关于高中三角函数学习的几点思考

王举者

摘 要：三角函数是高中数学的重点和难点，贯穿整个高中数学的学习过程。学好三角函数，会解三角函数相关试题，一方面有助于提高学生学习数学的积极性，另一方面还能树立学生在作答数学试卷时的解题信心。本文结合自身在三角函数的学习过程中遇到的问题和困难，总结和归纳相关学习和解题经验，以期为大家提供三角函数的学习参考。

关键词：高中数学;三角函数;问题;方法

一、高中数学三角函数学习过程中的困难

三角函数的学习主要是对三角函数的公式及性质的學习。但由于各种公式变换以及每个公式中自变量取值范围的不同，在应用三角函数时容易出现混淆公式的情况，主要表现在以下几点。一是三角函数图像与性质相结合的问题，包括正弦余弦图像的区别及联系、相位的变化、图像上各个特殊点与解析式的联系等。二是三角函数公式及其变形式的相互转换应用，比如通过运用三角函数的基本恒等式，例如、、等等对问题的化简。三是三角函数的多组诱导公式、积化和差、和差化积、半角公式和万能公式，这些公式看上去复杂难记，但通过基本公式以及函数的性质也可以自行推导得出。四是三角函数的函数性质，单调性、奇偶性、周期性以及图像的对称性，结合图像来看这些性质相对来说更加简便，因此在解决问题过程中运用三角函数的图像及单位圆是十分快速的方法。

二、三角函数解题易错点

在进行三角函数习题求解过程中，可能会遇到很多“陷阱”。结合笔者的错题集，挑选出几道典型的三角函数易错题，将易错点进行分类。

（一）单位圆与任意角问题：

例1.下列命题正确的是（）

A.α、β都是第二象限角，若sinα>sinβ，则tanα>tanβ

B.α、β都是第三象限角，若cosα>cosβ，则sinα>sinβ

C.α、β都是第四象限角，若sinα>sinβ，则tanα>tanβ

D.α、β都是第一象限角，若cosα>cosβ，则sinα>sinβ

解析：在此题中解题思维应利用三角函数的单调性，可充分利用单位圆画图来对应三角函数的数值大小，通过数形结合解出此题。笔者当时所犯错误是将角的三角函数值所对应的三角函数线简单的看做了线段的长度，概念不清。当弄清概念，画出正确的图像后，不难发现此题正确答案是C选项。

（二）图像变换中周期变换和相位变换易混淆问题：

例2.要得到函数y=sin（3x-π/4）的图像，需将函数y=sin（x/3）的图像做怎样的变换？

解析：y=sin（x/3）变换成y=sin3x是把每个x值缩小到原来的1/9倍，易错认为是扩大到原来的9倍，再将y=sin3x平移到y=sin（3x-π/4）时的方向也易出错，这里还需注意平移的单位。在此题中变换有两种形式，其一是先进行周期变换即将y=sin（x/3）的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的1/9倍得到y=sin3x的图像，再保持纵坐标不变，横坐标向右平移π/12单位得到目标函数。其二是先进行相位变换，即先平移图像再缩小横坐标。

（三）关于多个辅助公式的应用中角的取值范围：

例3.若，，且α、β均为锐角，求α+β的值。

解析：若在此题中用α+β的正弦计算，由于正弦函数在（0，π）区间的不单调会使结果出现两个，但余弦就不会出现此类问题。因此，可以通过计算，由两者均为锐角可得，，则运用cos（α+β）的展开公式可得结果为，，且（α+β）∈（0，π），故α+β=4/π。

三、三角函数学习方法和解题经验

三角函数的学习总是紧紧围绕着几个中心公式，适当采取一些口诀帮助记忆，例如“奇变偶不变，符号看象限”，可以有效的帮助分清在单位圆中正余弦函数的不同。不过，仅仅靠死记硬背还是欠缺火候，理解三角函数各公式的内涵才能在解题过程中对公式灵活运用。

首先要了解三角函数的整个知识框架。理清每个知识点之间的联系和区别十分必要，尤其在面对综合性比较强的问题时，能够快速找到各个条件之间的关联并合理运用时，解出该题就已经成功了一大半。

其次，关于与的应用与推广。，因此我们可以得到，从而可以推出。同时还有tanα·cotα=1;sinα·cscα=1，cosα·secα=1，记住这几个倒数公式也有助于我们推导其他公式。

最后，几类常见三角函数求解问题可用如下小技巧：见“知1求5”问题，构造，用勾股定理;见“切割”问题，转换成“弦”的问题;见齐次弦，“化弦为一”;见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式;见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式;见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化。

四、总结

其实当掌握了三角函数的学习方法，熟悉了三角函数正确的解题技巧，就会发现三角函数并没有想象中那么难。总之，在学习三角函数过程中，要善于总结，学会举一反三。尤其是三角函数中几个重要的公式，不仅要时刻牢记在心，还要学会灵活应用，找到解题的关键，明确其考点，拿到该得的分，取得理想的成绩。

参考文献

[1]魏大铮.浅析高中数学三角函数解析技巧[J].科技风，2017（3）：241-241.

[2]徐靖鸿.高中阶段数学三角函数学习心得的几点体会[J].高中生学习，2017（12）：195-196.

[3]刘博，郑利双.高中数学三角函数的学习心得[J].高考，2015（12）.