矩阵乘积的不同定义及其应用

赵小鹏 谢德晓

【摘要】：矩阵乘法在代数理论中用处广泛，对于低阶矩阵来说往往比较容易。而对于高阶矩阵，合理的分块将对于矩阵理论研究有着至关重要的作用，本文以常用分块矩阵思想为出发点，剖析其矩阵乘积的结构特点。

【关键词】：分块矩阵  矩阵乘积  向量组的秩

一、矩阵的定义

1.矩阵乘积的一般定义：

i.矩阵的A列数等于矩阵B的行数;

ii.矩阵乘积AB的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵的列数。

2.分块矩阵下矩阵乘积的定义：

我们知道对于任意m×n的矩阵，行与列都可切割成若干组，且行与列组成若干个子矩阵，如果把矩阵A看成是由若干个子矩阵组成的，那么就完成了矩阵的分块。

对于矩阵A与B的乘积AB来说，（以下假定矩阵AB有意义）矩阵A与B切割只要能使矩阵乘积AB有意义的切割都是可行的，以下列举常用四种以分块矩阵研究矩阵乘积定义的方法：

二、实例分析

典例1：利用分块思想来证明矩阵乘积的秩的关系

典例2：分块矩阵定义在解决高阶行列式中的优越性

三、总结

对于计算低阶矩阵乘积来说往往最基本的定义就已足够，但大多情况下在研究高阶矩阵时，不论是计算还是理论知识矩阵乘积一般定义就显得不够直观，利用矩阵分块的思想一分为二地的看待问题时能够简便许多;实践证明：合理的切割分块将有利于我们更好地去研究矩阵，这样不仅把所谓的高阶矩阵的“阶数”降低而且使得分块化的矩阵结构简洁明了。适当的处理与合理联系矩阵其固有性质有利于矩阵的秩、维数以及线性方程组的有关证明。

参考文獻：

[1] 北京大学数学系前代数小组.高等代数：第四版[M].北京：高等教育出版社，2013：176-177.

[2] 蓝以中.高等代数简明教程上册：[M].北京：北京大学出版社，2002

[3] 张禾瑞，郝鈵新.高等代数：第四版[M].北京：高等教育出版社，1997