基于MATLAB的自由落体运动分析与模拟

殷麒翔

摘 要：自由落体运动是高中物理力学的一个重要的学习内容。本文针对高中物理学习中概念抽象、理论公式推导复杂等难点，利用MATLAB的数值计算和图形技术展示功能，选取了小球在有无阻力情况下的自由落体运动两种形式，分别进行了动力学分析和模拟计算，并绘制了相应的运动轨迹。在此基础上，再进一步考虑实际情况，分析模拟了雨滴在自由下落过程中动力学过程，并给出了此过程中速度变化的模拟结果。通过对这些对自由落体运动的分析模拟，使得抽象的物理概念变得直观、具体，让学生更容易理解和接受这些知识。

关键词：自由落体运动;动力学分析;雨滴收尾速度;MATLAB;计算机模拟

1.引言

物理学是人类研究物质的基本结构、基本运动形式、相互作用和转化规律的自然学科，是其他自然科学和工程技术的研究基础。以物理学为主要内容的中学物理课程，是为将来从事自然科学研究的学生奠定基础的一门基础学科。与初中的物理课程不同，高中的物理课程不但内容多、概念多，而且变得更加抽象，很多概念难以理解，空间图形难以建立。MATLAB数据操作以矩阵作为基本单位，具有丰富的数值计算函数、符号计算功能和功能强大的绘图功能。因此，借助MATLAB数值模拟功能实现计算结果的可视化，用直观的数据和图象形象地描述物理图形和图象，把抽象的物理概念变得清晰明了，有助于学生对这门课程的学习。

对于小球自由落体运动，本文在对无阻力和有阻力两种情况的动力学进行了分析的基础上，应用MATLAB进行了模拟计算，给出了它们不同的运动轨迹图形。

2无阻力的小球自由落体运动

在理想情况下，研究物体自由落体运动时往往忽略了空气阻力的影响，只研究在重力作用的运动轨迹。因此，现在假设质量为m的小球在自由坠落过程中只受到竖直向下的恒定重力mg的作用。

2.1动力学分析

由牛顿第二定律，可以知道物体运动加速度a就是重力加速度g：

ma=mg （1）

在这种情况下，小球的运动加速度保持不变，即作匀加速运动。同时，小球的运动速度由

v（t）=gt （2）

决定。而小球位移由

s（t）=gt2/2 （3）

确定。

本文中选取坐标垂直向下为正。在数值模拟计算中，采用以时间t为自变量来进行“递推”计算，就得到速度和位移的表达式

v（t+Δt）=v（t）+gΔt （4）

s（t+Δt）=s（t）+Δs=s（t）+v（t）Δt （5）

2.2示例程序

clear%清除变量

g=9.8;%重力加速度

a=g;%小球运动的加速度

m=10;%小球质量

k=0.0;%空气阻力系数

v=0;%设定初始速度

s=0;%设定初始位移

v1=0;%中间变量用来储存速度值

a1=0;%中间变量用来储存加速度值

t=0;%设定初始时间

dt=0.0075;%设定计算步长

I=100;%设定递推次数

forf=1：I

v=v+a*dt;

a=g;%空气阻力f=k*（v^2）/m

s（f+1）=s（f）-v*dt;%位移

v1（f+1）=v;

a1（f+1）=a;

t（f+1）=t（f）+dt;%时间变化

end

从模拟结果图1中可以看出，和前面理论分析的结论一样，在忽略了空气阻力的情况下，小球只受到垂直向下的重力的作用，加速度保持恒定不变，而运动速度随时间呈线性增加，同时小球的位移随着时间平方递增。

3.有阻力的自由落体运动

实际上物体在自由下落过程中，总会受到与运动方向相反的空气阻力的影响，因此物体的速度、位移就会和没有空气阻力的结果不同。

3.1动力学分析

还是以质量为m的物体在自由坠落过程中受到竖直向下的恒定重力mg和向上的空气阻力f的共同作用。由牛顿第二定律，可以知道物体运动加速度a与物体质量m，以及重力mg之间的关系表达式为：

ma=mg·f （6）

而空气产生的阻力与物体运动的速度成平方关系

f=kv2 （7）

其中k是阻力系数，它与小球的半径，空气的湿度、密度等因素有关。

由公式（6），（7）可以得到

a=g-k（v2）/m （8）

反过来，物体的运动速度又由

v（t）=at （9）

决定。

因此，重力和空气阻力对物体的作用随着时间的推移在一定条件下可以达到一种平衡状态，即两种力大小相等，方向相反，物体处于匀速运动状态。当然，也和物体的质量有关系。

再进一步分析，物体位移由

s（t）=at2/2 （10）

将（8）式带入到（10）式就得到有空气阻力的自由落体运动位移公式

s（t）=（g-k（v2）/m）t2/2 （11）

在数值模拟计算中，仍然以时间t为自变量来进行“递推”计算，就得到这种情况下的速度和位移的表达式

v（t+Δt）=v（t）+aΔt （12）

s（t+Δt）=s（t）+Δs=s（t）+v（t）Δt+aΔt2/2（13）

考慮更符合实际的一种情况，即雨滴下落过程的运动分析。雨滴在空中下落过程中共受两个力的作用，一个是竖直向下的重力，雨滴在重力作用下下落;另一个是与下落方向相反的空气阻力，空气阻力阻碍雨滴的下落运动。

如果将雨滴看作质量不变的球体进行分析研究，只考虑受到空气阻力的影响，而作自由落体运动。那么由公式（6，7）得到，当雨滴从静止开始下落时，雨滴受到的重力大于空气阻力，合力方向向下，雨滴向下做加速运动，下落速度不断增大，空气阻力也随之急剧增大，向下的合力就越来越小，加速度也越来越小。当mg=kv2时，空气阻力与重力相平衡，加速度为0，此时速度达到最大速度，也就是收尾速度，不再增加。此后雨滴在惯性的作用下，开始做匀速直线运动（匀速下落）。

如果取雨点半径为1mm，雨滴的质量约为4.2*10-6kg，阻力系数取5.0*10-8，那么雨滴下落过程中的动力学参数模拟结果如图2所示。

从模拟结果图2（a）可以看出，雨滴在刚开始下落的瞬时时刻，由于运动速度非常小，几乎没有受到空气阻力的影响，只受重力的作用，所以加速度在数值上等于重力加速度;而在這之后5秒内，加速度迅速下降，说明随着雨滴下落的速度越来越快（如图2（b）所示），它受到的空气的阻力也变得越来越大，因此在这段时间内加速度变化很快，在6秒左右的时候加速度几乎接近于零。而从图2（b）中可以看到，在运动开始11秒后雨滴的速度保持恒定而不再变化，说明此时加速度已经变为零，空气的阻力与重力达到平衡，雨滴从此开始做匀速直线运动。此时雨滴的速度就达到所谓收尾速度。经过计算可以得到雨滴的收尾速度是28.7m/s。从图2（c）中可以看出，在整个运动过程中，雨滴位移随时间呈线性增加。

以上的分析只考虑空气阻力的作用。实际上，在雨滴下落过程中，还会受到空气的浮力作用，而且与空气的密度、湿度都有关系。如果再把雨滴的质量和半径随时间变化的因素考虑进来，那么它的速度变化也将变得更为复杂，将超出了本文的讨论范围。

4.分析总结

自由落体运动和雨滴下落过程是高中物理力学的重要的学习内容。本文通过动力学分析，采用MATLAB进行了模拟计算并给出小球在有无阻力情况下的自由落体的运动轨迹。同时，也结合实际情况，分析了雨滴下落过程的动力学参数的变化。这些模拟分析的结果生动直观地展现了重力和阻力对自由落体运动的影响，使得抽象的物理概念变得清晰具体，容易理解。而且，本文中采用的研究方法也可以应用到更加广泛的研究领域。

参考文献

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