函数单调性在函数不等式证明中的应用分析

摘 要：在数学考试中，证明函数不等式成立是考试的热点，同时它也是数学教学中的重点内容。在实际的教学工作中，筆者发现许多学生在学习函数知识时，往往摸不着头脑，解题思路不明确，有时浪费了大量的时间却得出了错误的答案，基于此，本文介绍了函数单调性与函数不等式的联系，并总结了几种利用函数单调性证明函数不等式的方法，浅要分析了函数单调性在函数不等式证明中的应用。

关键词：函数单调性;函数不等式;不等式证明

前言：不等式证明是最令学生们头疼的问题，由于不等式证明的解题模式不是固定不变的，所以学生在面对这类问题时很容易出现失误，常此以往就会使学生的学习兴趣大幅降低，为此，数学教师需要转变教学方法，使学生全面掌握函数知识，提升解题效率。

1.函数单调性与函数不等式概述

函数知识是中学数学学科的教学重点，在数学试卷中占有一定的比例，学生们若想提升数学成绩，必须全面掌握这部分内容。数学教材中，函数知识的学习内容包括函数奇偶性以及函数单调性，学生在掌握函数单调性的基础上，可以提升自身解决数学问题的能力。对于函数知识来说，常见的考点是利用函数的单调性把一些难度较大的数学题进行化简，然后展开进一步的计算，可以在提高解题效率的同时，保证计算结果的准确性。解答函数问题的基本步骤是通过已知条件，分析数学问题，并明确解题的思路，通过此种方法，可以避免在解题的过程中发生失误。

在数学学科中，不等式常用来表示各个变量之间的关系，在考试内容方面，大多考察学生证明不等式成立的能力，数学教师在实际的教学过程中，为确保函数不等式证明活动的顺利进行，需要引导学生们利用函数的单调性，对函数不等式进行证明。例如：可以用y=f（x）代表函数的数值，使其在[a，b]区间内恒成立，则当函数的数值在（a，b）范围内时，可以求出f（x）>0，使函数f（x）在（a，b）单调数量逐渐增加。除此之外，还可以使y=f（x）在（a，b）范围内小于0，如此一来，则证明此函数关系式为逐渐递减的函数，进而推动函数不等式证明工作的顺利开展。

2.函数单调性在函数不等式证明中的应用

2.1利用函数单调性证明区间不等式成立

在证明不等式成立时，可以用f（x）代表函数的单调性，然后在计算的过程中可以首先对不等式进行移项处理，然后开始计算不不等式，将其中一边的数值设置为0，另一边为f（x），将题目中的已知条件带入不等式，求出函数f（x）的数值大小，继而分析函数单调性中的符号，指出当中存在的问题，在此基础上提出针对性的解题方法，对函数f（x）的单调性进行判断，顺利完成不等式证明工作。除了上述方法之外，还可以把函数不等式中的部分符号用f（x）表示，然后根据已知条件，判断f（x）的单调性，把函数不等式的范围带入到函数不等式当中，求出函数不等式在端点处的数值大小，并比较f（x）与计算结果的大小。

简单地来说，利用函数单调性证明区间内函数不等式成立的步骤主要分为3步：（1）采用移项的方法，使函数不等式一侧为f（x），另一侧是0。（2）求解导函数，对导函数的符号进行判断，明确在题目所给的区间范围内，导函数为递增函数还是递减函数。（3）求出区间范围内函数不等式的极限值，将计算结果与f（x）的大小进行比较。

例如：已知函数，当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）.

A. B. C. D.

解题时，可先画出函数的草图，并由此判断函数在上单调递减，再根据题中条件，可以得到，即，在上恒成立，从而得到，即，故选B.

除了上述这种不等式的形式外，还有些不容易直接找出函数关系的不等式，这时解题者可以分析函数的特点，对不等式进行变形处理，然后再设置合适的函数以及变量，之后再进行求解。

2.2利用函数单调性证明不等式恒成立问题

在证明不等式恒成立问题时，需要构造一个辅助函数，得出解题所需的函数，在实际的证明过程中，如证明h（x）>0（）在区间D上恒成立的基本方法，是证明f（x）>g（x），然后通过f（x）在区间D上的单调性来证明f（x）存在最小值。例如：已知函数。若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围。探求参数的取值范围问题，可运用变量分离法将原问题转化为求函数的最小值，利用u（x）在（0，1）上单调递减，在上（1，+∞）单调递增，所以u（x）的最小值为，进而可求得a的取值范围。

对于恒成立和存在性的问题，常用的解法是分离参数，将问题转化为求函数最值的问题处理，解题常用的结论：若a>f（x）有解，则a>f（x）min，若a

总结：综上所述，借助函数单调性，可以降低不等式证明的难度。教师在教学过程中，应当加强基础知识的教学，使学生的解题思维能力得到进一步的提升，提高课堂教学效率。为此，教师可以充分考虑上述内容，提升学生的解题技巧。

参考文献

[1]严士健.数学必修1[M].北京师范大学出版社，2010.05

[2]翟林坤.函数单调性在函数不等式证明中的运用探讨[J].课程教育研究，2017（17）：46

[3]王树文;徐小花;童嘉森.应用函数单调性证明数列不等式[J].中学生数学，2019（3）：29-31

作者简介：徐旭芳（1971.11-）;性别：女;籍贯：福建福安;学历：本科;单位：福安市高级中学;职称：中学一级数学教师