由一道中考试题引发的思考

刘刚

摘 要：初中几何教学中，引导学生根据问题中提供的具有特征性的条件建立适当的数学模型是一项重要内容，也是学生学习的难点。《新课程标准》提出要培养学生的六大核心素养，其中培养学生的数学建模能力是一项重要的内容。围绕“K”字型这一常见的数学模型笔者谈谈自己在教学中的一点想法。

关键字：数学建模;“K”字型;全等;相似

2018年扬州市中考数学试卷中有这样一道试题（如图1），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为         .

本题是一道有关折叠的问题，由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE（如图2），利用AAS得到三角形OED與三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标.

解法一：由折叠得∠CBO=∠DBO

∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO=∠BOA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE

在△ODE和△BAE中

∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE=DE

设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x

在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2

解得x=5，即OE=5，DE=3，过D作DF⊥OA.

∵S△OED=OD·DE=OE·DF

∴DF=，OF=

则D（，-）.故答案为（，-）

本题在学习“三角形全等”和“勾股定理”等知识时都曾经出现过，对于本题大部分学生并不陌生。与以往的呈现形式不同的地方在于此题把一个矩形放在了平面直角坐标系的背景之下，把原来求线段长的问题变化成了求点的坐标的问题。细细品味此题，也可以从其他角度探寻解题的办法。

解法二：过D点作DF垂直于y轴交BA的延长线于G点（如图3）

∵∠CDB=∠OCB=90°

∴∠ODF+∠BDG=90°

易证得△ODF相似于△DBG

∴OF∶DG=DF∶BG

设OF=m，DF=n，∴m∶（8-n）=n∶（4+m）

又∵m²+n²=OD²=16，易求得m=2.4，n=3.2.

∴D点坐标为（，-）

本题采用的第二种解题方法是从三角形相似的角度入手，而建立三角形相似关系的关键因素是利用了几何知识中的一个基本图形——“K”字型。初中数学教材中有很多数学模型，“K”字型是其中的一种重要模型。这种数学模型常常出现在“三角形全等”和“三角形相似”的解题中，有时也在平面直角坐标系的数形结合问题中有所应用。《新课程标准》提出要培养学生的核心素养，其中重要的一点就是数学建模能力的培养。熟练掌握这种基本图形不但对提高学生的解题能力有很大的帮助，对培养学生的数学核心素养也有很大的帮助。

初中几何中的“K”字型问题具有一些典型特征，熟练掌握这些特征对学生更好地分析问题、解决问题有所帮助。应该引起注意的是“K”字型中具有“一线三等角”的基本要素。如图4，∠1=∠2=∠3，且它们的顶点在直线AB上，这就是“K”字型模型。在“一线三等角”的条件下可以得到△AEC∽△BCF，这为利用这一数学模型解决其他边角之间的关系提供了便利。

上题中出现了∠OFD=∠ODB=∠DGB=900这种数学模型的特殊情况，这种特殊情况也是实际解题中出现得最多的，应作为学生理解掌握的重点。特殊条件下，“K”字型模型演变成了图5所示的情况，如图，B、C、E三点共线，∠B=∠ACD=∠E=90°，易证得：△ABC∽△CED。这是初中数学中最常见的“K”字型模型的形态。

在一定的条件下，“K”字型相似问题可以转化为“K”字型全等问题。

例1：如图6，将等腰直角放在直角坐标系中， 其中∠B=90°，点A（8，4）、B（0，10），求AB的长及点C的坐标。

本题如果去掉平面直角坐标系的问题背景，实际就是等腰直角三角形ABC的直角顶点B在一条直线上进行旋转，在三角形ABC旋转的过程中，它的形状、大小不变，体现在三角形ABC中线段AB、BC、AC的长度不变，∠ABC、∠A、∠C的度数不变。在三角形旋转的过程中也有发生改变的元素，如三角形位置会发生改变，在位置改变的过程中又会带来新的变与不变的量。如图7中，作线段AD、CE垂直于x轴，D、E为垂足。在三角形ABC旋转的过程中，线段AD、BD、BE、CE的长度会随着三角形ABC的位置改变而改变，但是在一定条件下三角形ABD与三角形BCE又始终保持全等，这也是本题求解的关键。再回看图2，可以发现本题由在平面直角坐标系中求点的坐标的问题演变成了“K”字型全等的问题。

在分析本题的过程中让学生充分发掘图形中变与不变的量，把握住问题的关键有利于学生数学建模能力的培养，提高学生利用基本图形解决问题的能力。

例2：如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，BD平分∠ABC，点E在BC，∠EDB=45°，BE=5CE，CD=3，求AB的长。

相对上题，本题所给的条件较为抽象，但∠BDE=45°给我们留下了想象的空间。充分利用这个45°角构造等腰直角三角形可以为我们打开解题思路。如图9，过E点作EF垂直于DE交DB于F点，过F点作FH垂直于BC，H为垂足，这样就可以构造出“K”字型全等的基本图形，利用△DCE与△EHF的全等关系解决问题。

前面所选用的几个例题中，三等角都是以直角的面貌呈现，都是“K”字型模型中的特殊情况，也是较为常见的形态。但是作为一种重要的数学模型，我们也会遇到非直角的三等角的情况，而这些题型更应引起我们的重视。

例3：如图10，等边三角形ABC中，D点是线段AB中点，若∠EDF=60°，AB=6，AF=2，求线段BE的长。

本题中，条件“等边三角形ABC”隐含地告诉我们，∠A、∠B都等于60°，结合条件∠EDF=60°，本题具备了“K”字型问题中“一线三等角”的基本条件。

例4：如图11，等腰直角三角形ABC中，D点在线段AB上，且AD=DB，若∠EDF=45°，AF=3，BE=4，求AB的长。

与例3类似，本题中条件“等腰直角三角形ABC”间接地告诉我们图中∠A、∠B都等于45°，结合条件∠EDF=45°，本题同样具备了“一线三等角”的基本要素。

例5：（1） 如图12，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，证明：DE=BD+CE.

（2）如图13，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明，若不成立，请说明理由。

（3） 拓展与应用：如图14，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状。

例5是“K”字型问题的一个综合性问题，本题中三个问题从特殊到一般层层递进，充分体现了综合性几何问题是由简单问题、基础性问题构成的特点。

以上这几个题目，选取的都是初中数学中比较常见的类型，而在实际解题中，这一类型的问题也时常出现在矩形、等腰梯形等不同的问题背景之下，本文不一一列举。要判断这些问题是否属于“K”字型这种数学模型，就要仔细分析题中是否具备“一线三等角”的基本要素。如果属于“K”字型问题，往往可以利用图中隐含的三角形相似或三角形全等来解决问题。

任何一个复杂的几何图形都是由基本图形构成的，要能够从纷繁复杂的几何图形中找到解决问题的办法，就需要我们对初中几何中一些基本模型有清晰的认识，能够从复杂图形中离析出基本图形，这对培养学生分析问题、解决问题的能力将会有很大的帮助。