借题探究·着力策略·提升素养

刘振雄

一、问题的提出

孩子们的数学素质是在解决一道道“好问题”的过程中发展起来的。“设计租船问题方案”是一道与生活实际紧密相连的、有现实意义的问题，也是一道经典开放性的数学问题。在我们的教学中，孩子们对于解决这样一个数学问题是否感兴趣，会运用怎么样的解题策略，采用不同策略的学生人数各是多少，第一学段和第二学段学生的解题方法是否不同，这些问题并不十分清楚。为让学生解决一个租船问题，试图发现学生的解题策略，了解学生对解决这个问题的感受，分析学生的数学应用能力，从而调控我们的课堂教学，使其达到高效。

二、测试的问题、对象和过程

1.测试的问题

三（5）班同学去春游。要组织50名同学去划船，大船每条可以坐6人，租金10元；小船可以坐4人，租金8元。如果你是领队人，准备怎样租船？（请你把所有租船的方法都写出来）

如果你完成了，请填写：

你能用 （ ）种方法，第 （ ）种方法你觉得最合理。

*你喜欢这样的数学题吗？ （请在相应的括号里打√）

喜欢（ ） 不喜欢 （ ） 一般（ ）

*你觉得这道题难吗？ （请在相应的括号里打√）

很难（ ） 比较难 （ ） 不难（ ）

2.测试的对象

按照现行的北师大版教材，深圳市三年级以上的学生已经学过整数的四则混合运算：知道乘除法的有关应用题的计算方法。因此，测试的对象随机选择了水库小学的三四五年级各一个班。人数分别是50，52，54人，共计156人。年龄分布在8—11岁之间。

3.测试的过程

2018年11月8日下午，在学生不知情的情况下，由调查者组织进行测试。不给学生任何的解题提示，教师也不用读题，直接让学生独立作答。那么，学生在整个解题过程中，都是独立完成的，不能相互交流，在这样的过程中，基本反映出学生独立解答这道经典生活开放题的水平。三年级学生做题时间为15分钟，四年级学生做题时间15分钟，五年级学生做题时间为10分钟。

三、测试结果及分析

1.三、四、五年级有85%以上的学生至少能用一种方法解答这个问题，12%左右的学生不能解决这个问题。在对学生的解题试卷批改过程中，我们发现：三-五年级的学生用正确方法解答的比例是：三年级43人，占86%；四年级45人，占86.5%；五年级49人，占91%。从数据说明这个年段的学生绝大多数有基本的知识和经验，运用已有的能力独立地解决问题，并可以找出至少一种解决问题的方法。

三、四、五年级分别有14%（7人），23.5%（7人），9%（5人）的学生不能解决这个问题。分析学生全错的原因有：

①有个别学生题意不清，理解能力较差。如：题目问“怎样租船？”学生却回答大船每条可以坐7，10，9，8人，小船可以坐3，5，2，7人，与已知条件“大船每条坐6人，小船每条坐4入”相违背，不理解题的意思。

②没能将数学知识与现实生活相结合

如，三年级某学生A，设计小船0条，大船8条，总计80元，而题目是“组织50人去划船，大船每条可以坐6人”，照这名学生的安排，尚有2人无法上船。

四年级某学生B，大船：50×6×lO=300×lO=3000（元）；小船：50×4×8=200×8=1600（元），按此题意是一人坐一条大船或一人坐一条小船，这也不符合实际，可见这些学生对于数学知识，只能答题，不能解决生活中遇到的数学问题。

③ 对题意不够理解，出现简单算错的问题

如，四年级学生C： =5（条）……lO（人）答：大船1条，小船5条。三年级学生D：2×6=12（人），20元，50-12=48（人）， =12（人），32元，20+32=52（元），答：我要准备4条小船，2条大船共52元。这些都是在计算上出了问题。

2.三、四、五年级学生正确解题方法的数量存在着一定的差异

在小学三-五年级中，一些学生能够运用数学思维，善于思考，给出多种租船方案。有些学生却只能给出单一的方案，不同年级之间给出不同方案的数量也不一样，如下图。

数据可以反映出：同一一做题时间（15分钟），三年级正确解题方法数量少于四年级：不同做题时间，三年级正确解题方法数量还是少于五年级（9分钟）。三年级学生的解题策略与四、五年级相比要单一些，往往只会从比较单一的角度去思考问题。能用5种或5种以上的方法解答的三年级学生约占5 3%，四年级学生约占42 1%，五年级学生约占10%。说明三、四年级学生思维多样性比例相差较大，可以肯定这是两个不同的发展水平阶段。四年级平均每人解题方法的数量为3 3种，五年级是2.6种，四年级用5种或5种方法以上的百分比比五年级高22%，可以發现，不同做题时间能影响四、五年级之间的解题数量，因此，这两个年级思维相差不大。

3.四、五年级学生思维已具灵活性，解题策略呈现多样性

在有1种或1种以上的解答方法的137人中，出现了以上10种不同的方法，体现学生独立解决问题是具有个性的。其中使用方法5的学生占了70.1%，可见较多学生的解题策略是从已知条件中的数字角度去考虑，如6×5=30（人），4×5=20（人）或 =10（人），正好除尽，说明绝大多数的学生在解决数学问题时，更侧重对已知条件数是否刚好计算来考虑，而不是对整个题意的理解。同理，使用方法3、方法7的学生分别占了55.2%，59.7%，也都是刚好坐满，没有多余的座位，这是一种思维定势（平时“数学题”计算大多是正好的）。其他的方法使用次数在10.4%至17.9%之间，这个数据表明，少数学生考虑问题思路开阔，思维灵活，但从总体上看，学生的思维变通性很弱。这样的思维水平值得老师注意和反思。

“先猜后推”型。学生先从其中的一种方法入手，然后进行有序推导，计算出其他方法。如一名三年级学生的解答：

①[猜]6×7=42（人），50-42=8（人），8÷4=2（只）。答：大船租7只，小船租2只。

②[推]6×6=36（人），50-36=14（人），14÷4=3（只）......2（人）。答：大船租6只，小船租4只，由此推导出③，④，⑤，⑥，⑦种。采用这种策略的三年级学生有5人，占10%，四年级学生有2人，占3.8%，五年级学生有10人，占18.5%。采用此种方法的学生一般都能找到4～8种方法，正确率较高。

“列表”型。采用列表格的形式设计方案，有序，简洁，清晰。采用这种策略的四年级学生有30人，占57.7%，五年级学生有2人，占3.7%。这是一种系列性策略，思维有序，条理清晰。采用这种策略的学生都能用7～10种方法解决问题，是最多的。通过访谈四年级学生，得知许多学生已经做过这样的题目，所以能很快找出多种方法。

4.各年级学生关注解决问题合理性的认识不够。

从上表可以看出，学生对方法合理性的认识角度是不同的，出现了6种情况，其中认为方法3合理的学生占28.47%，说明这一小部分学生是从省钱的角度去考虑的。认为方法5合理的学生占25.5%，这一小部分学生是从大船、小船数量同样多就合理的角度去思考的。

数学中有没有相对优化的东西，笔者认为肯定是有的，而且数学本身肯定也是要追求优化的。这一道经典开放题——“租船问题”，从省钱角度去考虑，对第三种方法，我们又作了进一步的统计，见表4。

如果要考虑省钱的因素，那么第三种方案比较好。使用这种方法的学生中，三年级占56%，四年级占28%，五年级占54%。使用了这种方法并认为合理的学生中，三年级占28%，四年级占20%，五年级占40%。可见学生从经济方面考虑合理性能力还不够，只有一小部分学生有这方面的合理应用意识。例如，一名四年级学生设计：大船30只，小船20只，共用460元，就不符合实际，不合理。

5.题目的难易程度

基于学生对题目的难易有一种直接感受心理，笔者在测试卷最后设计了一些选项，如此调查学生对于解决问题的真实感受。据此，也可以窥见学生对开放题的心理接受度，调查结果见表5。

由表5可看出：三年级喜欢这道经典开放题的学生比例明显高于四、五年级，三年级认定此题的难度也同样高于四、五年级学生，有82%的三年级学生喜欢这道题，认为很难或比较难的占了55%。所以，笔者认为，这道租船开放题，对三年级学生来说有一定的难度，虽有86%的学生至少能用一种方法做题，但要求解题呈现多样性有难度。相对于四、五年级学生来说，此题对三年级学生更有挑战性，比较适合三年级学生学习。

由于这是一道开放性的问题，学生在解题时入手很容易，所以有一半的学生认为题目比较容易，觉得“把所有租船的方法都写出来”比较难，如果，不深入有序思考，是很难有10种方法的。通过访谈全对的那名学生得知，他都是用“列表法”设计出10种方法的，这样的问题，他以前在数学‘‘思维兴趣班” 中已经做过，所以很容易。从这个意义上说，这道题如果不是有个别学生学过，很可能没有一个会设计出10种方法。所以，四、五年級认为很难和比较难的学生占52%和40%。平时教师在教学中，应该重视学生对策略认知的学习，学会有序思考的思维，养成好的习惯。

四、通过“租船问题”的测试和分析，笔者得到以下几点教学体会

1.三、四、五年级学生已初步建立数感，能联系身边具体、有趣的事物进行估算。所以在设计问题时，要适当选择数的大小，不要用太容易口算的数，使学生只看数的大小，而不去理解题意。

2.多读题，加强对题意的正确理解。多个已知条件下，学会科学选择。教会 学生分析题目的策略：一抓、二列、三找、四补。第一，抓题目的问题；第二，根据问题列出主要的数量关系式；第三，找已知与中间问题；第四，解决中间问题。实现2011版数学新课标提出的课堂从原来的“两基”到“四基”中新增加的“基本方法”与“基本思想”的渗透与落实。

3.要重视培养学生估算、猜测的意识和能力。列表法是数学中最常用的解决问题策略，在课堂教学中我们要舍得花时间有意识渗透教授学生此法的运用。

4.小学生喜欢被表扬，教师应该在他们解答问题时多鼓励，尊重学生的差异性，并肯定每一种解题表达形式，让他们敢于思考、敢于表达。教学要具有灵活性，不要把老师或成人的思维方式去影响学生的思维能力，老师要给学生一个独立思考的思维空间及其创新思维能力。

5.从以前的经验我们知道，这道题在教学过程中面临尴尬：思考过程步骤多；数学技能要求高；经验储备不充分等。数学教学中要时时考虑数学知识与生活实际联系，这不仅有利于学生活学活用，还有利于达成数学教育的目的，从而提高学生的数学素养。