对海森堡不确定原理的证明与诠释

王永熙

摘 要：不确定性原理（uncertaintyrelation）是1927年由维尔纳·海森堡（WernerKarlHeisenberg）博士所提出的并因他而命名的。如今这一原理是量子力学中最为基本和起始的理论，在粒子的研究中具有普遍的意义。它描述称对微观粒子的观测无法同时精确获得其位置和动量（即速度）。针对此原理的结论，本文将简单引入量子力学的基本理念和哥本哈根诠释的观点，同时与之结合，利用简化的高斯型波函数给出对不确定性原理的相关数学证明及其对应物理意义的阐释。

关键词：不确定性原理;动量;位置;波函数;表象;量子论

式中，指在某一时刻，对一已知微观粒子位置坐标的观测值与该粒子本身客观绝对的位置坐标的误差，指与在观测粒子位置的同一时刻，对粒子的动量（即速度）进行观测时，观测值与真实值的误差。二者的观测同时发生，因此二者的观测值对于观测者而言是同时得到的，但是二者的误差乘积不为零，最精细情况下也是大于一个常数的（）。这实际上说明，在同一时刻下对于微观粒子物理状态的观测是无法同时精确得出的，二者的误差必不为零。也因此，微观粒子本身的性质无法完全给出，粒子处于一种不确定的状态之下——这即为海森堡曾提出的不确定性原理。

这一原理在量子力学中曾一直在发展，海森堡本人首次提出时仅为一不包含准确数学计算的概念，在此之后，他才写下这一不等式用以阐明原理。这一结果的反直觉，极大程度上冲击了当时人的哲学和物理理念，也绝对划分了宏观物体的物理与解决微观问题的量子物理的界限。

3.对不确定性原理和量子论的思考与前景

自上世纪初普朗克首次提出量子并正确提出了黑体辐射之后，量子物理展开了快速发展，其理念之新奇曾一直难以让人接受，但直到如今，量子力学早已成为一门最为成功和成熟的物理学科之一了。量子物理的建立，同时也带动了如量子电动力学、凝聚态物理等等学科的兴起和快速发展，而作为量子论最为基础且本质的不确定性原理，也在不断更新着。

起初，海森堡等人曾认为这种无法同时观测到同时刻物理状态的不确定性在于观测的手段，因为即便是最精细、能够对被观测物造成影响最小的方式，也终是会对粒子有一定影响，例如，一粒光子在打到粒子上的时候，因光子本身具有的动量，也会对粒子造成一定影响，导致粒子真实的位置、或者动量受到影响，而使观测值有一定的不确定性，这一误差通过理论计算得以体现。但是后来，随着量子论的不断发展，理论的完备使人们相信引起这种不确定性的更多的在于量子态的交缠，换言之仪器与观测的物理影响本身并非必要条件，直接影响的原因是微观粒子本身的量子性质。

近代，量子理论的基础已基本完善，虽仍留下许多反直观的问题和现象，但在数学上已经达到自洽。小泽不等式的建立也使不确定性原理也得到了更精确的描述。考虑上粒子自旋、能场的影响等等之后，小泽正直（MasanaoOzawa）提出了对海森堡不确定性原理更细致和符合实际情况的修改，并成功利用实验超过了经典量子论中的测量极限。但本质上，二者的理论是相通的，只是随时代发展而准确化了。

在对于量子共振的理論计算上，不确定性原理还有另外一种表达：

其中E为能量，t为时间。上式也可以不等式方式写出，这一海森堡能量-时间不确定度关系在本质上与动量-位置关系不同，但仍以一种不确定性的形式影响实验，也是对不确定关系的一个补充，以及对微观物理本质的一次发现。阿尔伯特·爱因斯坦（Albert.Einstein）曾一直对哥本哈根诠释的自洽性有着质疑，在提出光箱实验并被玻尔（Niels.Henrik.David.Bohr）一夜解决之后，爱氏联另外两位科学家（B.Podolsky&N.Rosen）共同提出了EPR佯谬，这一对量子纠缠态的攻击一方面指出了量子物理中的无法遵守狭义相对论的超距作用，另一方面则对量子物理最根本的物理诠释造成了冲击。但后来，这种思想实验却也恰巧成了对量子纠缠现象的最基本原型之一，人们的确发现并成功利用了这种现象，引发了量子计算和量子信息的可能性。当初为了说明这一佯谬而由贝尔（J.Bell）所提出贝尔不等式，后来被实验打破极限，薛定谔（Erwin Schrödinger）提出著名的薛定谔的猫也在之后成为了对量子态最形象的描述。这一结果看似巧妙，但仍说明有很多难以认清的问题。因此，虽然现在科技的发展、理论物理的飞跃和稳固是与众目睹的，但人类对于量子物理所描述的微观世界的本质的探索，如今仍然有着极大的发展空间。

参考文献

[1]《新概念物理教程量子物理》（第二版）赵凯华，罗蔚茵著高等教育出版社

[2]《量子力学教程》胡行编机械工业出版社

[3]伽马函数百度百科https：//baike.baidu.com/item/%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0/3540177？fromtitle=%E4%BC%BD%E9%A9%AC%E5%87%BD%E6%95%B0&fromid=11217190&fr=aladdin

[4]《统计热力学导论》赵成大，梁春于编著吉林人民出版社