刍议“水滴型”在中学数学解题中的应用

邝凤玲

【摘要】在教学中发现根据学生认知特点建立适当的数学模型有利于学生更好地掌握数学定理。

【关键词】中学数学；水滴型；切线长定理

切线长定理是在学习了切线的性质和判定的基础上继续对切线性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。

切线长定理的内容包括：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角，共三个内容。在应用的时候我们主要利用它证明线段相等或角相等。但是由于切线长定理是一个相对内容比较多的定理，所以学生往往掌握得不全面。为此，我给学生提炼出切线长定理的模型——“水滴型”，如图1

利用“水滴型”可以让学生直观体会图形的对称性，从而加深对“切线长相等”与“点和圆心的连线平分两切线组成的角”的理解。那么在解题过程中，我们可以通过“水滴型”这种模型思想来使问题主干突出，从而攻破难点。

例1：如图2，在△ABC中，AB=5cm ，BC=7cm，AC=8cm，⊙O与BC、AC、 AB分别相切于 D、 E 、F，求 AF、 BD 、CE的长？

分析：在本题中表面上看只有一个三角形和一个圆，但是我们可以把它看成三个不同方向的“水滴型”，根据水滴的性质，我们知道AE=AF，BD=BE，CD=CF。一下可以得到三组相等的线段，并且这三组相等的线段中每两条不同的和正好就是AB、BC、AC的长。这里我们可以利用方程的思想设未知数，列方程解决。

如：设AE=AF=xcm，BD=BE=ycm，则

相同类型的题目还有下列两例：尝试练习1。已知，如图3，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°.

（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；

（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r.

尝试练习2。如图4，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________.

上面的这些图形中，“水滴型”很容易就辨别出来了，但不是所有的“水滴型”都很容易发现.

例2：如图5，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长.

分析：不少同学看到这个图形中只有一个“水滴型”，其实它跟上面的问题一样，有3个“水滴型”。从A点引出的两条切线容易被关注，从B、C亮点引出的切线却容易被忽略。

解：∵ AD=AE， BD=BF，CE=CF，

∴ CΔABC=AB+BC+AC

=AB+BF+CF+AC

=AB+BD+CE+AC

=AD+AE

=20+20

=40

例3：如图6，AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E，若AB=4，CD=9，求⊙O的半径。

分析：这个问题中，由于圆没有画全，所以更不容易看出“水滴型”来，这个时候，只要我们把圆补全就能发现从B点引出两条切线长BA和BE与圆构成一个水滴，从C点引出两条切线长CD和CE与圆又构成一个水滴。由此，得到两个隐含条件为：BE=BA=4及CE=CD=9。

解： 过点B作BF CD于F。

∵ AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E，

∴ AD⊥AB，AD⊥CD 且BE=BA=4，CE=CD=9 ，

∴ BC=BE+CE=13

∵ BF⊥ CD ∴四边形BADF为矩形，则DF=AB=4，BF=AD

∴ CF=CD-DF=5

在RtΔBCF中，即AD=12

∴ ⊙O的半径AO=AD=6

以上几个例子都是利用了“水滴型”中切线长相等这个性质，而有时我们需要用的是平分角的性质。

例4：已知：如图7，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm.求BC、AC的长.

分析：看到已知条件中有两个关于角度的，我们应该提醒自己还有两个暗含的条件即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。

解：∵∠BOC=105°，

∴∠CBO+∠BCO=180°-105°=75°

∵∠CBO=∠ABO，∠BCO=∠ACO，

∴∠ABC+∠ACB=2×75°=150°

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，则∠A=30°。

∵AB=20cm，

∴BC=AB10cm，AC=

利用“水滴型”平分角的性质的习题又如：尝试练习3。一个钢管放在V形架内，如图8是其截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm，∠MPN=60°，求OP的长。

上面的例子主要侧重于单方面利用切线长定理得到线段相等或得到角相等，还是相对简单些。在一些较复杂的题目中两个性质要同时使用的时候，我们往往容易忽略其一。

例5：如图9，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE与⊙O相切于D.

（1）求证：OE//AC。

（2）若tan∠OED=，DE=2，求AD的长.

分析：本题可以利用切线性质和判定、切线长定理得到第一问的结果。求AD长则需要利用OE平分∠BED。但是同学们在做题过程中可能不容易发现藏在里面从E点引出两条切线构成的“水滴型”。

（1）证明：∵∠ABC=90°，且AB为直径

∴BC是⊙O的切线

又∵DE与⊙O相切于D ∴BE=DE

连接OD、BD

∵ OD=OB且BE=DE

∴ OE垂直平分BD

∵ AB为直径

∴BD AD 则OE//AC

（2） 解：∵DE与⊙O相切于D且BC与⊙O相切于B

∴ OE平分∠BED 即：∠OEB=∠OED

∵ 由（1）知OE//AC ∴∠OEB=∠C

即tan∠C=tan∠OED=

且OA：OB=EC：EB 则EC=EB

∵ΔBCD为直角三角形，DE=2

∴BC=2DE=4

在RtΔODE中，∵tan∠OED= DE=2

∴OD= 则 AB=

在RtΔABC中，BC=4，AB=

∴则

∴在RtΔABC中，

同時，同时运用两种性质的还有：尝试练习4：如图10，⊙O 与x轴y轴分别相切于A、B两点。直线l与⊙O相切于点C，交y轴于点D（0，4），且与y轴成60°夹角。求点C的坐标。

切线长定理的应用在很多题目中有体现，但是学生很多时候看到切线先想到的是切线的性质和判定，容易忽略切线长定理的内容。在这种情况下，如果能让学生建立“水滴型”模型，并对“水滴型”模型的印象更深刻一些，对解题会有很大的帮助。