高中数学教学中如何渗透数形结合思想

张勇

【摘要】  数学是一门研究空间形式和数量关系的科学，而数形结合思想是很重要的数学思想之一，“数形结合”指的是依据图形和数量之间的关系，通过比较抽象的数学方式和方便的图形，使得形象和抽象思维结合起来，“数形结合”已经成为一种较为常用的数学学习方法。“数形结合”包括通过“数”和“形”两种方式的结合，使得数学的解题过程更为巧妙和简便.因此在高中数学教学中应该有效渗透数形结合思想，以提高学生的思维能力和数学素养。本文浅析高中数学教学中应该如何渗透数形结合思想，以供相关人士参考与讨论交流。

【关键词】  数形结合思想 渗透方法

【中图分类号】  G633.6           【文献标识码】  A   【文章编号】  1992-7711（2019）06-107-01

引言

在高中数学教学中，数形结合思想占有着极其关键的地位。所谓的数形结合指的是结合数学题目中的相关条件与结论间的存在的内在关联，解析探究对象里边的代数含义，并揭示它的几何意义，让数量关系与空间形式进行巧妙结合，生动且有效地帮助学生提高理解力。高中数学教学中到底应该如何渗透数形结合思想，可以从以下几方面入手。

一、 利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想

在进行人教B版必修1第一章集合的教学时，由于学生刚接触集合这一概念，对集合之间的关系的理解感到困难，因此在教学过程中教师可以采取如下处理：

教师可以向学生介绍集合的另一种表示方法维恩（Venn）图，即用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，然后让学生讨论两条封闭曲线能有多少种不同的位置关系，并让他们画出来，接下来教师可以让学生们观察他们画出来的图的异同点，并引导他们用集合语言描述出来。通过维恩（Venn）图的直观表示，学生很快就能理解“子集”、“真子集”、“集合相等”这些抽象的概念了，还能体会数形结合的思想。

二、“诱导”式渗透法

例如，通过对函数解析式的代数分析并画出函数的图象，在进行人教B版必修1第二章函数的教学时，虽然学生在初中对函数已经有了初步的认识，但是对用集合语言描述函数的概念，用代数方法研究函数的单调性、奇偶性等性质还是感到很困难。这种情况下教师就可以找个有针对性的典型例题，一边分析题目和题目中涉及到的知识点，然后一步一步地带领着学生们画出相应的图，这种方式可以让学生从形的角度进一步理解函数的概念;在研究一次函数和二次函数的性质与图象时，由于学生在初中已用描点法作过一次函数和二次函数的图象，因此教师可以先从学生们已有的知识点出发，让学生列表、描点、连线，作出一次函数和二次函数的图象，让他们先从数的角度认识单调性、奇偶性，对称性，然后再通过图象直观感觉单调性、奇偶性，对称性，让学生深刻体会“数缺形时少直观，形离数时难入微”。这样的“诱导”式教学，不仅可以帮助增强学生的理解能力，还能提高学生的问题分析能力和解题技巧，同时还向学生们渐渐渗透了数形结合这一重要的数学思想。

三、运用数形结合思想分析几何图形的直观性

例如，借助单位圆的直观性，利用与单位圆有关的三角函数线，运用数形结合思想解决有关问题。在进行人教B版必修4第一章基本初等函数的教学时，因为在必修1中对数形结合思想已经进行了有效的渗透，因此在这一章中教师试着慢慢放手，让学生们自己运用数形结合思想去分析圆的直观性，然后去分析并解决有关问题。以下以《单位圆与三角函数线》这一节为例，说说如何借助单位圆，利用与单位圆有关的三角函数线引导学生运用数形结合思想的。

在《单位圆与三角函数线》这一节之前学习了三角函数的定义，该定义从代数角度揭示了三角函数值是一个“比值”。教师可以让学生从代数形式分析了三角函数在各象限的符号，还可以让学生求出一些轴线角的三角函数值，并分析出正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，这样学生就可以慢慢得出正确答案，但是要让学生们记住这些数学结论光靠死记硬背是很困难的。因此在完成单位圆与三角函数线的教学后，教师可以让学生从几何的角度分析一些典型的问题。因为三角函数线是用轴上向量的长度表示三角函数的绝对值，用方向表示三角函数值的正负号，所以三角函数在各象限的符号直接能通过三角函数线的方向看出，对于这些轴线角的三角函数值及正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，教师还可以自制几何画板课件，让学生直接从形的角度得出答案。不仅如此，在角的变化过程中，还能让学生渐渐地发现正弦值从0开始慢慢增大直到1，然后慢慢减小，当角的终边落在轴的非正半轴时，正弦值为0，再继续逆时针旋转，正弦值还是慢慢减小，接下来又会慢慢增大，当角的终边落在轴的非负半轴时，正弦值为0;而余弦值从1开始慢慢减小，当角的终边落在轴的非负半轴时，余弦值为0，再继续逆时针旋转，余弦值还是慢慢减小，接下来慢慢增大，当角的终边落在轴的非正半轴时，余弦值为0，然后继续增大直到1。继续观察，还能启发一些学生发现当角旋转一周时，正弦线、余弦线都会重复出现，这样就能得出三角函数间的关系，也为以后理解三角函数的单调性、周期性等性质打下了基础。这种方法比死记硬背高效、有用、易理解，理解了就更容易记住这些函数结论了。课后教师还可以留适量的練习题让学生利用数形结合的思想加以解决，让学生学以致用和加深理解。

四、结束语

教师要认真研究教材，着眼于数学发展的全局，着手于具体的教学过程，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，使它成为分析问题、解决问题的良好工具，这也是所有数学教育工作者应该追求的目标。

[ 参  考  文  献 ]

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