把握图形度量本质，发展学生核心素养——“平面图形的面积”单元分析与教学案例

◇刘延革 张丽丽

一 单元分析

“图形的测量”的课程内容主要安排在第一、二学段，其要求主要包括：体会测量的意义，体会并认识度量的单位及其实际意义，了解测量的一些基本方法，掌握一些基本图形的长度（包括周长）、面积和体积的测量方法和计算公式，在具体问题中进行恰当的估测[1]。

测量即“度量”，是指用一个带单位的数值来描述可测量物体或现象的某一个属性，从而形成某个具有特殊含义的“量”[2]，如长度、面积、容积、体积等。度量的核心要素有两个：度量单位、单位的个数即度量值。从概念上看，度量是用一个数值来表示物体的某一属性；从行为上看，度量是将一个待测量和一个标准量（单位）进行比较，“标准”的个数就是度量的结果。[3]

（一）内容结构分析。

在小学阶段，度量的对象主要是线段、角、常见的平面图形和立体图形。正如张奠宙先生所说：“长度、面积、体积是最基本的度量几何学的内容。长度、面积和体积这三者除了图形的维度不同，作为一种度量过程其本质是一样的。”

从内容上看，长度单位的引入是感悟度量本质的基石，它侧重于对“单位”意义的理解：度量单位实则是比较过程中的一个“中间量、比较物”。面积单位、角度的引入是对度量理解的发展与丰富，它们的引入指向体会度量单位的适切性：面的大小用“面”度量，角的大小用“角”度量，渗透的是度量单位的正则性。体积单位则是小学阶段度量学习的收尾。

从度量本质上看，我们认为不管维度如何，都要立足三个层次：（1）要让学生感悟到度量是“给度量对象指定一个合适的数”；（2）要让学生感悟到度量单位的特性，这是感悟度量本质的重点；（3）要让学生感悟到无论是长度、面积、体积还是角的度量，在本质上是一致的。

（二）核心概念阐述。

1.关于“比较”。

无论空间维度怎样，度量活动都是从“比较”开始的，其中包括直观比较、直接比较和间接比较。

2.关于“度量单位”。

用数学方法处理测量问题的基础是构建或选择标准度量单位，度量单位的选择与精确度概念有关。为了比较大小，需要一定的单位；如果需要更精确地度量，就需要进一步细分的单位。所以可以用多个数量表示某个物体的度量结果。

3.关于“度量方法”。

有了度量单位以后，就出现了各种不同的测量方法，如单位计数、利用工具、利用公式等。单位计数是测量的基本活动，即通过复制单位进行测量，这样可以把连续量在一定程度上近似地用离散量表示。利用工具是度量的核心技能。应该给学生充分的感知度量的意义与使用工具的机会，使他们能够体会工具上的刻度的单位属性与精确度概念。利用公式是在测量情境中经常用的方法。但是，如果只有公式，省略测量的方法，就会失去测量的意义，也会引起学生的学习困难。

4.关于“估”。

在实际测量活动中，无论测量工具多么精确，度量单位如何细化，实际得到的度量结果仍然是一个近似值，因此，很多时候需要“估测”方法的介入。

在进行估测时，学生不仅要考虑测量情境中的各种条件和要求，还要理解测量工具的特征并合理地选择度量单位、参照物、测量方法和计算公式。好的估测可以综合不同的数学思想方法（如对称性、移多补少、逼近等），还可以培养学生的几何直观。

（三）单元目标分析。

第一个层面，从特定内容所承载的核心素养来看。“平面图形的面积”的核心是度量活动，就是单位的累加，用数去刻画量的过程。在这样的过程中，在对度量单位有很好的把握和认知的基础上，用“量”（liàng）从“长”和“宽”两个维度刻画二维平面图形，进而从“量”的角度挖掘图形中隐藏的性质，使之既有“数的特征”，又有“形的特征”。在观察、操作、测量等活动过程中，培养学生的空间观念和几何直观。

第二个层面，从数学学科核心素养来看。这部分内容重点培养学生数学推理的能力。能进行推理是深度理解度量意义的关键。例如，在感受度量单位统一的重要性时，结合用不同方式测量物体长度的探究过程，学生从活动经验上推理对面积、体积单位的统一也是一致的，从而推理并感悟度量单位统一的本质。

第三个层面，从学生发展核心素养来看。在理解度量意义的过程中，挖掘知识间的本质联系，能运用所学的知识解决问题，感悟图形度量的相关知识对自己的学习和未来生活都是有用的，感悟度量过程中蕴含的方法和思想，从而提高分析问题和解决问题的能力，提升自主探究的学习能力。

基于上述分析，“平面图形的面积”的教学目标可设定为：

1.使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有所感悟。

2.在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量。

3.学会估测及其简单应用。

4.推理并掌握多边形的面积公式，通过“长”和“宽”两个维度的度量，挖掘基本图形面积计算公式的共性；探索不规则图形的面积，通过测量让学生进一步加深对度量意义的理解，感悟数学思想（如微积分的思想）。

二 教学案例：不规则图形的面积

（一）教材说明。

在生活实际中，我们经常会接触各种各样的不规则图形，这些图形大多无法分割成学过的图形。为此，北师大版教材在五年级上册解决问题教学的编排中呈现了借助方格纸估计不规则图形面积的内容，培养学生的估测意识和估测策略。

估测策略最重要的是根据要估计的事物找到一个合适的测量标准，然后利用这个测量标准估计。比如，前面学习的长度的估计，估计学校到家的路程，可以借助步长、单位时间走的路程或自己熟悉的一个长度等。这里不规则图形面积的估计，同样要找到一个度量的标准。根据脚印的大小，教材选择了面积为1 平方厘米的小方格作为度量标准来估计，并借助方格纸估计脚印的面积。

（二）课时目标。

基于对教材的分析和“大单元”设计的把握，拟定“不规则图形的面积”的课时目标：

1.能估计不规则图形的面积，感悟度量的本质，借助几何直观，发展学生的空间观念，培养学生理性思考的科学精神。

2.在估计面积的过程中，体验解决问题策略的多样性和合理性，提高运用数学知识、经验、方法解决问题的能力，培养学生的推理能力和创新意识以及勇于探究的科学精神。

3．在探索过程中，通过研究不规则图形的面积，体会研究的价值，从而培养学生学会学习——乐学善学、勤于反思。

（三）学情分析。

调研题目：想办法估测出脚印的面积。

调查对象共44 人，其中选择画方格的有22人，选择看成规则图形的有18 人，选择看成组合图形的有4 人。

1.从数据可以看出，所有学生都有自己的想法。其中50%的学生在不规则图形上画出了面积大约是1 平方厘米的方格背景，说明使用“度量单位”在学生的测量认知中是最基本的获得测量结果的方法。

2.调研数据充分说明，虽然学生是第一次对不规则图形的面积进行估测，但在已有的知识和经验基础上，即使不给方格背景，他们也有自己的想法，他们都在“度量”，在用不同的标准“度量”。

3.学生在数格子的过程中，方法比较单一，多数学生用的是拼补的方法，只有极个别的孩子在估测时有更多的策略和视角。

（四）教学设计。

1.导入新课。

出示学习任务：探究所给“脚印”（图略，本文中的“脚印图”均为示意图）的面积。

2.活动探究，获取新知。

活动一：初探方法。

（1）独立研究。

（2）全班汇报。展示学生的方法，如图1。

师：观察每一种方法，你能看懂吗？看懂哪一种了？

图1

师生共同读懂每种估测策略并分类。

类型1：看成基本图形或组合图形。

师：不管是看成基本图形还是组合图形，其实大家都想怎么研究不规则图形的面积？

生：转化成规则图形。

教师板书：转化——规则图形（近似）。

类型2：数方格。

师：为什么想到画方格呢？

生1：方格就是面积单位，它适用于研究所有图形的面积。

生2：因为是不规则图形，不能通过测量、计算得到它的面积。

师：数方格的方法具有通用性，特别是研究不规则图形的面积。接下来咱们重点研究数方格的方法。选哪种规格的方格呢？为什么？

生：我想选面积为1 平方厘米的方格。因为是合适的面积单位，好数、好算。

师：我采访一下选这种小方格的同学，你为什么不怕麻烦画这么小的方格？

生：精确。

活动二：研究非整格部分的估测办法。

师：（出示图2）用数方格的方法测脚印的面积。（1 个方格代表1平方厘米）在图上做出标记，让别人能清楚地明白你的方法。

图2

学生独立研究，然后小组讨论。

（1）统计数据。

师：你们得到的脚印的面积是多少？快速报一下，你们说，老师在数轴上做记录。

在表达结果时，有人用一个数值，在数轴上是一个点；有人用一个范围，在数轴上是一段。

（2）汇报数面积单位的方法。

师：你是怎么数的？

生：先数整格，再数不是整格的。

出示学生作品，（如图3）聚焦不规则的部分大家是怎么研究的。

图3

①拼补法。

师：对于这种方法，你有什么想说的？

生：把大概可以拼成1 个整格的凑成整格，并把它们用线连起来。

师：有什么感受？

生：像这样一块块拼补，很麻烦。

师：这种方法有优点吗？

生：很严谨，较准确。面积是57 平方厘米。

②估数法。

生：整格的是1 平方厘米，不是整格的估成一个数，比如，这块比半格多一点，就大概记为0.7 平方厘米，然后把这些数加起来。

师：对于这种方法，大家怎么看？

生：给图估一个“数”，很有创意，数和形结合了起来。想法不错！ 但是，这些数加起来，计算是个麻烦事。

③“四舍五入”法。

生：把大于半格的记为1 平方厘米，小于半格的记为0 平方厘米。

师：大家怎么看？

生：比拼补法省事多了。面积是56 平方厘米，估计的数值也差不多。

师：形与数建立联系后，同样可以“四舍五入”。

④半格法。

列式：30÷2=15（个），40+15=55（平方厘米）。

生：把30 个不满1 格的都看作半格，都当作0.5 格。

师：你们怎么看？

生：很快，而且和用严谨的拼补法得出的结果几乎一致。

师：再来看看这些方法，你们发现了什么？

生：其实，不管是严谨的拼补法，还是快捷的“四舍五入”法、半格法等，道理都是相通的。

师：老师看到有一个同学这样思考，（如图4）谁看懂她的想法了？

生：对于不是整格的，继续分！

师：为什么要继续分？

生：继续分下去，原来不是整格的，有一部分就变成整格的了。再继续分，会非常接近实际面积，无限分下去，会得到这个脚印的实际面积。

图4

（3）用范围描述。

师：刚刚还有同学用50～60平方厘米这样一个范围描述脚印的面积，这个范围最小是多少，最大是多少？为什么？

生1：最小是40 平方厘米，如果只算整格就是40 平方厘米。

生2：最大是70 平方厘米，如果把不是整格的都看作整格，就是70 平方厘米。

生3：脚印的面积肯定大于40平方厘米，小于70 平方厘米，（边在图上描边讲）所以这个范围更安全。

师：我们就说40 是极小值，70 是极大值。我们大家合理估测的结果都在这个范围内！

师：与前面的方法对比，时间原因，我来画（进一步细分）你们看，你们发现了什么？

生：范围缩小了，极小值变大了，极大值变小了，这个范围与实际面积接近了。

师：再继续分呢？想象一下，这样无限分下去，会怎么样？

生：这个范围会越来越小，越来越接近实际面积。

在课堂教学过程中，教师可以通过学习任务和问题情境的设计，让学生先尝试用已经学过的知识和方法自主解决问题，鼓励学生积极调动已有的知识和经验，主动展示他们的认知起点和前概念是怎样的，这样可以增强学生的学习兴趣和信心。

“不规则图形的面积”这节课中，教师并没有给方格图，而是放手让学生探究，学生大胆尝试，或转化成规则图形，或画不同大小的格子（即面积单位）去探究，从而获得结果。这节课中，学生既感受到度量的本质，又对极限思想有了切实感受。