从“点在弧上动”看专题复习

储著峰

摘 要：如何有效的搞好中考前的专题复习？这是许多一线老师关心的问题。本文以专题《动点求最值——点在弧上动》为例，从试题的选择、知识的准备、试题的分类、试题的评讲、问题串解、归纳总结以及变式拓展等方面谈谈自己的一些认识。

关键词：基础知识;分类;问题串;变式;提升

引言：《动点求最值》是中考中常见的一种题型，也是较难的一种题型，而点的运动路径又是多种多样的，其中一种类型就是“点在弧上动”。本人在专题复习中发现，如果能够将众多知识点分门别类，问题串解，归纳提升，精心设计教学过程，就能较好的突破难点，实现专题复习的有效和高效。

一、精选试题

1、（2016年安徽中考题）

如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC.求线段CP长的最小值。

2、（2016湖北鄂州）

如图2，菱形ABCD的边AB=6，∠B=60°，P是AB边上一点，BP=3，Q是CD边上一点，梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为F. 求CF的最小值.

3、（2017·威海）

如图3，△ABC为等边三角形，AB=2.若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_____.

4、（2011年安徽中考题）

如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为  （0°<    <180°），得到△A1B1C.

设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC=a，连接EP，当   为多少度时，EP的长度最大，最大值为多少？

二、知识准备

以上四个例题都与下面的基础知识有关：

1、圆外一点与圆上各点的连线中，最短的是哪一条？最长的是哪一条？

2、圆内一点与圆上各点的连线中，最短的是哪一条？最长的是哪一条？

因此，这两个问题可作为复习环节，复习内容包括画图表示及简要证明。

三、分类评讲

仔细分析不难发现：第1题易求出∠APB=90°，第3题易求出∠APC=120°，这两题都属于“点动角不变”的类型，若放在一起评讲和练习，然后加以总结，对于学生以后解决此类问题会有很大帮助。同样，第2题根据对称性易得PF=3，第4题根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和旋转性质易得PC= a，这两题都属于“点动（到定点）距离不变”的类型，可放在一起评讲和练习。

四、问题串解

为更好的解决问题，针对题1，我设计了以下问题串：

1、∠APB等于多少度？

2、点P运动的路径是怎样的？

3、CP的长度最小时，点P在何位置？

4、线段CP长的最小值是多少？

针对题2，我设计了以下问题串：

1、PF等于多少？

2、点F运动的路径是什么？

3、CF的长度最小时，F在何位置？

4、CF的最小值是多少？

设计问题串，为学生搭建了梯子，极大的降低了解决问题的难度，提高了同学们解题的信心，同时，也为同学们解决这一类问题提供了方法。

对于题3和题4，教师可鼓励学生自己设计问题串，进而逐步解决问题，从中获得解题经验，提高解题能力。

五、总结提升

本专题总结要点如下：

1、点动角不变→点在弧上动。即以动点为顶点的角度不变，此时点在以动点所在三角形的外接圆上的弧上运动。

2、点动距离不变→点在弧上动。即动点到一个定点的距离不变，此时动点在以定点为圆心，以动点与定点之间的距离为半径的弧上运动。

3、化动为静，确定最值时图形的特殊位置，再根据静态的图形求出最值。

以上总结，一方面帮助学生梳理了知识，获得基本活动经验，能够在复杂图形中快速找到解决问题的途径，更重要的是教会了学生数学思想方法，增强了学生发現问题、提出问题、分析和解决问题的能力，同时也提高了学生学习的兴趣。

六、变式拓展

对于一道好的试题，我们不能仅停留在能解的层次上，而要站到更高的层次欣赏这道试题。针对本专题，可以进一步设计以下问题：

题1可设计：求CP长的取值范围。

题2可设计：改变BP的长度，结果如何？

题3可设计：求BP能够扫到的面积。

题4可设计：将中题中   的取值范围改为0°<   <360°，答案有变化吗？此时，EP的最小值是多少？

总之，要做好专题复习，教师要做有心人，要认真研究课程标准，研究考题，研究学生，我们坚信，总有一种方法适合自己的教学，总有一种方法适合我们的学生学习。

参考文献：

[1]黄玉梅.如何利用思维导图优化初中数学复习课[J].学周刊，2017（31）：95-96.

[2]武丽虹.凸显专题特点  提高复习效率[J].中学数学教学参考，2017（20）：45-48.