向量数量积的求解方法探究

张雨晴　王法岩

摘 要：向量的数量积是平面向量的重要内容，与三角函数、解析几何等都有密切的关系。所以，很多同学在这一知识模块都会遇到各种问题。而这一知识点是历年高考的常考题型，可以说是高考的重点，也是难点。在2018年高考中，天津卷，浙江卷，上海卷对此知识点都有涉及。笔者以2018年天津卷为例，通过概述向量数量积的定义和运算律对此问题进行分析研究，得到此类问题的一般常用解法。

关键词：向量;数量积;高考;求解方法

一、向量数量积

1.向量数量积的定义

在数学上，已知两个非零向量、，那么（是与的夹角）就是与的数量积，记作·。向量的数量积是平面向量的重要内容，是与高中数学中的三角函数、解析几何、平面几何等知识点不可分割的，在历年高考中都占有较大的比重。因此，向量的数量积问题一直是高考的重点，也是难点。

2.向量数量积的运算律

向量数量积的运算律主要有三个，分别是交换律、数乘结合律和分配律。具体来看，交换律即·=·;数乘结合律是·=（·）=·;分配律指的是（+）=·+·。通过这三个运算律，我们可以灵活有效地解答相关题型。

二、向量数量积的求解方法

向量数量积在数学中有着不可忽视的地位，而且是历年高考的常考题型。在2018年高考中多个省份的高考卷对此知识点都有涉及。因此，掌握向量数量积的求解方法对解题有很大的帮助。下面笔者以2018年高考天津卷为例，对向量数量积的求解方法进行分析研究。

1.定义法

求解数量积的最基本的方法就是数量积的定义法。利用定义法，我们主要是根据已知向量的模长和夹角进行求解即可。

例1：已知并且的夹角为60°，则。

根據观察，两个向量的模长和夹角已经给出，我们知道其中为的夹角。所以，对于此题，我们使用定义法求解就可以得到答案。

。

2.基底表示法

基底表示法是依据平面向量的基本定理而对数量积进行运算的一种方法。若已知条件中没有给出所求向量的要素，即所求向量的模长和夹角，那么我们就可以用两个合适的向量作为基底，来表示所求向量，进而完成运算。一般来说，基底的选择主要依据三个原则：一是已知条件中出现的向量;二是已知模长和夹角的向量;三是很容易表示所求向量的向量。

例2（2018年天津卷9题）：在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则·的值为_________。

此题我们发现题设中给出的角是，的夹角，并且给出的长度也是ON，OM的长度，而要求的是向量与向量的数量积，因此，如果把，作为基底，用这组基底来表示向量，那么问题就迎刃而解了。因此，我们得到如下解法：

由于，因此我们有

。

3.几何意义法

我们知道，它的几何意义是：的模长与在方向上投影的乘积。因此，求解数量积还有一种方法，就是利用其几何意义求出答案。向量本身就是连接几何和代数的纽带，通过几何意义法，我们可以从深层次了解它们之间的关系，也可以更快速地解决问题。

例3：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=2，则=_______。

如图所示：的几何意义是的模长与在方向上投影的乘积。由于四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD。因此我们知道在方向上的投影为AO，从而根据向量的几何意义可以得到。

4.坐标法

我们知道，向量有两种表示形式，分别是几何形式和代数形式，那么既然有代数形式，我们遇到一些问题也可以用其代数形式及代数的性质，即坐标法来处理。坐标法是通过建立直角坐标系，把几何问题转化为代数问题来求解的一个过程。在这个过程中，向量的数量积运算和数量的代数运算相联系，从而数与形得到紧密地联系，大大降低了做题的难度。

例4：已知，，，并且，求的最大值。

我们发现此题中有，因此我们试图用向量运算的代数方法来处理。以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则有，，。

因此有，从而得到，所以我们有，，

故有

，当且仅当时取等号，从而有的最大值为13.

本题抓住了这一条件，从而建立平面直角坐标系，把向量问题用其代数形式处理，最后转化为函数运算，给我们的解题提供了很多的方便。一般情况下，除了有明显的垂直，我们可以建直角坐标系外，如在等腰三角形，等腰梯形等图形中也可以考虑用坐标法处理向量的相关问题。

总结

平面向量是既有大小又有方向的量，具有代数和几何的双重性质。其中，向量的数量积是平面向量的重要内容。对向量数量积的求解是近几年高考考察的常见题型。因此，掌握向量数量积的求解方法是至关重要的。我们可以通过定义法、基底表示法、几何意义法和坐标法等对数量积问题进行求解，从而达到化难为易的效果，使问题快速解决。

参考文献

[1]朱丽娟，从一道高考题谈平面向量数量积问题处理的两种常见策略[J]，数学学习与研究2017（9）：149

[2]王健，数量积问题的求解策略[J]，数理天地（高中版）2018（1）：15-17