浅谈三次函数的性质及简单应用

古芳

摘 要：三次函数与二次函数有着非常紧密的联系，在高考中同样占据着非常重要的位置，在近几年的高考中三次函数问题屡次出现，必须引起我们的重视.熟悉三次函数的模型，掌握其图象及性质，对于解决三次函数的极值最值问题、对称性问题和切线问题等都有着非常重要的作用

关键词：三次函数;图象与性质;单调性;对称性

三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，是教学过程中的一个重点和难点，也是高考考查的一个热点，应该引起我们的重视。现将自己在三次函数教学过程中的一些做法作简单的归纳，与大家共勉。

一、定义

形如的函数，称为三次函数（从解析式的结构上命名）。三次函数是一个特殊函数，平时我们接触它是在学习导数之后，由于其导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数是高考的一个热点和亮点。

二、三次函数单调性、图象变化规律、极值最值以及对称性。

1.单调性、图象变化规律

函数的导函数为。我们不妨把方程称为原函数的导方程，其判别式。若，设其两根为，，若a>0，当时，y=f（x）是增函数;当时，其单调递增区间是，单调递增区间是;若a<0，当时，y=f（x）是减函数;当时，其单调递减区间是，单调递增区间是。

根据a和△的不同情况，其图象特征分别为（如图1）：

2.最值与极值

函数若且，则：;。

函数，当时，不存在极大值和极小值;当时，有极大值、极小值。

3.对称性

函数是中心对称图形，其对称中心是。

证明：设的图象关于点对称，任取图象上点，则A关于的对称点也在y=f（x）图象上，

下面选一些平时出现的试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。

三、简单应用

1.三次函数的切线问题

例1.已知函数f（x）=x3-3x.

（1）求曲线y=f（x）在点M（2，2）处的切线方程;

（2）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.

解（1）f′（x）=3x2-3，f′（2）=9，所以y=f（x）在點M（2，2）处的切线方程是y=9x-16;

（2）设切点为（t，t3-3t），切线方程为y-t3+3t=（3t2-3）（x-t），将A（2，m）代入切线方程得2t3-6t2+6+m=0，令g（t）=2t3-6t2+6+m，g′（t）=6t2-12t=0t1=0，t2=2，题设中有三条切线等价于g（t）=0有三个不同实根，故-6<m<2.

四、相关训练题：

变式1 若x3-x2+ax-a=0只有一个实数根，求实数a的取值范围

（答案[0，+∞））

纵观以上事例，只要我们掌握了函数的性质和图象，在平时解题中都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线方程等性质的研究，这也有助于提高对知识系统性的理解水平，拓宽解题思路。

参考文献

[1]陈崇荣;三次函数的对称性试题赏析[J];数理化学习（高中版）;2014年02期

[2]袁拥军;三次函数的四种图象类型（高三）[J];数理天地（高中版）;2015年04期

[3]刘国杰;三次函数图象对称性的探索[J];数学通讯;2016年20期