初中数学二次函数的最值问题探究

连翰华

摘 要：二次函数是初中数学中最重要和最棘手的问题之一，尤其是二次函数的最值问题，这方面一直是学生头痛的问题。不论是中考还是初高中衔接中，关于二次函数最大值的问题是一个不变的考验，特别是因为研究这些问题有助于培养学生的问题解决能力和创新思维能力。二次函数作为函数知识的核心部分，主要以所有类型试卷中的解决问题的形式存在。作者从事初中数学教育，注重培养学生解决数学问题的能力。本文通过对典型案例的分析，强调了初中数学二次函数中最有价值问题的解决策略，为读者带来一些参考和借鉴价值。

关键词：二次函数 最值 中考 策略

【中图分类号】G 633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-8877（2019）11-0077-02

二次函数不仅是初中数学学习的难点，也是初中数学教学的重点。因此，初中生可以成功掌握二次函数的所有知识，主要是通过运用数学思想来检验学生解决问题的能力。

1.二次函数在初中学习的意义

初中二次函数的重点是要求学生理解和掌握图像和性质，并要求学生学会画二次函数的图像、观察图像、读取二次函数图像包含的信息。该信息还要求学生研究二次函数的性质，并通过二次函数图像解决问题。通过解决实际问题，学生可以深刻感受到数学与现实世界之间的紧密联系，学生将体验数学在现实生活中的应用，并欣赏数学的应用价值。二次函数的实际问题要求学生具有一定的阅读理解能力，数据处理能力，将实际问题分类为数学问题的能力，分析推理技巧，严谨的思维能力以及分析问题的能力和练习动手的能力。因此，实际问题的答案涉及学生多方面能力的整合，通过实际问题教学，学生可以培养数学应用意识，优化学生思维素质。

2.结合例题分析二次函数解题技巧

例1.自变量 取任意实数时，求函数最值.二次函数 ，当x=______时，y有最_____值_______.

例2：限定自变量的取值范围，求函数最值.

（1）当x≥2时，函数 y 有最值；

（2）当x≤-1时，函数y有最值；

（3）当x≥-1时，函数y有最值；

（4）当x≤2时，函数y有最值；

（5）当-1≤x≤2时，函数y有最值；

由于二次函数具有连续性特征，因此常考查其限定自变量取值范围时函数的最值，确定“两点一线”——顶点坐标、端点坐标和二次函数对称轴是处理这些问题的关键，这些问题可以通过画草图，如图1，画出函数图象解决第1题，如图2，描出自变量所对应部分的函数图象，用数形结合思想来解决最值问题，同时也解决了限定自变量时，函数的取值范围问题转化为求最大值和最小值问题，并从中培养学生的数形结合思维习惯和能力。

3.含参二次函数的最值问题

已知二次函数 （ 为常数）.①在自变量 的值满足 的情况下，与其对应的函数值 的最小值为1，求 的范围；②在自变量 的值满足 的情况下，与其对应的函数值 的最小值为5，求 的值；

分析：由题意得，二次函数的顶点坐标是（h，1），a=1>0，开口向上，∵h≤1时，1≤x≤3，y随x的增大而增大，当x=1时，y有最小值 ，②当h≥3时，1≤x≤3，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值 ，综上得h=-1或h=5.含参二次函数求最值问题，运用分类思想，对对称轴是否在自变量范围内进行分类讨论，并画草圖数形结合解决相应最值问题。

4.中考福建省省中考卷第23题

23.（10分）在足够大的空地上有一段长为a米旧墙MN。某人利用一边靠旧墙和另三边用总长100米的木栏围成一个矩形菜园ABCD。

（2）已知0<α<50，且空地足够大，如图，请合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大值，并求面积的最大值。

分析：设AD=x米，矩形ABCD 的面积为S平方米。若按图3的方案围成矩形菜园，依题意得 ，0

∵0<α<50，所以当x≤α<50时，S随x的增大而增大，当x=a时，

若按图4方案围城矩形菜园，得

本题将实际问题转化为数学中二次函数的最值问题。同样并考虑实际问题中自变量的取值范围。我们可以类比例1例2的方法，迁移至本题中，通过分类，画草图分析从而提高学生解决实际问题的能力。

5.结语

综上所述，在课堂教学过程中，教师应把解决二次函数最大值的问题放在核心位置，根据初中生的特点，现有水平等，教材的内容应该适度困难，坚持“因材施教、循序渐进”的原则，借助多媒体，更直观地呈现教科书内容，降低知识点难度，提高学生的学习积极性，引导他们准确理解二次函数的相关知识点，掌握解决问题最多的技巧，突破教学的难点和关键点，将子功能知识灵活运用到实践中。通过这种方式，学生的数学素养将逐步培养，思维分化，有利于培养初中生数学问题解决思维能力，有助于快速找到二次函数。最有价值问题的最佳思路和解决方案，本章的知识将是更好地学习，以便他们可以在更高的层次上学习更好。在一定程度上，它可以按照新的课程标准，提升初中数学教学的客观要求，真正致力于以更广阔的发展前景进行素质教育。

参考文献

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[2]数学课程标准研制组.数学课程标准解读[M].北京师范大学出版社，2011（09）

[3]陈蕾.高中生函数应用题理解障碍研究[D].山东师范大学，2011