探寻联系：运算教学深层建构的路径

胡良梅

运算学习的枯燥性和运算出错频率的高发性是当前很多学生在学习运算这一内容时遇到的问题。由于学生对运算背后的数的概念没有深度理解，对相关的算理、法则、定律和技巧没有完全掌握，导致了他们的运算学习仍停留在孤立、浮躁的状态，容易“只见树木不见森林”，其零散肤浅的知识结构缺乏再生力。问题出在哪？从教师教学的角度进行剖析，目前的运算教学的现状还存在有如下误区：重法则，轻本源;重操作，轻内化;重算理，轻算法;重新授，轻练习;重单一，轻丰富;重结果，轻思维。因此，教师要探寻运算知识的内在联系，凸显隐藏在教材背后的深层网线，帮助学生形成系统的认知结构和思维体系，让学生的运算思维走向通透，从而形成扎实丰富的运算能力。

数的认识和数的运算之间有着内在的联系，数概念是运算教学的基石，理解运算技能背后的数概念的本质，建立相关核心概念的联系，是运算教学的本源。整数、小数、分数的加减乘除运算，它们的运算实质都是都是对结果的“计数单位和计数单位的个数”的探寻。因此，数认识的教学要突出对“计数单位”的理解，而数数活动具有不可替代的作用。

（一）自然数是“数”，是数出来的累加单位

学生学习自然数，离不开数数，通过1个1个地数、10个10个地数，可丰富学生对“数”的认识，透彻理解“数位、计数单位”等基本概念。加法的本质就是“接着数计数单位”，减法是往后倒着数，乘法是几个几个地往前数，除法是几个几个地往后数。因此，教学中，教师一定要重视设计有价值的数数活动，要让儿童有数数的兴趣和需求，并在数数的过程中有思维的投入，感受计数单位的重要性，积累活动经验。

（二）分数是“数”，是数出来的累加单位

通常情况下，在学生的思维中并不承认分数是个“数”，如果答案是一个分数，学生一般都要化为小数，心里才踏实。是什么原因造成这样的认知偏差呢？主要原因是：分数学习时，一直强调平均分，强调“比率”的关系。其实，同自然数、小数一样，分数也是其分数单位累加的结果，即先产生分数单位，再数一数单位的个数。从这样的角度来学习分数，自然数、小数、分数的结构就一致了，就能更容易认可分数是一个“数”。这样的认识角度，更自然，更有生长力，更加有利于学生理解分数的四则运算。

（三）小数是“数”，是可以数出来的

“位置制、十进制”是小数与自然数的本质联系。在小数意义的学习中，体会计数单位的拓展非常重要，单位越小度量的结果越精确，因此需要产生更小的计数单位。自然数中，计数单位最小是1，更大的数可以看作是1的累积，而小数的计数单位，每次都是平均分10份，是对1的逐步分解。“计数单位与其个数乘积的累加就得到全部‘数’”，自然数、分数是这样，小数也是如此。体会“单位”的意义，再将小数放在更加结构化、抽象化的“数位顺序表”中来认识，则就建立了小数与自然数的相同结构，同时也就建立了小数的运算和自然数运算的相同结构。

理解算理、掌握算法是运算教学的“一体两翼”。算理是算法的理论依据，算法是对算理行为的提炼，使算理可以操作化。学生探索算理算法的过程一般会经历动作、形象、语义、数学符号的表征方式。这四种方式不是单一的递进关系，而是相互交融的。适时恰当的追问与强化，可以帮助学生建立不同方式的内在联系，消除不同表征之间的模糊认识，建立算理与算法之间的深层联系。

（一）构建动作表征和数学符号的内在联系

为了直观理解算理，许多教师会在教学实践中设计一些操作活动，但往往只停留在动作表征的层面，没能通过操作活动促进数学思维，没能让操作、算理和算法紧密结合并建立联系。

例如，计算整数退位减“72-48”，在学生操作后的交流阶段，可设计以下问题：①选择小棒或算珠操作，所用学具不同，计算过程却有一步是相同的，谁发现了？为什么都要拆换？（个位上“2-8”不够减，）②个位“2-8”不够减，怎么办？用小棒是怎样操作的？用算珠操作时又是怎么做的？③从整捆的小棒中取出一捆拆开，在竖式上怎么表示？为什么竖式中7的头上有个“点”？这个“点”，它让谁发生了改变？

这样的适时追问，可以引导学生建立抽象的借位点与丰富的表象之间的联系，可以促进学生透过现象发现本质，让学生通融理解算理与算法之间的关系。

（二）构建表象份数与抽象单位的内在联系

同分母分数相加减，借助学生自己表示出的图示和交流，可以发现，学生大多是从“直观份数”的角度去理解算理，很少能想到计数单位。因此就需要教师在组织交流时适时追问：这里的一份用分数表示就是多少？两个加数都和哪一个分数有联系？换个角度，更深入地思考，我们还可以怎样想？这样的追问，可以指引儿童思考：8等份中的4份加3份，实际上就是4个加3个，也是“相同计数单位的个数相加减”。

（三）构建符号表征和本质算理的内在联系

计算不同位数的小数加法，学生在自主探索中会出现“末尾添零对齐”的计算方法。之前三年学习的整数加减，都是个位对齐末尾对齐，这是学生在进行自觉的同化和顺应，但是他们关注的只是表面的符号现象，对本质的算理还没有清晰的认识。这时，教师可以通过合适的追问促进深度理解：为什么要添零呢？为什么要补齐数位呢？末位对齐，最终目的是什么？从而可把学生的思维聚焦到“相同数位对齐，相同计算单位直接相加”的深层理解上。

当然，理解算理，掌握算法，不能只是新课中的一次性学具操作，不能只是片刻的粉饰，还需要适时适量的形式丰富的巩固练习。

运算教学，既需要在直观形象中理解算理，也需要让学生掌握抽象的运算法则，更需要引导在学生练习中逐步抽象出运算规律，从而切实发展其运算能力。

（一）在体验中获取形式算法

如一位数乘两位数的竖式计算，还有乘数中间有0 的乘法竖式等，在学生经过自主探索，形成初始竖式后，教师不必过早地抽象出一般的简便算法，而应该让学生运用这种初始模式巩固练习几组题目，再引导学生观察比较，异中求同，在体验中产生简化竖式的需要，自然地抽象出简化模式。要让学生充分体验由直观运算到形式化运算的演变过程，达到对算理的深层理解和对算法的切实掌握。

（二）在观察中获得抽象规律

如把假分数化成带分数，关键是理解这个假分数里去掉整数部分之后还剩余多少个分数单位，方法是分子除以分母。连续计算一组题目后，可引导学生观察，抽象出规律：除得的商就是带分数的整数部分，余数是分子部分，分母不变。抽象出这样清晰的规律后，学生在运用时才会轻松快捷。

（三）在对比中习得自动化技能

认知、分解、组合、自动化是把知识转化成技能的四个阶段。算理算法转化成技能，需要一定的练习过程。如“9加几”的计算，在学生掌握算法，能够正确计算出结果之后，可进行专项和对比练习，激活学生的练习经验，引导学生抽象出“9加几，个位少1得十几”的计算规律，适时缩减中间过程，帮助学生形成自动化技能。口算是一切运算必不可少的步骤，口算的正确与速度直接决定着运算能力的提高程度。

低年级段的新知教学立足于点，情有可原，但后续的计算教学就需要关注线和面，要引导学生对同类板块进行对比分析，异中求同，帮助学生进一步构建更加系统稳固的认知结构。

（一）沟通不同数运算之间的算理联系

如学习“异分母分数加减法”之后，就可以引导儿童沟通整数、小数、分数加减法的算理以及算法的联系，可组织儿童计算：561-328， 6.8+2.74，在交流中及时引导儿童比较梳理：回顾这些加减法的计算，用到的数相同吗？异中求同，还有相同之处吗？从而发现规律：数字不同，计算方法不一样，计数单位不一样，但是算理都一样，都是计数单位相同才能直接相加减。同理，乘除法运算的本质是计数单位及其个数同时相乘或相除。

（二）沟通不同运算教学之间的过程联系

同一类知识的教学一般都有着类似的推进过程，如计算教学，一般按照“提出问题—探索算法—理解算理—归纳法则—内化算法”这一过程展开。明晰了这样的学习结构，才能形成有效的学习策略，才能明确思维的方向，学生的自主学习才会有迹可循，才能富有成效地迁移到类似的学习活动中。

（三）沟通不同运算之间的思想方法联系

对运算的学习还含有丰富的数学思想方法。在中高年段的学习中，教师要有意识地引导儿童去经历寻找内在规律的过程，感受基本的数学思想，发展数学的思维能力。

计算和推理是相通的。实际上，所有的运算都是在转化、推理：8加几转化为10 加几，小数、分数加减回归为整数加减，小数乘除转化为整数乘除，分数除法转化为分数乘法等。因此，在运算教学中，教师可以引导学生关注不同运算背后所隐藏的思想方法，突出共性，建立联系，深化学生对思想方法的领悟，形成更上位的方法论，实现学习能力的新增长。

运算教学特别强调运算中所蕴含的思考价值。丰富运算的内容和形式，努力设计连点成线、连线成网的多维度的运算学习，才能触及学生的兴奋点，才能整体推进学生思维的发展。

（一）举一反三，体验思维的深刻性

舍去形式的玄虚，突显结构的本质，以类比学习运算，才能促使学生的思维深刻性与灵活性发展。如解方程：56+8x=140，可变式为：14×4+8x=140，78-22+8x=140，41.8+8x+14.2=140，8×（7+x）=140，56+8x=14÷0.1等，计算之后，可以进行观察比较：这些方程和56+8x=140相比，有什么相同和不同？从中，你获得了什么学习经验？从而清晰地建构解题方法：解方程时，把能够直接计算的先算出来，再求解。

（二）逆向运转，贯通思维的灵活性

皮亚杰指出：“思维的可逆性是学生智力发展的重要标志。”把条件和问题互换，引导学生观察比较，促进知识结构转化为学生的认知结构，这是解决实际问题教学常用的方法。实际上，在运算教学中也同样适用。例如乘法的竖式计算，可出示乘积让学生选择算式：（  ）×（  ）=1692，两个乘数分别是：①26和76，②46和47，③411和42，④36和47。这样的逆向运转联系，让单一的计算练习融入了估算、推理等思维的策略和智慧。

（三）数形结合，领悟思维的神奇性

把数学运算与几何图形结合进行思考，让逻辑思维和形象思维建立亲密联系，可让学生领悟到运算方法的神奇性。在小学数学的教学中，数形结合的实例有很多，如观察小棒图寻找规律、正方形数和三角形数等。再如计算：=……=（1）。（如下图）

可以先出示前5个数连加，学生通常会选择用通分计算，伴随着加数的增加，学生会因为“通分比较复杂”，而自主寻求更简便的策略。这时，可以再引导学生观察加数的规律，启发其进一步的思考。这样，通过数与形的结合，渗透了极限思想，学生还从中领悟到了思维方法的神奇性，感受到了探究数学奥秘的有趣性。当然，此题还可以再进行变式练习，如将题中所有的加号改为减号，去掉最后面的一些分数等。

（四）定义运算，领略思维的通透性

一种运算就是两个数与结果之間的一种对应法则，如同样的两个数字30和15，中间添上加号，得数是45，若换成除号，得数就会变成2。因此，对应法则不同就是不同的运算。学生常用的运算方法是加、减、乘、除，在实际的教学中，还可以定义一些新的运算形式，以开拓学生的视野，让他们领略抽象思维的通透性。例如，设A，B表示数，规定A*B =6×A+B÷4，试计算12*20。也可以开发一些非常规的运算任务，让学生通过尝试反思，使其运算思维的通透性走向多维。

对于联系的突出强调是小学数学教育教学一个普遍的发展趋势，因为小学数学教育的核心是思维的教育，而数学知识之间的联系则是构建思维体系的“骨架”。充分挖掘数学知识之间深藏着的联系，让学生的思维走向通透，培养学生的数学眼光，发展学生的数学素养，才是数学教学的本真回归。

（责任编辑：杨强）