群的同态及其应用

郭俊 李兴达 姚淑霞

摘要：群的同态与同构是研究群与群之间关系的重要手段。本文基于群的同态与同构关系，结合教学经验，通过典型问题的分析阐明了群论中有关群的同态及同构问题的证明方法，为相关学者对这方面的学习和理解提供一定的帮助和指导作用.

关键词：群;同态;同构;同态映射

1 引言

群的同态与同构关系是群论中非常重要的内容，群论中关于子群、子群陪集、不变子群、商群及不变子群对群的分类问题等都与群的同态及同构有密切关系[1]。当所给的群是商群，或环是商环时，利用同态基本定理可以简化同态及同构问题的证明[2-4]。

同构映射是群之间关系最密切的映射，存在同构映射的两个群本质上可以不加区别，因为它们有相同的群结构，近世代数中最基本与最重要的研究内容就是搞清楚各种代数系统在同构意义下的分类，而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，能够研究两个不同构的群之间的联系。

群的同态与同构是群论中非常重要的内容，而同态基本定理是群论中最为核心的结论，它告诉我们，两个群在同态满射的条件下蕴含着一个群同构关系 在处理一些同构问题时，我们也常常逆用这个定理，也就是说，先构造出同态满射，再利用该映射研究两个代数体系之间的关系。

为方便分析，将文中用到的相关概念做如下说明。

因此，由同态基本定理知：

本文通过群的同态与同构相关结论，结合教学经验，首先对群论中的同态与同构的一些重要结论给于分析和证明;其次，通过具体问题的分析了阐明了群的同态与同构在群论相关问题中的应用。

可以看出，寻找群G到群 的一个恰当对应法则成为解题的关键。要证明两个群同态时，首先要证明所给法则是一个映射，再说明它是满射，最后证明它满足 ，即是同态映射就可以了。若要证明群G与群 的同构关系，需要在群同态基础上，计算同态满射的核 最后应用群的同态基本定理获得

因此，获得证明和求解群的同态与同构相关问题的解题思路如下：第一步：建立群G与群 的元素之间的对应关系 并证明 为映射;第二步：证明 为群G到群 的满射;第三步：证明 为群G到群 的同态映射;

从而获得群G与群 的同态关系;若需证明群G与群 同构，则继续进行

第四步：计算同态满射的核

第五步：应用群的同态基本定理得

参考文献：

[1]赵兴杰. 子群陪集与群同态基本定理的一种几何模型[J]. 数学杂志， 2010， 30（5）：901-904.

[2]姚淑霞， 赵传成. 同态基本定理的应用之一——证明商群的同构[J]. 现代经济信息， 2008（4）：100-101.

[3]陈国慧. 同态基本定理的应用[J]. 海南师范大学学报（自然科学版）， 2002， 15（2）：18-20.

[4]金秀玲. 同态基本定理的应用[J]. 閩江学院学报， 1999（6）：1-3.

[5]张禾瑞.近世代数基础（修订版）[M].高等教育出版社，1978.

[6]杨子胥.近世代数[M].北京：中国矿业大学出版社，2008.

[7]陈国慧.同态基本定理的应用[J].湖南师范学院学报（自然科学版），2002.

[8]李倩倩，刘志刚，杨立英.群的基本同态定理的应用[J]. 广西师范学院学报（自然科学版），2005.

基金项目：甘肃省高等学校科研项目《时间离散的时滞反应扩散系统的行波解及其应用》（2016B-080）。

作者简介：郭俊（1997-），男，汉族，甘肃和政人，兰州城市学院数学学院。

通讯作者：姚淑霞（1980-），女，博士，副教授。