释疑解惑探真知

范叔旺

摘  要：本节课在学习完“任意角和弧度制”后的一节新授课——任意角的三角函数。为更好地突出“三角函数作为描述周期变化的数学模型”这一本质，教材通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念。特别强调了单位圆的直观作用，用单位圆上的点的坐标定义正弦函数、余弦函数和正切函数。

关键词：三角函数;过程;反思

一、学生学习情况分析

学生虽然有锐角三角函数的知识和经验，但他们自己在阅读教材时，会产生以下的疑惑：

1.任意角的三角函数定义为什么要引入坐标系？

2.的正弦值为什么规定用比，而不是的绝对值比？

为此要利用学生的日常生活经验，设计数学应用的问题情境，让学生感受到数学的自然性、实用性。

二、教学过程（教学片段）

师：学习任意角的概念让你留下哪些深刻的印象？

生：负角、零角、正角等。

师：还有比较具体的吗？

生：（迟疑了下）哦，角的周而复始的旋转。

师：很好，如何表示角的周而复始的旋转加表示什么含义？

生：

师：很好。若我在终边上取一距离原点的半径为1的定点，那么它在旋转后形成的轨迹就是圆。那么，我们学过的函数中有没有刻画圆周运动？

生：（学生疑惑）好像没有。

师：我们这节课就是来一起学习如何刻画圆周运动的函数，叫做《任意角的三角函数》。当终边转过时，则等于多少？

生：（很快的）。

师：那么的正弦、余弦、正切值呢？

生：还是吧。

师：还是直角三角形中的三角函数？

生：是。

师：它能等同于这个角三角函数值吗？

生：能。

师：你是利用锐角三角函数的知识来做的，但是角已经不是锐角了吧，在锐角三角形中还能找到它吗？

生：（疑惑）不行。

师：那有更好的方式来定义它吗？（教师旋转终边，與单位圆的交点P的坐标随时在变化，同时在学生熟悉的等角处停留）

生：（经观察后恍然大悟）可以利用点P的坐标来表示。

师：（喜悦）如何具体表示？

生：设坐标P（），则。

师：（部分学生还有疑虑）这样定义到底何不合理要看具体情况，我们可以具体举例进行验证。当旋转到时呢？

有学生通过计算器验证得

，

符合刚才的定义。也有学生仍然通过构建直角三角形求出为。

师：若依然利用直角三角形的三角函数来做，它的问题在哪里？

生：此时的不是，也就是说，在直角三角形里已经找不到了。

师：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变吗？为什么？

由于学生第一次接触单位圆，对它所能起的作用不了解，所以需要教师的引导。也可以引导学生从形式上对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。

师：刚才圆的半径，当它的半径不等于1时，又如何呢？

生：，，。

给出下列表格，让学生自己补充完整。

三角函数

定义一：

定义二：

定义域

及时归纳总结，有利于学生对所学知识的巩固和掌握。

三、教学反思

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。从任意角的而周而复始的旋转入手，抓住了三角函数是刻画圆周运动的数学本质，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，体现了数学核心素养。

2.通过单位圆来定义三角函数，渗透数形结合思想。同时在说明三角函数是函数上体现了函数与方程思想。由锐角三角函数的坐标表示引到任意角的三角函数的坐标表示，展示类比的思想。在探索四象限的三角函数的符号特征时，我采用探究式学习方式，锻炼了学生的独立思考能力，也充分展现了学生自学、探究学习的过程。

参考文献：

[1]魏翠萍，高志海，郭婷婷.一个基于三角函数的直觉模糊熵公式[J].控制与决策，2012，27（4）：571-574.

[2]李加文，陈宗雨，李从心.基于函数逼近的三角函数加减速方法[J].机床与液压，2006（3）：66-67.