讲解列方程中有关数的问题的一点思考

黄春生

关键词：加、减、乘、除、和、差、积、商、余数、倍数、偶数、奇数、连续奇数、连续偶数、倒数、相反数、两位数、三位数、四位数等。

初中阶段在学习列方程解应用题时，经常会遇到有关数的问题，本人现将在教学中所积累的一些资料及体会提供给大家参考，并列举了一些典型例题的讲解，以便今后大家教学时给点帮助。

有关数的问题分成两小类：一类是一般数的关系问题;另一类是用数字组成数的问题。

一般数的关系问题  这一类问题都比较简单的，只要懂得加、减、乘、除、和、差、积、商、余数、倍数、偶数、奇数、连续奇数、连续偶数、倒数、相反数等，就可以根据题意列出方程。

例1：甲乙丙丁四个数的和为43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减去4，都相等。问这四个数各是多少？

分析：（1）甲数的2倍加8，乙数的8倍，丙数的4倍，丁数的5倍减去4，都相等。如设这个相等的数为未知数，便可用含未知数的代数式来表示甲、乙、丙、丁各个数。

（2）甲乙丙丁四个数的和为43。∴甲数+乙数+丙数+丁数=43

根据这个等量关系可得方程：

解1：设相等的数为χ，则甲数为;乙数为;丙数为;丁数为。

根据题意，得：+++=43，30（χ-8）+20χ+15χ+12（χ+4）=2580，77χ=2772，∴χ=36，甲数为==14，乙数为==12，丙数为==9，丁数为==8

答：甲、乙、丙、丁、四个数分别为14、12、9、8。

说明：本题如不设立辅助未知数则较繁。

解2：设甲乙丙丁四个数分别为x、y、z、u。

根据题意，得

从2得：2x+8=4z，∴x=2z-4（3），3y=4z，∴y=z（4），5u-4=4z，∴u=（5），以（3）、（4）、（5）代入（1）∴z=9，以Z=9分别代入（3）、（4）、（5），x=14，y=12，u=8

答：甲、乙、丙、丁四个数分别为14、12、9、8。

例2：甲乙两个数，甲数除以乙数得商2余17;如以甲数除乙数的10倍，则得商3余45。求这两个数。

分析：①∵被除数=除数×商+余数，∴设乙数为x，则甲数为（2x+17）。②∵甲数除乙数的10倍得商3余45。

解法1：设乙数x，则甲数为2x+17，根据题意，得10x=3（2x+17）+45，4x=96，∴x=24，∴2x+17=24×2+17=65，答：甲数是65，乙数是24。

说明：本题不宜设甲数为x。

解法2：设甲数为x，乙数为y。根据题意，得，以（1）代入（2）  10y=3（2y+17）+45;∴y=24;代入（1），∴x=65

答：甲数是65，乙数是24。

解法讨论，如上所设，又可得下列方程组：

说明：列方程应尽可能列整式方程。

例1：一个三位数，如果把它的各位数字按相反顺序写出，所得的数比原数小99;已知三位数字的和是14;且中间一位数字是另外两位数字的和，求这个三位数。

解：设这三位数的个位数字是x。根据题意，个位数字与百位数字的和应是7，∴百位数字是7-x，十位数字是7，因此，所求数可写为：100（7-x）+70+x，列出方程：100（7-x）+70+x-99=100x+70+（7-x）;解得x=3

答：所求的三位数是473。

用数字组成数的问题  解这类问题，首先要知道什么叫两位数、三位数、四位数等;其次要了解各个数位上的每个单位各表示多少。两位数，就是用两个数字组成的数;三位数，就是三个数字组成的数;四位数，就是用四个数字组成的数。以此类推。个位上的一个单位就表示一个单位;十位上的一个单位，相当于个位上的十个单位;百位上的一个单位，相当于个位上的100个单位。

例：一个三位数，它的百位上的數是2，十位上的数是，个位上的数是5。则此三位数是2×100+3×10+5=235。

关键先用未知数（或含未知数的代数式）来表示所求数的各数位上的数，然后用代数式来表示这个数。

例如，一个三位数，它的百位上的数为a，十位上的数为b，个位上的数为c。那么这三位数是100a+10b+c。如果百位上的数与个位上的数对调，那么新的三位数是100c+10b+a，而不是且abc，且记。

注意点 如果要求一个三位数，最后一定要把这三位数写出来，而不能只求出各数位上的数就完事了。

例：有一个三位数，数位上的数和是15，百位上的数与个位上的数的差是5，如颠倒数位上的数的顺序，则所成的新数比原数的3倍小39，求这个三位数。

分析：①要求这三位数，必须知道这三位数的各个数位上的数。∵颠倒数位上的数的顺序比所得的数比原数大。∴个位上的数一定大于百位上的数。②设百位上的数为x，则个位上的数为（x+5），十位上的数为15-（x+x+5），即10-2x。③原数为100x+10（10-2x）+x+5;新数为100（x+5）+10（10-2x）+x。④新数比原数的3倍少39。