抗函数，用来描述该条航路的拥挤程度，随着交通流量增加，该条航路拥挤程度随之增加，阻抗随之增加，原本在零流量时费用最低(最短)的航路，随着流量增加可能不再是最“短”的。对于多起讫点航路网络，可设置虚拟顶点Vs和Vt，并以正向边(航路)将其与航路网络连接，转化为单起讫点流量分配问题。

(1)

阻抗函数(或称为费用函数)是道路交通流分配的基础，它对于交通流的路径选择与各路段流量的分配有直接影响。道路交通流分配中，常用的阻抗函数是美国道路局(Bureau of Public Road, BPR)开发的函数[19]，但BRP函数是针对美国道路交通流的实际运行状态设计的，直接应用于民航会产生很大误差，故笔者借鉴道路交通流分配中阻抗函数的设计思想，定义了符合民航实际运行的航路费用函数，即在航路结构、天气条件和管制措施相同情况下，空中交通流量与航行时间的关系。阻抗函数的大小直接影响到空管部门对于航路选择。笔者依据空中交通流量特点定义了与传统道路交通阻抗函数不同的模型。

无论是大型机、中型机还是小型机飞行，众多因素中与ATFM关系最密切的是时间(飞行任务能否按照航班时刻表顺利进行、能否降低航班延误次数)、距离(是否能提升航路网络运行效率)与相关费用(能否降低费用使得效益最大化)。不同飞行类型对影响因素的关注程度有所不同。

航路网络是由航路组成，整个航路网络所花费时间是各个航段上所耗费的时间之和。一般单条航路上实际航行时间可根据航路上已存在的飞机流量与速度进行计算，航路上飞机流量与速度也是在设计阻抗模型时的重要参数。根据以上分析，构建航路阻抗函数如式(2)：

(2)

1.3 流量分配原则

在向网络中各条航路分配流量时，由于各条航路阻抗随流量变化，故可考虑将流量分为N份，再使用现有流量下各条航路的阻抗，根据“最小费用最大流”的原则，将N份流量逐次分配到网络上，从而达到整个航路网络航行时间最小目标。

交通流分配中的SO模型从系统的最优的角度分配交通流量，其目标是路网中总阻抗(总行驶时间)最小，这符合空中交通统一由管制员调度的特点。但SO模型是针对道路交通流分配设计的，其结构也较为简单，而空中交通与道路交通存在许多不同，需根据民航空管的实际运行特点对其进一步优化。笔者的主要改进如下：

1)SO模型没有考虑航路网络因危险天气造成的连通性问题；故引入1.1节中的决策变量以衡量网络连通性问题。

2)SO模型只考虑了流量守恒约束与非负约束。在实际管制运行中，还需考虑管制员负荷约束、航空器在航路上的安全间距产生的容量约束；故笔者引入管制员负荷约束和考虑安全间隔的航路容量约束。

3)SO模型假定航路网络中仅有1种交通流，不同航空器的飞机性能存在差别；故笔者将SO模型中的单流问题转化成多流问题进行建模求解。

2 模型建立

2.1 模型假设

为简化问题，笔者在建立模型之前做出以下假设：① 在交通流分配期间，航空器高度层不发生变化；② 在交通流分配期间，大型机交通流、中型机交通流与小型机交通流各自内部速度一致，即一种交通流与其他交通流速度不同，但自己内部速度一致；③ 这3种交通流各自内部的机型不存在差别，即将不同类型的中型机机视为一种机型组成的交通流，大型机和小型机同理。

2.2 通行能力优化模型

2.2.1 目标函数

为区分飞行任务的重要程度，笔者引入权重系数λkst，大型机活动重要系数大于1，中型机和小型机重要系数小于1。

结合前文分析，短期ATFM目标是使航路网络上所有飞机的航行费用最小，改进SO模型目标函数如式(3)：

(3)

2.2.2 约束条件

SO模型的形式较为简单，只包括交通流量守恒约束和流量非负约束，如式(4)～(6)：

(4)

(5)

(6)

由1.2节中的讨论，可进一步确定航路容量约束，如式(7)：

(7)

以Cij表示航路i-j的容量，以E(T)表示航路的平均服务时间[7]，可用式(8)～(10)表示：

(8)

(9)

Tmn=Tm-Tn

(10)

式中：pmn表示m(m∈k)种交通流尾随第n(n∈k)种交通流的概率；Tmn表示m(m∈k)种交通流尾随第n(n∈k)种交通流时两者的要求时间间隔矩阵。

为保证空中交通安全，航空器飞行应保持一定的安全间隔。在一般情况下，大型机、中型机与小型机的速度存在差别，即前后机速度存在差别。当前机速度小于后机，即Vm

Tmn=Tm-Tn=εmn/Vn

(11)

当前机速度大于后机时，即Vm>Vn时，有式(12)：

Tmn=Tm-Tn=εmn/Vn+η(1/Vn-1/Vm)

(12)

此外，与道路交通不同，随着空中交通流量增加，影响配流的因素还有管制员工作负荷。设WLmax为管制员最大工作负荷，故可建立管制员工作负荷约束，如式(13)～(14)：

(13)

WLmax=ω1nco+ω2nh+Wxt

(14)

综上所述，可将模型表述如式(15)：

(15)

2.3 模型求解

求解单一品种流的经典算法是Ford-Fulkson算法，但在求解多品种流问题时，使用该算法构造增广链会使问题的时间复杂度过高，难以满足空中交通管制中的时效性要求。针对这一问题，文献[21-22]结合最短路算法与Ford-Fulkson算法构建了具有复合指标的流量分配算法，笔者称之为多品种流的Ford-Fulkson算法，并将该算法引入所提的求解算法中。

由于航路阻抗随空中交通流量的大小动态变化，所以可将配流分为多次进行，采用逐步加载流量的方式来描述这种变化。另外，这种变化限制了问题的求解，需设计一种网络逐步加载流量的求解算法。故文中设计的模型求解算法如下：

Step 2：更新航路阻抗。将分配得到的流量加载进入航路网络，得到新的航路阻抗；

3 算例分析

3.1 算例构造

图1为从中国民用航空局公布的AIP(航行资料汇编)中截取的华北管制区部分空域。黑色线段为简化后的航路图，其中节点1(北京ZBAA)、节点2(天津ZBTJ)、节点3(济南ZSTN)为起飞机场节点，节点8(呼和浩特ZBHH)、节点9(太原ZBYN)和节点10(石家庄ZBSJ)为目标机场，节点4～7表示导航台点，航路点间的连线表示算例仿真的主要航路。设管制员的工作负荷及各个航路的容量是定值且已知。

图1 仿真空域Fig. 1 Simulation airspace

3.2 仿真结果

对模型与算法在航路网络小流量情况下进行初步验证，利用MATLAB对算例进行仿真。设表2表示源点待分配流量和终点能容纳的流量，航路容量与管制员负荷均为20。可得运算结果见图2。运算时间为7.11 min，能在较短时间内给出优化方案。

在完成小流量情况下初步验证后，不再限制容量，逐步增加空中交通流量，在大流量条件下测试模型的可行性与算法性能，设3种机型进近着陆所占比例分别为40%、 35%、 25%。

表2 源点需分配的和节点能容纳的交通流Table 2 Flows to be allocated and airport capacity 架次

图2 分配结果Fig. 2 Assignment results

3.2.1 流量分配

设置不同流量条件，其仿真结果如表3。

表3 流量分配Table 3 Results of the assignment 架次

由运算结果可知：模型与算法在各条航路在约束条件下，取得总费用最小流量分配优化方案，从而得到最优航路网络通行能力。可见在满足大型机任务需求情况下，能准确完成中型机交通流和小型机交通流的分配，能够实时的完成这3种交通流的协调，从而减少空域冲突与拥挤。

3.2.2 计算时间

通过MATLAB软件使用改进的算法求解模型。以3.1节中的空域结构和流量为例，短期ATFM要求模型与算法的运行时间不能过长，需在限定时间内求得可以接受的解。故可将总求解时间长度限制为120 min，也即将问题的时间窗设定为0～120 min，通过改变空中交通流量来分析算法的性能，运算结果见表4。

表4 算法求解性能分析Table 4 Algorithm performance analysis

求解结果表明：随着飞机架次的增多，问题的规模也逐渐增大。在飞机架次达到256架次时，所提算法能完成求解，且时间上满足要求，而经典的Ford-Fulkson算法在限制时间(120 min)内不能完成求解(以“—”表示)。综上所述，笔者针对模型的近似算法在运算效率上具有一定优势。

4 结 论

根据我国民航管制运行特点，结合不同机型飞机性能的特点，笔者对航路交通领域的系统最优模型进行了改进。改进主要体现在：① 考虑了由于危险天气与军航活动带来的网络连通性问题；② 考虑了实时管制运行时的航路网络容量问题；③ 从尾流间隔角度，说明了将不同机型转化为多品种流的必要性，并建立了多品种流的通行能力优化模型。

在模型建立方面，通过引入0-1变量衡量了航路网连通程度及航空器改航问题；考虑到大型机、中型机与小型机交通流性能差异，将飞机性能问题转变为一个多品种流问题，并对各品种流量引入权重系数，从而在优化中体现优先大型机活动、保障中型机正常运行的宗旨。在模型求解方面，针对经典算法不能满足短期ATFM时间约束的问题，提出一种网络逐步加载交通流量的近似算法。

算例结果表明：所改进的模型与提出的算法能高效求解多品种流下大规模空中交通流量分配问题，相比于传统算法在大流量下更具效率优势。在大流量下，传统求解算法不能满足短期ATFM对时间的要求，仅依靠管制员个人经验易造成疲劳也缺乏定量依据；而所提算法在256和512架次这种大流量条件下仍能在设定时间内完成求解，优化效率与结果更符合航路网络的运行特点。