基于蒙特卡罗方法的核衰变实验数据分析

王亚琼 李保春 邱玉耀

【摘 要】 核衰变实验数据量大且具有随机性，鉴于传统的数据分析方法χ2和直方图检验法较为单一，本文在分析核衰变性质的基础上，提出基于MATLAB软件的分析方法：正态拟合、蒙特卡罗模拟以及蒙特卡罗拟合。通过对数据进行处理，得到了较为理想的拟合结果及相关参数，表明以上方法可以用于实验数据分析，有助于学生从不同角度更深入地理解核物理实验的物理过程及本质。

【关键词】 核衰变;高斯分布;实验数据分析;蒙特卡罗方法

【中图分类号】 O571 【文献标识码】 A

【文章编号】 2096-4102（2019）03-0094-03 开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

1引言

核衰变统计规律分析是近代物理实验的重要内容之一。其实验目的是了解放射性计数的性质，学习检验测量数据的分布类型，加深对衰变物理过程的认识。因此，核衰变实验除了要进行大量的数据采集之外，更主要的是应用统计方法分析实验数据，并从中寻找核衰变符合的物理规律。由于核物理实验的特殊性，国内大部分高校使用的是同济大学研制的相对论实验谱仪，其特点是重复测量的次数多（一般为1000次左右）， 数据随机产生、量大而繁杂。传统的数据处理方法是χ2检验法和频率直方图检验法，实验仪器、内容及数据处理方法比较单一。近年来，核衰变数据自动处理有了许多进展，为核物理实验注入了活力。结合当前核物理的科研成果，我们提出了三种新的适合本科实验教学的数据处理方法：正态拟合、蒙特卡罗模拟、蒙特卡罗拟合，可从不同角度去理解核衰变随机性的统计规律。

2放射性衰变的统计规律

在目前发现的两千多种核素中，绝大多数核素都是不稳定的，原子核从高能态跃迁到低能态时就会辐射出α、β、γ等射线，从而由一种核素变为另一种核素，原子核的这种自发衰变过程就是原子核的放射性衰变。核衰变的过程是相互独立的，对同一放射源进行强度测量，即使测量条件不变，多次测量的结果也不会完全相同，而是围绕某一均值上下涨落，这些随机过程服从一定的统计规律。

当使用比较弱的放射源，在某一时间内计数的平均值N<10，则计数为N出现的概率满足泊松分布，即

泊松分布是一种不对称的分布。

如果使用比較强的放射源，在某一时间内计数平均值N>20，泊松分布可近似为高斯分布，即

可证明其均方根误差为δ= ，此时泊松分布和高斯分布已经很接近，成为一种对称分布。

3实验测量

实验所用的仪器是NaI（Tl）单晶γ闪烁谱仪，γ放射源为Co。在进行实验时应尽量使工作条件恒定，但在实际情况下工作电压的少量漂移在所难免，因此应确定合适的工作电压，即选择计数率随电压漂移变化较小的工作点，可以通过坪曲线选取合适的工作电压。待工作电压稳定后开始进行实验，采用定时计数的方法，测量1000次。

4数据处理方法

利用MATLAB编程处理数据，可以得到计数N的平均值为6331.06，均方差79.45。通过分析，数据符合正态分布，故处理时可以比较实验数据与正态分布的拟合程度。

4.1 χ2检验和频率直方图检验法

χ2检验法是传统的数据处理方法，需将具有k个测量值的一组数据ni（i=1，2，…，k）分成r组，用fj表示每个分组区间中实际测得的次数，j=1，2，…，r，f′j表示每个分组区间按理论分布应有的出现次数。理论出现次数可根据满足的分布对应的面积函数算出各区间的面积pj，然后再乘以总次数k得到。即

可证明对应的统计量为

近似地服从χ2分布，其自由度dof（degree of freedom）为（r-s-1），这里s代表所用理论分布曲线所包含的参量数目。统计量χ2可用于判定一组数据满足何种分布以及衡量实际分布与理论分布的差异。

记k个测量数据为Ni（i=1，2，…，k），其算数平均值 ，均方差的估计值为 为横坐标，组频率fj/k为纵坐标，Sx/2为组距绘制实验值直方图，与理论值直方图进行比较，同时算出相应的χ2值，并与理论χ2值比较。结果表明：实验χ2值9.112小于理论χ2值19.675，故可认为实验数据服从正态分布，如图1所示。

4.2蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟方法也称为随机模拟方法，有时也称作随机抽样（Random Sampling）技术或统计试验方法，是核物理或粒子物理实验中成熟的模拟法。它是以概率论和数理统计为基础，利用计算机对有关随机变量进行统计实验、随机模拟，进而求解问题近似解的一种数值方法。为解决核物理或粒子物理的具体问题，首先需建立一个与求解有关的概率模型或随机过程，使它的参数等于所求问题的解，然后根据模型或过程的特点进行改进，随机模拟，最后通过对模型或过程的观察或抽样试验计算相关参数的统计特征，给出所求解的近似值及其精度。

在这个实验中用MATLAB程序产生分布宽度为Sx的正态分布随机数，与核衰变数据比较，见图2。从图中可以看出，蒙特卡罗模拟方法所产生的随机数与核衰变计数有部分偏离，但差别不大。所以在实验精度要求不高的时候，可以用该方法替代真实的实验获取核衰变计数，但需对误差做出估计。该方法的优点是可以快速地模拟产生出核衰变数据。

4.3正态拟合

正态拟合就是通过MATLAB程序用正态分布的概率密度函数去拟合采集到的核衰变计数，可以得到拟合正态分布曲线宽度值，见图3。该方法的思想与χ2检验法相同，但是能够更直观地看出实验值与理论值（拟合值）的差别，而且可通过宽度值的比较量化这种差别。

4.4蒙特卡罗拟合

蒙特卡罗拟合是核物理或粒子物理实验中常用的模型分析方法，从概率密度函数出发计算出符合正态分布的随机数。根据实验中得到的数据，通过调整MATLAB程序中的相关参数，选择不同的宽度值，使实验数据点尽可能多地落在拟合曲线上，构造出最适合的曲线，见图4，进而分析其中关系。拟合程度用χ2/dof来衡量，一般情况下小于1时就认为拟合较好。图4中，当σ=75.25时数据点与曲线拟合得最好，此时χ2/dof的值为0.005。

5小结

在近代物理实验教学中，核物理实验仪器、内容较为单一，并且由于核物理实验的特殊性，科研成果很难推广到实验教学中。所以如何使现有的实验条件更好地与核物理研究相结合，从而加深学生对物理本质的理解，是一个值得思考的问题。本文利用现有的实验仪器，引入科研中常用的方法来分析核衰变的产生机制，对于高年级的本科生完全可以做到。通过MATLAB编程进行数据处理，可以节省大量时间，使实验者能够将主要精力放在对实验原理的理解上。几种实验数据处理方法均在原有处理方法的基础上进行改进，为实验数据的分析提供了多种途径，有助于从不同角度理解核物理实验的物理本质。

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