如何在高三数学复习中进行高效教学

王家强

在高三数学复习中，如何通过一个典型例子的解题教学，达到让学生学会编制“一张知识网”网络所有相关的知识，达到触类旁通，举一反三，以少胜多的教学效果，尽量减轻给学生繁重学习负担，提高教学效率的最佳途径。下面试图通过一道有关弦长公式的运用的例子的教学来说一说自己在这方面的做法和体会，与同行商榷。

摘选自2016年全國卷卷II的第23题：在直角坐标系中，圆C的方程为.

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;

（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率.

分析1：这道题目的第一问比较基础，主要考察直角坐标和极坐标的互相转化，绝大多数同学都能正确写出答案来，如下：

【解析】（Ⅰ）圆的极坐标方程为.

分析2：这道题目的教学应该放在的第二个问题的教学上，选择这道题目的目的也主要是看中第二问简单明了，适合自己的学生目前的学习水平，易于开展深入性复习教学，通过这一题的教学让学生很好地把有关“弦长”的算法“一网打尽”，真正达到复习的高效教学如下：

（教师）设问1：直线l的参数方程告诉我们这条直线的有什么“特征”？请同学来表达自己的理解。

学生1很快就回答：经过原点且倾斜角为的一条直线。

设问2：这样的直线你们还能够用其它形式的方程来表示吗？

学生2经过思考、讨论，觉得答案很多，发现这条直线还可以有这么一些形式方程来表示：

面对学生给出五花八门的答案，我微信着不可置否。

（继续问学生）设问3：大家来共同思考：以上答案都对吗？你们个人有什么意见补充？（学生陷入思考和讨论）

学生3：我认为①答案不一定正确的，因为它有可能表示一条与x轴垂直的直线，这时斜率不存在，无法表示成y=kx或这个形式，应该分斜率存在或者不存在两种情形处理。

学生4：方程②的表达欠完整，应该再附上这个条件

同学们思考得严密周到，也表达完整无缺！

设问4：题目条件中也就是弦长已知，那么大家想一想，|AB|可以有怎样表达？

学生1：直线与圆相交所得的弦长，d是圆心到直线的距离，跟k有直接关系：

解法一：图像分析可知直线的斜率一定是k，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得

学生2：联系，决定用直线的标准参数方程进行解题

解法二、将直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程中得：

设A、B两点对应的参数分别t1、t2是则由韦达定理得

学生3：由于A、O、B三点共线，故可以考虑采用极坐标系中弦长公式

解法三、直线将直线l的参数方程是（t为参数）化为极坐标方程为，再代入圆极坐标方程，得：

设点

学生4：联系到以前学的弦长公式求解

解法四、由图像可知直线的斜率k一定存在，故设直线l的方程是y=kx，点

则由

两边平方，化简得：

学生5：几何方法。数形结合，作出图形如下，利用倾斜角与斜率关系，

转化为解直角三角形，但注意斜率可以是正负的：

如图，中，由勾股定理得

变式训练：在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），直线与曲线相交于A、B两点，点Q的坐标是（2，1），求的变化范围。

通过一道难度中等偏下的高考选做题作为例题教学及一道变式训练，启发学生对它进行多维思考，有机地将学生学过的一些有关弦长公式糅合一起，进行系统复习。采取这样的复习教学方式，比较适合我们任何一所的普通高中学生目前的数学水平和思维能力，比起一堂课洋洋洒洒讲好多题的满堂灌的解题教学，这样教学更能充分调动学生思考问题解决问题的积极性，突出学生主体地位和老师的辅助作用，培养学生发散思维，触类旁通，因而效果也比较理想。提倡在高三复习中进行这样目的明确的微专题复习——尽量把教学要求设计达到大多数同学“跳一跳，就能摘到果实吃”，这样的课才有生机，充满活力！