基于学生发展的核心概念建构路径

董文彬

摘要：通过前测调研，发现真正造成学生认识体积含义的障碍有两个：“空间”和“占空间”概念比体积本身更难感受和理解，会越说越糊涂;“表面积”和“质量”是干扰体积概念表象建立和内涵理解的两个重要因素。此外，体积和容积这两个概念有很多相似之处，容易混淆。由此，得到關于“体积与容积”教学的思考：围绕“比较”，在问题解决中建构概念本质;围绕“偏差”，在障碍冲突中领悟概念内涵;围绕“关联”，在猜测想象中透彻概念理解。

关键词：体积与容积数学概念教学学情前测学习困难

“体积与容积”是小学数学中比较抽象的核心概念，也是小学阶段研究物体体积度量的重要起始点。那么，学生在初次学习体积与容积时，认知的难点是什么？对概念的本质建构与理解造成障碍与干扰的思维卡点是什么？如何在教学中设计更有效的学习路径，帮助学生突破这些难点和障碍，进而在概念的建构中培养空间观念，发展高阶思维？为了分析与解决上述问题，笔者在教学北师大版小学数学五年级下册《体积与容积》一课时，对执教的一个班41名学生进行了深入的前测调研。

一、前测调研

（一）调研题目及调研意图

题目1什么是物体的体积？葵葵和园园各自给出了下面的理解。你同意他们的想法吗？说明理由。

葵葵说：物体的体积就是指它的表面积。比如一个橘子的体积就是指外面一层橘子皮的面积大小。

园园说：物体的体积就是指它的占地面积。比如一个水杯放在桌子上，和桌面接触的杯底的面积大小就是杯子的体积。

如果都不同意，你认为什么是体积？可举例说明。

这道题目的调研意图有二：一是了解“表面积”“占地面积”等二维概念对学生认识与理解体积概念的具体干扰情况;二是探寻学生建立体积概念的最原初的认知。

题目2如图1，土豆和红薯相比（目测无法分辨），谁的体积大？淘气、笑笑、奇思、妙想分别给出了以下比较方法，哪些方法可行？在后面的（）里打“√”。

第①种：先把土豆和红薯分别榨成土豆泥和红薯泥，再把榨好的土豆泥和红薯泥分别装入两个相同的透明的杯子里，均匀抹平，不留缝隙。看哪个在杯子里的高度高，哪个体积就大。（）

第②种：先在两个相同的杯子里倒入同样多的水，再把土豆和红薯分别放入其中，保证水都不溢出，且没过土豆和红薯。看哪个水面上升得多，哪个体积就大。（）

第③种：先用塑料薄膜把土豆和红薯沿着外表面分别包裹起来，再把塑料薄膜取下来。看哪个塑料薄膜的面积大，哪个体积就大。（）

第④种：分别称一下土豆和红薯的质量，看哪个重，哪个体积就大。（）

这道题目的调研意图是，在对土豆和红薯这两个目测无法分辨出谁占的空间大的物体的不同实验解决方案是否可行的思考中，一方面了解学生解决问题的正误路径，另一方面了解影响体积概念建立的两个重要因素——表面积和质量的具体干扰程度。

题目3（1）如图2，这4个杯子都有容积吗？如果哪个没有，请指明序号。

（2）你认为哪一杯大米能反映这个杯子的容积（忽略米粒间的缝隙）？（）

A. ①B. ②C. ③D. ④

E. 都不能

（3）你知道什么是容积吗？可举例说明。

这个题目的调研意图是，了解学生在容积概念建立中的思维障碍以及对容积概念认识的具体情况。

（二）统计结果及数据分析

1.关于体积概念建立的思维障碍。

题目1的作答情况见表1、表2。题目2的作答情况见表3、表4。

对于题目1，有19.5%的学生明确表示同意葵葵或园园的观点——即体积就是表面积或占地面积。可见，如同认识面积时，学生把一维概念的表象经验迁移至二维概念的建立一样，认识体积时，学生会把二维概念的表象经验迁移至三维概念的建立。在均不同意两者观点并对体积给出自己认识的学生中，能够用数学语言相对准确描述的只占15.2%;有12.1%的学生用长方体举例量化计算，这说明学生对体积的认识仅仅停留在长方体“长×宽×高”的“量化几何”经验层面;有18.2%的学生将体积与容积概念混淆;同样有18.2%的学生对体积的理解完全错误，比如认为体积就是一个物体的质量、重量、密度等;有36.4%的学生对体积的理解（特别是对“空间”和“占空间”的理解）描述含混不清或不知道什么是体积。

对于题目2，作答完全正确的学生仅占29.3%，错误率高达70.7%。其中，选择方案①、方案②的学生分别占80.5%和61.0%，可见无论是把土豆和红薯“炸成泥”还是“水测法”，都与学生的生活经验直接相关。但我们也发现，有26.8%的学生选择方案③，认同通过比较表面积的方式比较体积;还有34.1%的学生选择方案④，认为质量大的物体体积就大。

由此可见，真正造成学生认识体积含义的障碍有两个：首先，“空间”和“占空间”概念比体积本身更难感受和理解，会越说越糊涂;其次，“表面积”和“质量”是干扰体积概念表象建立和内涵理解的两个重要因素。

2.关于容积概念建立的学习难点。

题目3的作答情况见表5、表6、表7。

对于第（1）问，19.5%的学生认为这四个杯子“不都有容积”，其中12.2%的学生认为空杯子没有容积，7.3%的学生认为杯子在“装满”（包括超出）东西的状态下没有容积;另外，17.1%的学生不知道或不清楚这四个杯子是否都有容积。

对于第（2）问，作答正确率为80.5%。作答错误的学生中，2.4%的学生将“所能容纳”理解为“装有”而不是“装满”，9.8%的学生认为超出容器内部空间的部分也是杯子的容积;还有7.3%的学生认为“哪个都不是”，对这部分学生的追访如下——

为超出容器内部空间的部分也是杯子的容积;还有7.3%的学生认为“哪个都不是”，对这部分学生的追访如下——

师你知道什么是容积吗？可以举例说明。

生容积就是在杯子里装满水。

师杯子里只能装水？

生可以装液体。

师气体可以吗？

生不行。

师固体可以吗？

生也不行。

師那如果是细沙呢？

生可以，但不能有缝隙，必须填满整个杯子。

对于第（3）问，有14.6%的学生从容量的角度给出了解释，认为“容积就是一个容器的容量”，他们选择了较为直观的方式和贴近生活的语句来刻画容积;同样有14.6%的学生对容积的认识相对准确，认为“容积就是一个可容纳物体的物体能装多少东西，东西的体积就是物体的容积”;而有44%的学生对容积的描述含混不清或不知道怎样解释;有12.2%的学生对容积的理解完全错误，主要是与重量（质量）相混淆;此外，有14.6%的学生将容积与体积混淆，认为“容积就是一个物体的体积”。举例说明“什么是容积”时，70%的学生只举出“杯子装水”的例子。

二、基于前测调研的教学思考

（一）围绕“比较”，在问题解决中建构概念本质

在“图形与几何”中，无论是周长、面积还是体积，都属于求“积”问题。而一切求“积”问题的本质认识都源于比较。因此，在认识体积和容积概念时，学习活动应围绕“比较”展开。

帮助学生建构体积概念一般分三个层次：感知物体都各自占有一定的空间;感知所占空间有大有小;感知所占空间大小是可以分辨和确定的。比如，把桌斗清空，伸出双手去摸一摸桌斗，感受一下桌斗的空间;把一摞书放进去，再摸一摸桌斗的空间，体会其变化。借助这样的想象、知觉活动，让学生初步清晰地感受“空间”以及“物体是占空间的”。

接下来，需要对物体所占空间的大小进行比较，这里的比较一般分两个层次：一是直接通过目测观察就可以分辨出来的，比如，比较空调、水杯、乒乓球这三个物体所占的空间。通过看、找、想、说的活动，学生经历目测观察与数学描述的过程，初步感知物体不仅是占空间的，而且它们所占的空间还有大小之分。比如吹气球的演示，让学生感悟不仅固体占空间，而且气体也占空间且占的空间会不断发生变化，有利于学生感悟和理解体积概念的丰富内涵。二是直接通过目测观察无法分辨出来的，比如，比较土豆和红薯这两个物体所占的空间（如前测题目2）。这时需要设计一些实验方案进行比较，这也是课堂教学的核心活动。对于土豆和红薯这样两个目测无法分辨出谁所占空间大的物体，启发学生思考设计不同的实验方案，或榨成泥后比、或水测（溢测）、或比表面积、或比质量等，在对实验方案是否可行的质疑交流中，对表面积、质量这两个干扰因素进行层层剥茧、深入认识。最后通过现场演示水测法实验，对实验现象的观察与描述，进一步感知：物体都占一定的空间、所占空间有大有小、所占空间大小可以确定。至此，体积概念的建立变得丰满、水到渠成。

在认识容积概念时也是一样，可以围绕“比较”来设计活动。比如，设疑：两个目测无法分辨出谁的内部空间大的杯子，谁装的水多呢？同样激发学生通过设计实验方案来解决问题。在实验演示、求证、比较、描述的过程中，帮助学生感知容器不止能容纳物体，而且所能容纳的物体还有多有少，感知容积的含义，建立容积的概念。

（二）围绕“偏差”，在障碍冲突中领悟概念内涵

小学阶段有些数学概念的表述是比较抽象和难以理解的。比如，教材是采用体积来定义、刻画容积的：“容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。”对于“所能容纳”，学生很容易产生认识上的偏差和误解。

为此，在通过“杯子倒水”初步认识容积的基础上，再采用“杯子装米”（如前测题目3）的渐进方式，帮助学生在质疑交流中，矫正认识上的偏差和误解。让学生在真切感受中进行比较，在比较中产生认识冲突，在辨析冲突中达成平衡和一致，从而准确理解“所能容纳”是指杯子中的米正好装满，没有缝隙，也没有超出;而且能很直观地迁移：杯子里即使没有装东西，也是有容积的;杯子里米的量在变化，但杯子的容积没有发生改变，相同杯子的容积是相等的。通过这样的问题串设计，能够帮助学生更透彻地理解容积概念的本质。

（三）围绕“关联”，在猜测想象中透彻概念理解

在建立体积和容积概念的基础上，还需要帮助学生认识这两者之间的联系与区别，让学生将体积和容积内化为自己的概念。这里，重在明晰两种情况：

一是同体积的物体容积未必相同。呈现两个外观大小相同的纸箱，提问：这两个纸箱谁的体积大？在学生得出体积相同的回答后，进一步让学生猜一猜：它们的容积是否也相同？有学生认为容积也一样;有学生认为如果两个纸箱里面的构造一样，它们的容积就相同，如果里面的构造不一样，容积就不同。教师适时打开两个纸箱，呈现内部的不同构造，学生观察到纸箱壁的厚度不一样，这种情况下容积是不相同的（如图3）。从而让学生明确：容器容积的大小不能只看外表，体积相同的两个物体（容器）容积不一定相同。

二是同一个物体（容器）的体积大于容积。还是以纸箱为例，渐次呈现三个问题，引导学生在想象中思考：如果纸箱的外壁不断加厚，体积和容积有什么变化？如果纸箱的内壁不断加厚，体积和容积有什么变化？如果纸箱的内壁不断变薄，体积和容积又有什么变化？在这样充满挑战的渐进式问题情境中，学生边想象边体会体积和容积随着壁厚的变化而变化。特别是对第三个问题，学生逐渐想象到“零厚度”，此时容积即等于体积，渗透了极限思想。这个过程在培养空间想象力的同时，发展了学生的高阶思维，进而让核心概念的建构与理解走向深刻。