模式识别理论指导下的数学解题教学

摘要：当主体接触到数学习题之后，首先要辨别题目的类型，以便与已有的知识和经验发生联系，从而利用熟悉问题的解题思路来发现新问题的解决方法，即模式识别策略。数学问题解决认知模型把解决数学问题分为4个过程：理解问题、选择算子、应用算子、结果评价。以一道高考解析几何题为例，说明模式识别策略在数学解题教学中的应用机理，揭示模式识别与思想方法、元认知、学习迁移、问题表征等的关系。

关键词：模式识别数学解题思想方法元认知

美国教育心理学家奥苏伯尔指出：意义学习的过程是新旧意义同化的过程。他认为，人类之所以能够进行有意义学习，是因为新知识与原有的认知结构中的某些观念发生了影响，即所学的新材料和原有的认知结构之间相互作用的结果。当主体接触到数学习题之后，首先要辨别题目的类型，以便与已有的知识和经验发生联系，从而利用熟悉问题的解题思路来发现新问题的解决方法，即模式识别策略。

南京师范大学喻平教授认为：一般地，模式识别是一种知觉过程，是感觉信息与长时记忆中的有关信息进行比较，再决定它与哪个信息有着最佳匹配的过程。他建立了一个数学问题解决认知模型的“循环系统”（如下页图1），把解决数学问题分为4个过程：理解问题、选择算子、应用算子、结果评价。与之对应的认知过程分别为问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控。这个认知模型同时也反映了模式识别与其他因素（如元认知、学习迁移、问题表征等）的内在关系。

作为一种重要的解题策略，模式识别在高中数学教学中的重要性是不言而喻的。下面以一道高考解析几何题为例，尝试说明模式识别策略在数学解题教学中的应用机理，揭示模式识别与思想方法、元认知、学习迁移、问题表征等的关系。

一、解题研究

题目（2019年高考数学全国Ⅰ卷第10题）已知椭圆C的两个焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），过F2的直线与C交于A、B两点。若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为（）

A. x22+y2=1B. x23+y22=1

C. x24+y23=1D. x25+y24=1

（一）问题表征：理解问题

问题表征是指根据问题提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己的问题空间的过程，即问题在头脑中的呈现方式。具体地说，问题表征就是对条件和结论进行表征，弄清楚题目的条件、結论是什么——关键是它们的数学含义是什么;在此基础上，弄清楚题目的条件和结论有哪些数学联系，这种联系是一种什么样的结构。具体的做法就是进行文字语言、符号语言、图形语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”。

由F1（-1，0）、F2（1，0），可知椭圆的半焦距c=1。由此就理解了问题结构：只要建立（寻找）另一个关于a、b的方程，再结合a2-b2=1，解出a、b即可。

依据条件过F2的直线与椭圆交于A、B两点，|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，可以画出示意图，如图2。示意图是一种“形象信息”，对于几何问题，它更能将所有的已知条件“集合”到一起，便于发现它们之间的联系，洞察问题结构。

从中不难发现，A、B、F2三点共线——可能是建立方程的重要依据;以及|AF2|=2|BF2|，|BF1|=3|BF2|——利用基本量思想转化得到更清晰的长度关系。

（二）模式识别：选择算子

模式识别是指对数学模式的再认，就是尽力从自己的长时记忆中搜索有关的模式，用已有模式解决当前问题。模式识别以问题表征为基础，又是实现解题迁移的前提条件。在模式识别阶段，如果不能找到合适的模式与已表征的问题匹配，或找到的模式不能用于表征问题，那么需要重新表征问题。

模式1：观察图2，发现有椭圆上的点，也有椭圆的两个焦点，还有它们的连线，很容易想到焦点三角形——一个重要的模式。连接AF1，显然△AF1F2、△BF1F2是椭圆的两个焦点三角形。由椭圆的第一定义，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a。又由|AF2|=2|BF2|，|BF1|=3|BF2|，可得|AF1|=|AF2|=a，|BF1|=32a，|BF2|=12a。

椭圆上的点到焦点的距离（即焦半径）表示出来了，便不难想到两个思路：（1）联立椭圆方程和距离公式，或利用焦半径公式，得到A、B的坐标（用a、b表示），利用A、B、F2三点共线建立方程;（2）解焦点三角形，得到cos∠AF2F1、cos∠BF2F1（用a、b表示），利用A、B、F2三点共线建立方程。这便是可选择的两个算子。

模式2：观察图2，发现有椭圆的焦点弦（两个焦点三角形的各一条边共线）——又一个重要的模式。显然，AB是椭圆过右焦点F2的一条焦点弦（包含了三点共线的条件）。由椭圆的第二定义，作椭圆的右准线A1B1，构造Rt△ABD，如图3，就有|AD|=|AF2|-|BF2|e。而|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF2|=2|BF2|，就可以得到焦点弦的倾斜角（即180°-∠BAD）与椭圆的离心率之间的一个等量关系：cos∠BAD=|AD||AB|=13e。不过，这个关系怎么利用呢？与另一个条件|AB|=|BF1|有何联系？暂时不容易想到。

（三）解题迁移：应用算子

思路1：求A、B的坐标。

基本解法：利用焦半径公式（联立椭圆方程和距离公式比较麻烦），可得|AF2|=a-exA=a，|BF2|=a-exB=12a，解得xA=0，xB=12·a2c=12a2，从而yA=b，yB=b2-14a2b2（实际上，由|AF1|=|AF2|很容易得到A是椭圆的上顶点，从而可以把图2修正得更精确）。

由于A、B、F2三点共线，所以b-1=b2-14a2b212a2-1，即得b2+14a4b2-a2b2=b2-14a2b2，解得a2=3，所以椭圆方程为x23+y22=1。

变式解法：解出A（0，b）后，利用A、B、F2三点共线得到B的坐标——列出AF2的方程y=-b（x-1），与椭圆方程联立解得B的坐标2a21+a2，-b（a2-1）1+a2。然后，利用|AB|=|BF1|等长度关系建立方程（利用|AF2|=2|BF2|时，还可以根据直角三角形相似比直接得到B的横坐标，从而不求B的纵坐标也可建立方程）;或利用焦半径公式求出B的坐标后建立方程。这是基于点A坐标的特殊性调整条件利用顺序后的解法，体现了“算两次”的思想，与基本解法计算的繁杂程度差不多。

思路2：求cos∠AF2F1、cos∠BF2F1。

基本解法：在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠AF2F1=|AF2|2+|F1F2|2-|AF1|22|AF2|·|F1F2|=a2+4-a24a=1a。在△BF1F2中，由余弦定理得cos∠BF2F1=|BF2|2+|F1F2|2-|BF1|22|BF2|·|F1F2|=14a2+4-94a22a=-a2+2a。

由于A、B、F2三点共线，所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0，即得-a2+3=0，解得a2=3，所以椭圆方程为x23+y22=1。

变式解法：分别在△AF1F2和△ABF1中，利用余弦定理对cosA“算两次”;或分别在△BF1F2和△ABF1中，利用余弦定理对cosB“算两次”——前者稍容易一些。从而建立方程。这里把A、B、F2三点共线这一条件隐藏在解△ABF1这个由两个焦点三角形组成的大三角形中了。此外，还可以利用三角形面积的底乘高公式和两边及其夹角公式“算两次”，得到sin∠AF2F1、sin∠BF2F1（用a、b表示）……

综上，思路1是解析法，体现了解析几何的基本思想，即用代数的方法解决几何问题。解析法也可以看成一种思维模式，解题的过程就是运用模式的过程：曲线与方程对应，交点与方程组的解对应，通过相关条件建立解题需要的方程。思路2是纯几何法，运用了平面几何的一个基本工具——解三角形。它们的变式解法都运用了“算两次”的思想。

（四）解题监控：结果评价

解题后的结果评价实际上也就是自我监控或反思的过程，其目的在于积累与扩充知识和经验，完善认知结构，提高模式的概括层次。概括层次越高，模式的迁移范围越大。例如，对解题过程进行整理，對其中涉及的基础知识技能、数学思想方法进行归纳总结，对不同解题思路进行比较并思考优化。由于是在已有的实践基础上进行的学习活动，因此学生对问题涉及的知识技能、思想方法的体验、领悟会更加深刻。

反思1：回到之前找不到思路的模式2，由模式1的两种解题思路可知cos∠BAD=cos∠AF2F1=11+tan2∠AF2F1=11+b2=1a，或cos∠BAD=cos∠AF2F1=1a，所以1a=13e，所以1a=a3，所以a2=3……

反思2：实际上，模式2中得到的焦点弦倾斜角与椭圆离心率之间的等量关系可以推广到一般情况：设圆锥曲线的离心率为e，焦点弦的倾斜角为α，焦点分焦点弦所成的两条线段的长度比为λ，则λ=1+ecosα1-ecosα，即cosα=λ-1（λ+1）e——利用圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep1-ecosθ，很容易得到这个统一的结论。

反思3：再次推广上述结论：如果直线不过椭圆的焦点呢？那么凡是与椭圆定义相关的解法就都不再适用了。

变式题1已知椭圆C：x22+2y2=1，过点P（1，0）且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点，若AP=3PB，则k=。

此题比原题少了一个长度关系，多了一个方程条件（原题的椭圆方程相当于知道了一个参数），难度其实降低了——从原来的长度关系求方程条件并不容易。从模式识别的角度看，必须回到长时记忆中，重新寻找相匹配的基础知识和解题策略。

一种想法是：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则k=y1-y2x1-x2，于是找出四个独立的方程，解出x1、y1、x2、y2即可。具体地，可以由向量关系得x1+3x2=4 ①，y1+3y2=0 ②;由椭圆方程得x212+2y21=1 ③，x222+2y22=1 ④。然后，联立①②③④解方程组。

另一种想法是待定系数法：设法找到一个含k的方程。设直线AB的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，可以解得x1=4k2-2k2+121+4k2，x2=4k2+2k2+121+4k2。代入①即可得到一个含k的方程，解得k2=12。

此外，还可以这么想：将直线AB的方程y=k（x-1）与椭圆方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由韦达定理得x1+x2=8k21+4k2 ⑤，x1x2=4k2-21+4k2 ⑥。联立①⑤⑥解方程组，求得k。

上述三个想法的本质都是解方程（组），体现了解析几何最基础也最本真的思想：最基本的代数方法就是方程方法（求定量、定值）和函数方法（求变量、范围、最值）。当然，解题者还需要预判算法的优劣，发挥元认知在解题监控中的作用。例如，对于第三个想法，应该先联立①⑤解得x1、x2，再代入⑥。

反思4：继续推广上述结论：如果直线不过椭圆的焦点，并且由求值变为求范围呢？

变式题2已知椭圆x2a2+y24=1（a>0）上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（0

此题比变式题1少了一个方程条件（a未定），于是由确定的值变成不确定的范围了，难度当然增加了。但是，从模式识别的角度看，可以类似于变式题1的第一种想法，用四个方程解出x1、x2，当然也能解出y1、y2，不过它们都是用a表示的;然后，由0

二、教学反思

以上解题教学示例表明，在每一单元学习之后的复习教学中，可以选取典型问题，运用模式识别策略，引导学生梳理基础知识，提炼解题策略，积累本单元的思维模式。这种思维模式积累途径的本质是：形成知识网络，优化认知结构，从中形成越来越清晰的思维路径图，而这个思维路径图又会在模式积累中越来越牢固、越来越畅通。研究表明，在数学概念、原理（定理、公式、法则等）的教学中，都可以利用模式识别策略帮助学生形成清晰的认知结构。在用模式识别策略指导解题教学的过程中，应该注意下列几点：

一是模式识别不能被简单地理解为“套题型”。数学问题解决的过程事实上是模式识别对主体思维发生作用的过程，这个过程事实上是思维的再创造。问题表征的转换是模式识别的基础，反映了主体的认知结构状况和思维的灵活性。教学中，要让学生参与和体会模式识别的过程：在游泳中学会游泳。并且，解题中，应把类型、方法和范例作為一个整体来积累：类型是模式的骨架，范例是模式的血肉，方法是模式的灵魂，三者缺一不可。

二是加强数学思想方法对于培养模式识别能力的统摄作用。正如以上示例，解析法是解析几何的核心思想，它将解析几何中的曲线方程概念、位置关系研究方法等统摄起来。在模式识别训练中，要让学生掌握其中的思想方法，并能利用变化、转换的观点来解决其他问题。在模式形成后，要逐渐地淡化模式意识，使学生能自觉地运用数学思想方法统摄地解决问题。

三是发挥元认知在模式识别中的监控作用。模式只是提供了一种相对稳定的样本，既非万能，又非一成不变。遇到一个新的、更深刻的或非常规的问题时，主体需要对问题进行转化或分解，还需要对模式加以重组，从而创造出更多或更高层次的模式。在引导学生进行模式辨认、连接的过程中，要充分发挥元认知的作用，促进学生主动地理解问题，辨别特征，搜索问题解决策略，与已有的问题解决经验等相连接，以解决问题，并构建更新或更高层次的模式。

参考文献：

[1] 余建国.基于模式识别的“基本不等式的应用”教学分析[J].中国数学教育（高中版），2014（3）.

[2] 喻平.数学问题解决认知模式及教学理论研究[D].南京：南京师范大学，2002.

[3] 芮玉贵.模式识别解题的理论探讨[J].数学通报，2010（3）.