纠缠相干光场对量子态最大演化速率的操控*

田聪 鹿翔 张英杰2)† 夏云杰2)

1)(曲阜师范大学物理工程学院,曲阜 273165)

2)(山东省激光偏光与信息技术重点实验室,曲阜师范大学物理系,曲阜 273165)

1 引 言

基于量子态间最短演化时间定义的量子速率极限时间引起了国内外研究者的广泛关注,并用来估量由给定量子态演化到期望目标态的最大速率.对量子系统速率极限时间概念的研究主要针对闭合量子系统和开放量子系统.到现在,对闭合系统幺正动力学过程中量子速率极限的概念以及推广应用进行了较为深入的研究[1−6],将Mandelstam-Tamm(M-T)型界[1]和 Margolus-Levitin(M-L)型界[3]结合在一起,给出了量子速率极限时间的定义表达式[4],用来描述在不显含时间的系统哈密顿量幺正动力学过程中两正交态间演化速率.近年来,国内外研究者将量子速率极限时间的研究从闭合系统转移到开放系统动力学上来.2013年,Deffner和Lutz[7]利用几何办法由布鲁斯角出发分别推导出了开放系统量子速率极限的M-T型界和M-L型界,并将这两种类型的界统一起来定义了量子速率极限时间.2018年,Campaioli等[8,9]用依赖于测量距离角度在广义布洛赫球中状态的方法推导了描述任意量子态在幺正或者非幺正动力学过程中的量子速率极限时间.

一个快速演化的系统动力学能够起到保护量子关联态的鲁棒性,有利于量子态在量子模拟和量子计算中的应用[10].在实际系统动力学过程中怎样加快量子态演化的研究是一个重要方向,这不仅对理解量子速率极限的基本概念具有重要的理论意义,而且对基于实际系统的量子通信[11]、量子计算[12]、量子计量学[13]以及量子最优调控[14]的发展很有裨益,近年来也引起了广泛关注并报道了一些操控量子态演化速率的工作[15−20],利用文献[7]中的量子速率极限时间,我们通过对量子比特实施一个连续的经典场驱动,调节经典场驱动强度给出了一个加快量子系统演化速率的理论方案[21].美国的一个研究组基于腔量子电动力学系统,通过可控的原子系综环境,实验上实现了开放量子系统动力学过程中量子态的加速演化[22].鉴于纠缠相干光场便于制备和操控[23,24],本文以双模纠缠相干光场作为调节对象[25,26],利用一个二能级原子与其中一模式光场发生共振相互作用,探究如何通过双模纠缠相干光场来操控二能级原子系统量子态的最大演化速率问题.但迄今为止,哪一种量子速率极限时间能更好地、普适地、严格地适用于任意系统量子态动力学过程,还是值得继续深入研究的重要问题.Deffner和Lutz[7]所给出的量子速率极限时间和Campaioli等[9]推导的量子速率极限时间得到了人们的广泛关注.我们首先针对本文的二能级原子系统量子态的动力学过程,比较上面两种量子速率极限时间哪个能更好地表征量子态最大演化速率;基于较好的量子速率极限时间来分析双模纠缠相干光场参数对原子系统量子态最大演化速率的操控.研究发现:2018年Campaioli等[9]给出的量子速率极限时间能更好地分析二能级原子系统量子态最大演化速率的调控问题.与原子发生相互作用光场的相干参数在一定范围内能调控原子系统量子态动力学过程中的最大演化速率.当与原子发生相互作用光场的相干参数不能很好地利用该参数来操控量子态的最大演化速率时,鉴于双模纠缠相干光场的纠缠性,可以通过调节未与原子发生相互作用的另一光场的相干参数来远程操控原子系统量子态动力学过程中所能达到的最大演化速率.

2 理论模型与体系的波函数

其中

为了更好地研究二能级原子系统量子态在动力学过程中的演化速率,我们需要通过对光场a和b的自由度求迹,得到原子体系在动力学过程中的约化密度矩阵,

其中

接下来可以根据近年来普遍关注的量子速率极限时间来表征二能级原子体系量子态在动力学过程中的量子演化速率问题.

3 量子速度极限时间

量子体系演化过程中所能达到的最大演化速率通常可以用量子速率极限时间来表征,量子速率极限时间是两量子态间演化所需的最短时间的一个紧的界.近年来,人们广泛关注如何给出表征量子态最大演化速率的一个普适的、便于计算的、更紧的最短时间的界.基于不同的两量子态间距离的度量方法以及不同的动力学演化信道方式,已经给出了很多种不同量子速率极限时间的定义.我们主要针对两种便于计算并且经常被用来表征不同体系量子态最大演化速率的量子速率极限时间来分析.考虑系统初始量子态和其目标演化态ρs(τ),t为初始态到目标态的实际演化时间,2013年,Deffner 和 Lutz[7]用几何方法将 MT型界和M-L型界统一,并定义了描述量子系统初始量子态为纯态情形的量子速率极限时间:

为了更准确地表征二能级原子系统量子态在相干光场中的动力学演化速率问题,首先需要比较上面两种量子速率极限时间在本文动力学过程的松紧性.考虑双模纠缠相干光场的其一模式与二能级原子相互作用,利用(7)和(8)式分别计算出二能级原子初始量子态到目标演化态动力学过程的不同量子速率极限时间.两种量子速率极限时间是初始量子态参数q、双模纠缠相干光场参数(a,b)、光场与原子间耦合参数g和实际演化时间t等的复杂函数,数值分析这些参数对两种量子速率极限时间的影响.这里值得我们指出的是纠缠相干光场参数a和b的取值范围,由于在时不正交,而在 |α|>2 和时近似正交;本文旨在利用双模纠缠相干态的纠缠性来调控二能级原子量子态的演化速率,故下文中为方便起见,主要考虑双模纠缠相干光场的参数为正实数且满足

为了进一步证实Campaioli等[9]的量子速率极限时间为最短演化时间更紧,图2给出了二能级原子初始处于最大相干性为1的状态θ=3π/4 时,给定不同的实际演化时间τ=1 和τ=5,两种量子速率极限时间与实际演化时间的比值τQSL/τ随双模纠缠相干光场参数a和b的变化规律.Campaioli等[9]的量子速率极限时间表达式(8)与Deffner和Lutz[7]提出的表达式(7)在纠缠相干光场参数a和b的变化范围内均为τQSL/τ<1,并且我们同样可以得到Campaioli等[9]给出的量子速率极限时间表达式(8)更紧.并且通过比较图2(a)和图2(c),以及图2(b)和图2(d),实际演化时间τ=5 时Campaioli等[9]的量子速率极限的界仍然比Deffner和Lutz[7]提出的要紧,但是两者量子速率极限时间的差别相对减小(与τ=1 情形相比较).通过进一步数值模拟分析,发现在增大实际演化时间t时,在τ>6 之后,两种量子速率极限时间的图形基本重合.也就是说,在二能级原子系统的动力学过程中,若考虑从原子初始态到经过较长时间实际演化的目标态,Campaioli等[9]给出表达式(8)和Deffner和Lutz[7]提出的表达式(7)在表征原子体系动力学过程的最大演化速率问题方面是等价的.根据上面的分析,我们采用2018年Campaioli等[9]给出的量子速率极限时间表达式(8)来分析二能级原子系统量子态演化速率的调控问题.

4 量子态最大演化速率的参数调控

基于量子速率极限时间概念,为了清晰地分析二能级原子系统与光场相互作用下量子态动力学过程中所能达到的最大演化速率问题,首先考虑两束处于纠缠相干光场中未参与相互作用光场b的相干参数β=0 的情形,这时整个系统描述为处于薛定谔猫态的光场a与二能级原子相互作用,光场b与原子系统量子态的动力学行为无任何影响.下面研究光场a的相干参数a对原子初始态到目标演化态ρs(τ)动力学过程的量子速率极限时间的影响.图3给出了对于不同实际演化目标态ρs(τ)而言,原子系统量子态的量子速率极限时间与实际演化时间的比值τQSL/τ随光场a的相干参数a的变化规律曲线.

最后,当目标态对应的实际演化时间较长时(τ=15 ),在β=0 时,光场a的相干参数a对量子速率极限时间的影响较小,不能很好地利用参数a来操控量子态的演化速率(如图3中τ=15对应曲线).通过引入双模纠缠光场中未参与相互作用光场b的相干参数b来操控经过较长演化时间后原子系统量子态的演化速率.对于双模纠缠相干光场初态为的情形,由图5(a)可知,随着b的增加τQSL/τ增大;对于双模纠缠相干光场初态为时,图5(b)给出随着b的增加τQSL/τ同样也是增大的.可见对于所考虑的目标态对应的实际演化时间较长时,原子系统量子态演化过程中所能达到的最大演化速率被减小,减小了量子态动力学过程中演化速率被加速提升的空间.综上所述,当原子与单模相干光场a相互作用时,光场参数不能很好地来操控量子态的演化速率时,我们可以引入另外一个单模相干光场b形成双模纠缠相干光场,这时两光场模式间的纠缠可以实现光场b远程调控原子系统量子态的动力学过程所能达到的最大演化速率.

5 结 论

基于腔量子电动力学理论,考虑将双模纠缠相干光场中某一光场模式与一个二能级原子发生共振相互作用的理论模型,利用量子速率极限时间概念我们主要探究如何操控原子系统量子态动力学过程中所能达到的最大演化速率问题.鉴于Deffner和Lutz[7]所给出的量子速率极限时间和Campaioli等[9]推导的量子速率极限时间得到了人们的广泛关注,本文首先比较了两种量子速率极限时间表征量子态最大演化速率的优越性,得到2018年Campaioli等[9]给出的量子速率极限时间表达式(8)在描述二能级原子系统量子态演化所需的最短时间的界时更紧.本文主要基于Campaioli等[9]给出的量子速率极限时间分析了双模纠缠相干光场的参数对原子系统量子态最大演化速率的操控,得到了一些有意义的结论:与原子发生相互作用光场的相干参数在一定范围内能调控原子系统量子态动力学过程中的最大演化速率;当与原子发生相互作用光场的相干参数不能很好地利用该参数来操控量子态的最大演化速率时,鉴于双模纠缠相干光场奇妙的纠缠性,可以通过调节未与原子发生相互作用的另一模式光场的相干参数来远程操控原子系统量子态动力学过程中所能达到的最大演化速率.