关注逻辑 寻求本质

张永华

【摘要】数学的教学过程是人认识知识本质的过程，在这个过程中并存着教师的教学过程，知识的发生、发展过程以及教師与学生的思维活动过程，这些过程实际上都是教学中客观存在的逻辑过程，它必然存在着思维层面的规律和方法。作为教师，应在进行教学前，要能够明确数学知识的内在逻辑，了解学生的认知逻辑，并注重教学的设计逻辑。这样我们的课堂教学才能引导着学生去探寻学科的本质。

【关键词】小学数学；逻辑；本质；教学思考

2018年11月27-29日，作为广东省陈晓燕名教师工作室团队中的一员，笔者有幸参加了在浙江湖州新世纪外国语学校举办的“成长课堂”第四届小学数学课堂教学观摩研讨活动。27日一开始是《平面图形的面积》一课，本节课对教材内容进行了重构，把“平行四边形的面积”“三角形的面积”“梯形的面积”三个课时的内容整合在一节课中，老师仅提供方格纸和四类图形，以长方形的面积为研究基础，让学生自主选择研究内容和方法，完整经历研究其它图形面积的过程。虽然40分钟没有完成传统意义上所谓的“教学任务”，但在后面刘加霞教授介绍了她们的研究和思考时，基于单元整体研究设计教学的理念和视野给了我们深深的震撼。刘教授讲到这节课为什么摒弃传统的“割补、剪拼”法，只采用方格纸作为研究工具，她们除了大量的学生研究实证数据外，还基于对“度量”的本质的深度思考；而平行四边形、三角形面积公式的研究是否一定要按现行教材编写的序来展开教学？他们通过比较古今中外各版本教材，发现其并不需要强调先后顺序，可由学生自主选择，先研究谁、后研究谁并不违背知识逻辑和认知逻辑……刘教授在报告中也特别提到：“单元教学”研究，其根本是把握“三逻辑”：数学知识的内在逻辑、学生认知的思维逻辑、教师教学的设计逻辑。而这三个逻辑作为数学教学研究的根本，在我们的日常教学中其实也应该去关注，基于此，笔者对《烙饼问题》一课有了如下思考。

一、数学知识的内在逻辑（明确这节课究竟该教什么）

教学的逻辑首先是知识的逻辑。教学的展开都是以知识为载体的，而知识是有逻辑关系的。知识逻辑其实就是回答教学“教什么”的问题，它是教学活动中最具实质性的要素。《义务教育数学课程标准（2011版）》中提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。”数学思想方法是数学知识的重要组成部分，也是一个人数学素养的基本内容。让学生初步感受一些基本的数学思想方法是“数学广角”的主要教学目标之一，而人教版教材就是通过“数学广角”这个知识载体来更好地体现并达成目标。因此，数学广角的教学首先应定位于通过数学活动，让学生感受数学的思想方法，学会运用数学思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法。而烙饼问题一课作为其中的教学内容之一，和这之前的沏茶问题一样，就是让学生体会在解决问题中优化思想的应用。在烙饼问题的教学中，教科书上的例题设计了两个问题：“怎样才能尽快吃上饼？”和“哪种方法比较合理？”，都是围绕“优化”在探究问题。所以本节课的教学数学思想方法的感悟才是它的本质，而非只是解决“至少需要多少分钟？”的问题。

二、学生认知的思维逻辑（明确这节课为什么这样教）

小学生的思维是从具体形象思维逐步过渡到抽象逻辑思维，但他们的抽象逻辑思维在很大程度上仍是直接与感性经验相联系的，具有很大成分的具体形象性。只有了解了学生认知的思维逻辑，才能让我们清楚的知道“为什么要这样去教”的道理。所以根据此特点，对本节课进行了如下分析：

“烙饼问题”在教材中的信息内容一共包含了四点。

1.烙饼的条件：要烙3张饼，每次最多可以烙 2张，两面都要烙，每面3分钟。这些信息通过阅读和后面演示、操作等方式学生还是容易理解。

2.通过为什么烙 2 张饼和烙 1 张饼都用6分钟的问题，让学生明白两张饼是同时烙的，因此，锅在没闲下来的时候，就充分利用了资源，这样时间就节省了。此环节烙饼1张和2张对学生来说并不太难，通过演示或操作都能达到目的。但本环节不能仅仅停留在操作层面，还需让学生用符号、图形或文字等表征形式将操作以及思维的过程记录下来，为后面研究3张烙饼打好坚实的基础。

3.烙3张饼怎样烙最省时。教材中包含着烙3 张饼有多种方式的信息，学生思维会呈现不同的方式，体现多样化，这也是本节课的认知难点。教师可以引导学生利用烙2张饼的记录方法记录下自己烙3张饼的思维过程，然后进行小组交流后汇报展示，当然汇报时需注意学生认知的思维逻辑，即先汇报大部分学生都能理解的18或12分钟的烙法，再汇报9分钟的烙法，这样尊重了孩子的认知起点，也有利于学生领悟“烙饼问题”的内涵。强化难点突破的过程、揭示难点突破的思维合理性。

4.探索烙更多张饼（如4 张、5张、6张等）最节省时间的方法。此时学生还会停留在动手或利用符号化、图形化的表征的方式来进行研究，为了提高学生的思维，所以教师需指导孩子利用刚才研究的烙2张和3张的时间这个已有的经验来解决后面这些新的问题，如果有时间的话还可以通过表格的方式将时间列出来，让学生从中发现规律。

基于学生这样的思维逻辑，笔者对本节课进行了如下设计。

三、教师教学的设计逻辑（明确这节课到底该怎样教）

1.创设情境

创设厨师争霸赛的情境，明确比赛的规则：烙相同张数的饼，最省时间者为胜！比赛要求：每次最多只能烙2张饼；两面都要烙，每面3分钟。

通过有趣情境，激发学习兴趣，了解烙饼的条件。

2.烙1张饼和2张饼

因为1张饼的烙法对于学生来说很容易，所以采用视频播放两位选手烙1张饼的情况直接演示。而2张饼因有2种不同的烙法，这时教师可选择一个采用一张一张烙方法的学生先上台来借助学具进行操作，引发争议，再通过为什么烙 2 张饼和烙 1 张饼都用6分钟的问题从而得出2张同时烙会更省时。在此基础上，引导学生学会用文字表征的方法记录操作及思维的过程，如，①1正2正②1反2反，为后面记录3张饼的操作过程打好基础。最后为加强印象，用课件演示两位选手同时烙2张饼的过程，也呼应了教学情境。

3.烙3张饼

对于学生来说，3张饼的省时烙法是很难理解的，而且在实际生活中并不采用这种方法，没有足够的生活经验来支撑整个思路。所以这一环节利用“烙3张饼，怎样烙最省时间？”这一大问题让学生同桌为一组借助学具分工烙，一人烙一人记录，如有不同想法时再进行交换的方式来处理这个环节。此时教师应该及时巡视各组烙饼的实际情况，便于汇报时有序的展示孩子的思维过程：第一个展示的应该是烙了18分钟的，如果没有出现这种情况那就让烙12分钟的情况进行汇报，等到这些情况汇报完自然就會有孩子对9分钟的情况进行补充。通过孩子的汇报以及文字的表征①1正2正②1反3正③2反3反之后，再一次操作来强化这一过程然后利用课件演示两位选手烙3张饼的两种不同过程，通过这几次的强化帮助全体学生打开思路，学生的思维也得以激烈的碰撞，有效的突破了难点。这时顺势提出“9分钟的方法时间省在哪了，关键是在哪一步？”这一问题，通过对两种烙法的比较，不仅让学生得出省时的方法就是每次总烙2张饼，别让锅有空余；而且让学生明确省时关键是在第二步，只有在这一步采用了交替烙，才能让锅不闲着，最终才能省时，以此来培养学生的优化意识。

4.探索烙更多张数饼最省时间的方法

在接下来烙其它张数的饼的教学中，不再停留在动手操作和文字表征的方式来进行研究，而是让学生思考“什么情况下可以仿照烙 2 个饼的方法来烙饼呢？”，从而得出烙双数个饼时可以使用此方法。而单数饼的烙法通过推理得出先分出3张一组的情况，再用2张饼的烙法来烙，充分借助烙2张和3张饼的方法这个已有的经验来解决后面这些新的问题，最后还可以通过表格的方式将时间列出来，让学生从中发现规律。这样充分体现了从特殊到一般的学习过程，学生结合生活经验，类比迁移得出的结论——这里既有数学抽象，也有推理。

郑毓信教授曾谈到：“优化问题”的教学，主要涉及了这样三个问题：第一，什么？（如何）即什么是所谓的“最佳方案”？第二，为什么？即这为什么可以说是“最佳方案”？第三，怎么样？就是我们如何能对此作进一步的发展？包括对于相应的普遍性规律的探究，以及如何能够达到更深层次的理解，等等。很多时候，我们往往都只关注学生“可以怎样优化”，而很少会让学生思考“为什么可以这样优化，优化的根本原因是什么，这里有什么规律。”这一做法显然是与我们所一贯提倡的“理解学习”直接相违背的。所以，我们教师完全可以通过把握“三逻辑”：数学知识的内在逻辑、学生认知的思维逻辑、教师教学的设计逻辑，进一步调整自己的教学，让我们的学生去寻求数学的本质。

参考文献：

[1] 张鹤.数学教学的逻辑.http：//www.sohu.com/a/77727978_387173？qq-pf-to=pcqq.c2c.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3] 郑毓信.“优化问题”与“优化思想” [J].教学月刊小学版，2013（7-8）：4-6.