立体几何中添加辅助线的基本方法

袁越

摘 要：数学并不是抽象的，而是一门具有方法论意义的学科。其中，立体几何是数学中的重难点，考察的是我们的空间想象能力、逻辑思维能力。解决立体几何也是具有一定方法的，辅助线的添加就是一种简单快速的方法。本文在概述立体几何涵义的基础上，通过实例对添加辅助线的基本思路和方法进行分析，以帮助我们更好利用辅助线解决立体几何的问题。

关键词：立体几何;辅助线;基本思路;解题方法

一、立体几何的概念

立体几何是平面几何的升华，是在平面几何的基础上对空间中点、线、面关系的进一步研究。在数学上，立体几何就是三维欧氏空间几何的传统名称。与平面几何不同，立体几何实质上研究的是生活的空间。立体几何是数学中的重要组成部分，而且在高考中出现的频率越来越高，因此必须要掌握这个知识点。

二、立体几何中添加辅助线的基本方法

立体几何对空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力等的要求是非常高的，刚开始接触时，我们往往无从下手。但数学是一门具有方法论意义的学科，立体几何也不例外，只要我们掌握住它的基本规律，就可以将立体问题平面化，找到解题的关键。其中，添加辅助线是解决立体几何问题的一个简单快捷的方法。那么，辅助线应该如何添加呢？主要思路一是要与定义、定理中的点、线、面、体相结合，如果缺少要补充完整;二是要把已知条件和未知条件统一在一个图形中，比如统一在一个四边形中，就可以用四边形的知识去解题。接下来，我们通过实例具体讨论下添加辅助线的基本方法。

1.添加平行线

在立体几何中添加平行线，就是为了将不在一起的线统一到一个图形中，构造出我们熟悉的三角形、四边形、菱形等，再利用三角形等图形的性质进行求解，得出所需的量。另外，我们也可以直接利用三角形、梯形的中位线作出平行线，更简单快捷。

例1：如图一所示，底面ABC是正三角形，AB⊥面ABC，EA=AB=2DC=2m，设F是EB的中点。

求证：DF//平面ABC

求直线AD与平面AEB所成角的正弦值

通过观察，我们发现平面ABC中的已知直线中不存在和DF平行的直线，那么我们就需要构造新的直线，即添加平行线来求解。

解：（1）过F作FH//EA交AB于H，连接HC。∵EA⊥面ABC，DC⊥面ABC，∴EA//DC，又∵FH//EA，∴FH//DC。而F是EB的中点，所以FH=AE=DC，那么四边形CDFH就是平行四边形，∴DF//HC。又HC平面ABC，DF平面ABC，∴DF//平面ABC

（2）由已知条件知道ABC是正三角形，H是AB的中点，∴CH⊥AB。∵EA⊥面ABC，CH平面ABC，∴CH⊥EA，EAAB=A，EA、AB面EAB，∴CH⊥面EAB，∵DF//CH，DF⊥面EAB，那么AF就是DA在面EAB上的射影，所以∠DAF就是直线AD与平面EAB所成的角。在RT△AFD中，AF=m，AD=m，DF=m，。所以直线AD与平面AEB所成角的正弦值是。

2.添加垂线

立体几何中的许多定义、定理都离不开垂线，比如点、线、面到面的距离、线面垂直、面面垂直等性质定理，又或者是正棱锥、球的性质等。所以，我们想要运用这些性质、定理，就需要把没有的垂线添加上。

例2：如图二所示，在三棱锥O-ABC中，三条棱AO、OB、OC两两相互垂直，而且OA=OB=OC，M是AB边的中点，那么OM与平面ABC所成的角是多少？

根據三棱锥的性质，我们需要添加面ABC的垂线OD，这样就不仅构造出了正三棱锥里面的RT△ODM和RT△ODC，而且构成了OM与平面ABC所成的角。

解：如图二所示，根据题意设OA=m，那么AB=BC=AC=m，，O点在底面的射影D是底面△ABC的中心，m。又有DM=MC=m，那么OM与平面ABC所成的角的正弦值是，二面角的大小就是arc。

3.向中心对称图形对称中心添加连线

对称中心是整个平面图形的中心位置，可以与周围的点、线、面等都联系起来。向中心对称图形对称中心添加连线，常见的是平行四边形、正方形、矩形的对角线连接;圆中圆心的连接;球体中球心的连接。

例3：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，E是AC的中点，PE⊥平面ABCD，PE=2，M是PD的中点。

证明：PB//平面ACM;

证明：AD⊥平面PAC;

求直线AM与平面ABCD所成的角。

根据题意，连接平行四边形的对角线，得到中位线，以证明线线平行得到线面平行。

解：（1）连接BD、ME，在平行四边形ABCD中，∵E是AC的中点，∴E也是Bd的中点。又M是PD的中点，∴PB//ME。因为PB平面ACM，EM平面ACM，∴PB//平面ACM。

（2）由已知条件知道∠ADC=45°，AD=AC=1，所以∠DAC=90°，那么AD⊥AC。又PE⊥平面ABCD，AD⊥平面ABCD，所以PE⊥AD，有ACPE=E，所以AD⊥平面PAC。

（3）设DE的中点是N，连接MN、AN。∵M是PD的中点，∴MN//PE，且MN=PE=1。再由PE⊥平面ABCD，得到MN⊥平面ABCD。∴∠MAN就是直线MN与平面ABCD所成的角。

4.连中位线

中位线是立体几何辅助线中常用的也是非常重要的线，主要是指三角形的中位线或梯形的中位线。中位线是两个边中点组成的线，而且平行于底边是底边长的一半。利用中位线，我们可以把已知的量和未知的量都放在同一个三角形中，简化了解题的过程，使解题思路更直观明了。

例4：在正四面体S-ABC中，D是BC的中点，求异面直线AD与SC所成角的余弦值。

根据异面直线所成角的定义可以知道，要想求得异面直线的角就要将直线平移变成两条相交的直线。

解：设SB的中点是E，连接ED、EA。∵在△SBC中，D是BC的中点，E是SB的中点，根据中位线的性质得到DE//SC，∴∠ADE就是异面直线AD与SC所成的角。再设正四面体的棱长是m，那么AD=m，AE=m，DE=m，

∴cos∠ADE=，即异面直线AD与SC所成角的余弦值是。

三、结语

立体几何在高中数学中占据着不容置疑的比重，对我们的空间想象能力、逻辑思维能力都有很高的要求。立体几何有其自身的解决方法，比如添加辅助线，通过添加平行线、垂线、向中心对称图形对称中心添加连线、连中位线等就可以帮助我们找到解答立体几何的关键。当然，我们也要在认真审题后，确定最合适的思路再进行求解，这样才能事半功倍。

参考文献

[1]龚万玺.立体几何问题中辅助线的构造思路探究[J]，高中数理化，2017（2）：8.

[2]方海国.谈中位线的构造方法[J]，理科考试研究，2017，24（4）：6-8.