三妙法求体积

翟爱国

在计算几何体的体积时，有些问题若按常规思路去解，往往解题过程繁冗或者计算量偏大，甚至无从下手.此时若能灵活巧变思维角度，捕捉问题特征，往往能找到简明快捷的解题思路.本文将通过几例来说明解决体积问题的三种方法.

一、等积转换法

当所给三棱锥的体积不便计算时，如能依据题设条件，细察几何体的特征，合理地转换顶点和底面，往往有利于解决问题.变换图形是处理体积问题最常用的策略.

例1 如图1，在正方體ABCD-A1BlClDl中，AA1=2，E，F分别是BB1，CD的中点，求三棱锥F-A1ED1的体积.

分析 本题求三棱锥F-A1ED1的体积.显然，无论把该三棱锥的哪一个面当做底面，其底面积与高都不易求，于是我们可以考虑转化底面或顶点，使问题获解.

二、分割法

如果给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法直接运用时，适当分割几何体，化整为零，将一个不规则的几何体转化为几个标准的几何体求体积，这是一种常用技巧.

例2 如图2，已知正方体ABCD-A1BlCl D1的棱长为“，E，F分别是棱AA1和CC，的中点，求四棱锥Al -EBFD1的体积.

分析 四棱锥的底面是菱形，所以连结对角线把四棱锥分割成体积相等的两个三棱锥，故只要求出其中一个三棱锥的体积即可.

二、补形法

某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个我们更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法.

例3 已知三棱锥P-ABC，其中PA=4，PB=PC=2，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，求三棱锥P-ABC的体积.

分析 如图4，取BC的中点D，连结PD，AD，过P作PH⊥AD，垂足H，易证PH即为三棱锥PABC的高，由棱锥体积公式VP-ABC=1/3S△ABC·PH.

高PH的求解非常麻烦，有没有更好的解法？我们可以考虑把三棱锥P-ABC补形成正四面体.