讲解列方程中有关数的问题的一点思考

2019-09-10 07:22黄春生
教育周报·教研版 2019年8期
关键词:三位数数位个位

黄春生

关键词:加、减、乘、除、和、差、积、商、余数、倍数、偶数、奇数、连续奇数、连续偶数、倒数、相反数、两位数、三位数、四位数等。

初中阶段在学习列方程解应用题时,经常会遇到有关数的问题,本人现将在教学中所积累的一些资料及体会提供给大家参考,并列举了一些典型例题的讲解,以便今后大家教学时给点帮助。

有关数的问题分成两小类:一类是一般数的关系问题;另一类是用数字组成数的问题。

一般数的关系问题  这一类问题都比较简单的,只要懂得加、减、乘、除、和、差、积、商、余数、倍数、偶数、奇数、连续奇数、连续偶数、倒数、相反数等,就可以根据题意列出方程。

例1:甲乙丙丁四个数的和为43,甲数的2倍加8,乙数的3倍,丙数的4倍,丁数的5倍减去4,都相等。问这四个数各是多少?

分析:(1)甲数的2倍加8,乙数的8倍,丙数的4倍,丁数的5倍减去4,都相等。如设这个相等的数为未知数,便可用含未知数的代数式来表示甲、乙、丙、丁各个数。

(2)甲乙丙丁四个数的和为43。∴甲数+乙数+丙数+丁数=43

根据这个等量关系可得方程:

解1:设相等的数为χ,则甲数为;乙数为;丙数为;丁数为。

根据题意,得:+++=43,30(χ-8)+20χ+15χ+12(χ+4)=2580,77χ=2772,∴χ=36,甲数为==14,乙数为==12,丙数为==9,丁数为==8

答:甲、乙、丙、丁、四个数分别为14、12、9、8。

说明:本题如不设立辅助未知数则较繁。

解2:设甲乙丙丁四个数分别为x、y、z、u。

根据题意,得

从2得:2x+8=4z,∴x=2z-4(3),3y=4z,∴y=z(4),5u-4=4z,∴u=(5),以(3)、(4)、(5)代入(1)∴z=9,以Z=9分别代入(3)、(4)、(5),x=14,y=12,u=8

答:甲、乙、丙、丁四个数分别为14、12、9、8。

例2:甲乙两个数,甲数除以乙数得商2余17;如以甲数除乙数的10倍,则得商3余45。求这两个数。

分析:①∵被除数=除数×商+余数,∴设乙数为x,则甲数为(2x+17)。②∵甲数除乙数的10倍得商3余45。

解法1:设乙数x,则甲数为2x+17,根据题意,得10x=3(2x+17)+45,4x=96,∴x=24,∴2x+17=24×2+17=65,答:甲数是65,乙数是24。

说明:本题不宜设甲数为x。

解法2:设甲数为x,乙数为y。根据题意,得,以(1)代入(2)  10y=3(2y+17)+45;∴y=24;代入(1),∴x=65

答:甲数是65,乙数是24。

解法讨论,如上所设,又可得下列方程组:

说明:列方程应尽可能列整式方程。

例1:一个三位数,如果把它的各位数字按相反顺序写出,所得的数比原数小99;已知三位数字的和是14;且中间一位数字是另外两位数字的和,求这个三位数。

解:设这三位数的个位数字是x。根据题意,个位数字与百位数字的和应是7,∴百位数字是7-x,十位数字是7,因此,所求数可写为:100(7-x)+70+x,列出方程:100(7-x)+70+x-99=100x+70+(7-x);解得x=3

答:所求的三位数是473。

用数字组成数的问题  解这类问题,首先要知道什么叫两位数、三位数、四位数等;其次要了解各个数位上的每个单位各表示多少。两位数,就是用两个数字组成的数;三位数,就是三个数字组成的数;四位数,就是用四个数字组成的数。以此类推。个位上的一个单位就表示一个单位;十位上的一个单位,相当于个位上的十个单位;百位上的一个单位,相当于个位上的100个单位。

例:一个三位数,它的百位上的數是2,十位上的数是,个位上的数是5。则此三位数是2×100+3×10+5=235。

关键先用未知数(或含未知数的代数式)来表示所求数的各数位上的数,然后用代数式来表示这个数。

例如,一个三位数,它的百位上的数为a,十位上的数为b,个位上的数为c。那么这三位数是100a+10b+c。如果百位上的数与个位上的数对调,那么新的三位数是100c+10b+a,而不是且abc,且记。

注意点 如果要求一个三位数,最后一定要把这三位数写出来,而不能只求出各数位上的数就完事了。

例:有一个三位数,数位上的数和是15,百位上的数与个位上的数的差是5,如颠倒数位上的数的顺序,则所成的新数比原数的3倍小39,求这个三位数。

分析:①要求这三位数,必须知道这三位数的各个数位上的数。∵颠倒数位上的数的顺序比所得的数比原数大。∴个位上的数一定大于百位上的数。②设百位上的数为x,则个位上的数为(x+5),十位上的数为15-(x+x+5),即10-2x。③原数为100x+10(10-2x)+x+5;新数为100(x+5)+10(10-2x)+x。④新数比原数的3倍少39。

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