“研究型教学”指导下的“计数原理”教学设计

林丽娜

摘要：使用“高中数学研究型教学”的ADE设计模型和“五环十步”教学模式指导“计数原理”的教学设计。前期分析准备包括知识产生的背景与固着点、知识生长的过程与阶段、知识建构的策略与方法、知识间的联系与结构、知识的要点与本质、知识的学科意义与教学价值等学习内容的分析，以及学生认知基础、学生认知障碍及克服措施等学生认知的分析。教学过程包括“呈现背景，提出问题”“联想激活，寻求方法”“提出猜想，验证猜想”“运用巩固，内化迁移”“回顾反思，拓展问题”等环节。

关键词：研究型教学ADE设计模型“五环十步”教学模式计数原理

李昌官老师提出的“高中数学研究型教学”，让学生亲历知识发现、建构的过程，有助于学生更好地学会“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”。其ADE设计模型与“五环十步”教学模式，为高中数学教学设计提供了基本的思维框架。笔者使用它们指导了“计数原理”的教学设计，从实际情境入手，提出核心问题，指明研究方向;再通过学生已有的计数经验，寻求原理建构的方法;然后，顺势创设一些简单的计数情境，开启原理建构之旅。具体的教学设计如下：

一、前期分析准备

（一）学习内容分析

1.知识产生的背景与固着点分析。

数是数学的核心，数源于数（shǔ）。生产生活中，经常会遇到大量繁杂的计数问题，并且，这些计数问题背后蕴藏着特定的规律。我们需要发现这些计数原理，并且运用它们简化计数问题。学生已经有数数和分类计数的生活经验，这些经验是计数原理产生的固着点。

2.知识生长的过程与阶段分析。

计数原理的形成历经了以下几个阶段：一是认识到生活中存在大量的计数问题，这些计数问题既繁杂又蕴含某种可简化计数的规律;二是从已有的计数经验和生活实例中归纳、抽象出一般性的计数原理;三是理解计数原理的核心是“分类”与“分步”;四是运用计数原理解决一些简单的计数问题。

3.知识建构的策略与方法分析。

计数原理是对生活实际中的相关现象进行分析、抽象并数学化的结果，它的主要建构策略与方法有四个：一是分解与转化，即将一个复杂的问题分解、转化为多个简单的问题;二是从特殊到一般，即从大量特殊的计数事实、经验与方法中抽象出一般性的计数原理;三是类比，即类比数的加法和乘法;四是分类、分步讨论，这是把复杂问题分解、转化为简单问题的具体策略与方法。

4.知识间的联系与结构分析。

计数原理是加法运算、乘法运算的延伸与推广，是生活中分类、分步背后所蕴含的数量关系的数学刻画。它与向量基本定理有异曲同工之处：都是通过分解、转化解决问题;都是把复杂的事情分解、转化为简单的事情后，先把簡单的事情搞清楚，再解决复杂的问题。同时，计数原理是排列、组合、二项式定理等知识的基础。

5.知识的要点与本质分析。

计数原理的实质是通过分类、分步来达到以简驭繁的目的。其中分类、分步既是分解、转化的具体策略与方法，也是具有根本性、一般性的思考和解决问题的策略与方法。分类的关键是依据清楚、不重不漏;分步的关键是步骤清楚、相互独立、相互衔接、有效完成一件事。

6.知识的学科意义与教学价值分析。

组合数学不仅在基础数学中具有极其重要的作用，而且奠定了计算机革命的基础，而计数原理是组合数学的核心内容之一。分类、分步思想不仅是解决计数问题的基本思想和方法，也是解决很多其他问题的基本思想和方法。计数原理的建构过程是培养数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等数学核心素养以及数学研究能力的良好载体。

（二）学生认知分析

1.学生认知基础分析。

学生已经有对简单问题的计数经验和能力，熟练掌握加法和乘法运算，也会用列举法和树状图解决一些简单的计数问题。

2.学生认知障碍及克服措施分析。

学生的一个认知障碍是计数原理的抽象过程，原因是不熟悉数学抽象的基本步骤和原则。对此，可以通过提问、追问等方式将抽象的过程逐步分解：第一步，思考如何分析计数问题的实例;第二步，小组合作讨论这类计数问题存在怎样的共同特征;第三步，思考如何去除这些问题的物理属性;第四步，运用数学语言表示。

学生的另一个认知障碍是对运用计数原理解决问题的本质理解。运用计数原理解决计数问题的关键在于“如何完成一件事”，而“如何完成这件事”的本质就是搞清楚“元素、位置、放置规则”。故而，可以在大量实例分析的过程中，有意识地利用框图解决问题。

二、教学目标设计

1.认识计数原理建构的背景与必要性，理解计数原理是刻画事物数量的数学模型。

2.通过对实际问题的分析，经历把实际问题抽象成数学问题的过程，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等数学核心素养，体会其中蕴含的从特殊到一般、以简驭繁、类比、转化等数学思想方法。

3.通过计数原理在计数问题中的应用，深入理解计数原理的本质。

三、教学过程设计

（一）呈现背景，提出问题

背景1截至目前，台州市城乡机动车总数已超过170万辆，今年平均每天新增300辆，成为近几年来我市新增机动车数量最多的一年。台州市机动车牌照形式为“浙J·”，其中“浙J”为地区代码。如果现在要求“”为大写英文字母T或Z，“□”为阿拉伯数字0～9之一，请想一想：按此方式编排，最多有多少个不同的牌照？

背景2核糖核酸（RNA）分子由碱基按一定的顺序排列而成。已知碱基有4种，由成百上千个碱基组成的RNA分子的种数非常巨大。你知道它是怎么算出来的吗？

背景3（a+b）（a+b）…（a+b）n个展开式有多少项？

核心问题能否找出具有一般性、规律性的计数原理，用于解决计数问题？

[设计说明：背景1—3分别从生活实际、其他学科和数学内部问题三个角度呈现计数问题，一是将本单元要研究的问题整体呈现，使学习内容具有系统性，发挥单元起始课的作用;二是说明计数问题大量存在于生活实际以及各学科领域;三是说明大量计数问题的结果已经不适合通过“一个一个地数”得到了。从而使学生认识到学习、研究计数原理的必要性，提出本节课学习的核心问题。]

（二）联想激活，寻求方法

史料1上古结绳而计。

史料2古希腊毕达哥拉斯学派倡导“数而计之”。

[设计说明：让学生体会计数问题和方法的研究由来已久，感受数学文化，激发学习兴趣，初步体会计数思想。]

问题1大家回顾一下数数的过程，可以怎么数？存在什么数学模型？

[设计说明：不自觉、感性的计数是学生已有的认知基础，是学生研究计数原理的出发点。这里，引导学生回顾数数的过程，总结得出：（1）数数可以一个一个地数，也可以分类来数，分类可以简化数数过程;（2）加法是事物数量增加的数学模型。由此，为计数原理的构建奠定基础。]

问题2上述复杂的计数问题是否也能建立一个数学计数的模型来解决呢？如何建立计数模型？

[设计说明：探索类似问题中存在的普遍规律是人类提高效率的有效手段。这里，引导学生类比数数中的数学模型，将复杂的问题退到最简单的问题上探究规律，建立模型。一方面，让学生从中学会研究问题的基本步骤和方法，另一方面，也给学生接下来的研究指明方向。]

（三）提出猜想，验证猜想

情境尝试完成下列计数问题，并从数学的角度对这些问题进行分类，说明分类的依据。

（1）一件工作可以用2种方法完成，有2人只会用第一种方法完成，另有3人只会用第二种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同的选法有几种？

（2）从A城去B城有3趟飞机，从B城到C城有2趟汽车，从A城经B城去C城，不同的出行方式有几种？

（3）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

（4）填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己喜欢的专业，如表1所示。如果这名同学只能学一个专业，那么他共有多少种选择？

（5）用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…，B9……F1，F2，…，F9的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

（6）某班有男生30名、女生24名，现要从中选出男生、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

问题3从“什么问题”“如何解决”“结果怎样”三个方面对上述计数问题（1）（3）（4）进行观察分析，并指出它们的共同特征，抽象概括出一般结论。

（1）（3）（4）一般结论完成一件工作编座位号填报志愿完成一件事情2种方法。

第一种方法有2人，

第二种方法有3人英文字母或阿拉伯数字。

英文字母有26个，阿拉伯数字有10个A大学或B大学。

A大学有5个专业，B大学有4个专业2类方案。

第1类方案有m种方法，第2类方案有n种方法2+326+105+4m+n变式1在上述计数问题（4）中，将表1改为表3，这名同学共有多少种选择？

A大学B大学C大学生物学数学哲学化学会计学经济学医学信息技术学教育学物理学法学—工程学——变式2在上述问题中，将“教育学”改为“法学”，选择种数还一样吗？

[设计说明：通过问题变式，加强对分类加法计数原理的理解，一方面推广分类加法计数原理，另一方面说明分类中要注意“每一种方法”不重复。]

问题4能推广到一般的情况吗？

[设计说明：学生之前有过多次推广的经验，如从平面向量到空间向量。所以，分类加法计数原理从2类推广到n类对于学生来说没有太大障碍。但是，推广的结论是否成立，是需要验证的，因此，先铺垫3类的情况，再通过归纳推理得出n类的结论。]

问题5类比分类加法计数原理的得出过程，请尝试概括上述计数问题（2）（5）（6）的一般结论。

[设计说明：教是为了不教。这里，类比分类加法计数原理得出的过程，让学生自主建构分步乘法计数原理，经历抽象建模的过程，进一步落实数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等数学核心素养的培养。]

问题6两个计数原理有何联系和区别？

[设计说明：让学生辨析两个计数原理的联系和区别，进一步理解两个计数原理的本质，为应用计数原理解决计数问题做铺垫。]

（四）运用巩固，内化迁移

问题7思考解决背景1中的计数问题。

[设计说明：首尾呼应，运用构建的計数原理，解决最初提出的计数问题，体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，即从特殊的问题出发，抽象构建一般的计数模型——两个计数原理，再应用计数原理，解决特殊的问题。此外，解决这个问题时，可以利用框图加强学生对“元素、位置、放置规则”的理解，即对运用计数原理解决问题的本质理解。]

问题8通过这些计数问题的解决，总结一下解决计数问题的一般步骤。最关键的是哪几步？

[设计说明：通过讨论、归纳，明确解决计数问题的一般步骤：第一步，思考完成一件什么事;第二步，思考如何完成这件事;第三步：思考是分类完成还是分步完成;第四步，思考运用哪个计数原理;第五步，进行计算。明确最关键的几步：搞清楚这是一件什么事，搞清楚这件事是怎样通过分类、分步来完成的。由此，深化对计数原理的理解，培养数学抽象素养。]

问题9书架第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。

（1）设计一个用分类加法计数原理解决的问题;

（2）设计一个用分步乘法计数原理解决的问题;

（3）设计一个用两个原理解决的问题。

[设计说明：让学生编制题目，经历从解决问题到提出问题的过程，更能让学生融会贯通地应用两个计数原理。]

（五）回顾反思，拓展问题

问题10为什么要构建计数原理？怎么构建计数原理？尝试概括这节课的所学、所感。

问题11有规律的加法，我们可以用乘法表示。那么，有规律的乘法，我们是否能用另一种数学模型来表示呢？

[设计说明：回顾既是学习的终点，也是学习的起点;回顾的不只是知识，还有研究问题的思路、方法，让学生学会“用数学的眼光看世界”。]

参考文献：

[1] 李昌官.高中数学研究型教学[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

[2] 李昌官.高中数学研究型教学实践与探索[J].课程·教材·教法，2018（1）.

[3] 邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4] 张金良.名师面对面之数学核心素养谈[M].杭州：浙江教育出版社，2018.

[5] 李昌官.核心素养视角下的解析几何起始课[J].中学数学教学参考，2016（28）.

[6] 李昌官.数学抽象及其教学[J].数学教育学报，2017（4）.

[7] 罗增儒.“两个基本计数原理”的教学分析——“2016高中数学特色课堂案例分析研修会”发言稿（节选整理之二）[J].中学数学教学参考，2016（16）.

[8] 史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.