在反刍、联系中培养函数模型思想——以“研究一次函数与一元一次不等式的关系”为例

■王宪成

笔者于2017年参加了苏州市初中数学青年教师基本功大赛，获得了一等奖第一名，课题是“研究一次函数与一元一次不等式的关系”。下面，笔者以本节课的教学设计为例，谈一谈在反刍、联系中培养学生函数模型思想的感悟及认识。

一、教材、学情分析

本节课内容是一次函数的概念、图像与性质，以及一次函数与二元一次方程（组）的后续学习内容，旨在进一步研究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关联性，感悟数形结合思想、模型思想，既是对前面所学知识的丰富，也是为学习反比例函数、二次函数与方程、不等式的知识做铺垫。

八年级学生在“数与式”板块已掌握实数、代数式、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数等知识。对于不等式2x+4＞0，学生都能正确解答。有的从不等式的解法出发；有的基于一次函数图像，运用数形结合思想，从“形”的角度解决“数”的问题。但对于不等式2x+4＞2.56呢？还能直接利用图像分析吗？这就得从“数”的角度补助“形”的认识。数学家华罗庚先生讲的“数缺形时少直观，形少数时难入微”，就是这个道理。“数”“形”之间的关系是相互的，不是单一的，同时，这也遵循了八年级学生的认知规律和年龄心理特征。

二、教学目标

经历一次函数、一元一次方程和一元一次不等式三者关系的探究，进一步丰富对方程、不等式与一次函数的认识，感悟“数形结合”思想、模型思想；用一次函数图像解一元一次方程、一元一次不等式；反过来，用一元一次方程、一元一次不等式的解与解集解决与一次函数相关的实际问题；通过观察、思考、交流、验证等培养学生的学习方式和思维习惯。

三、教学重、难点

重点：用一次函数图像解一元一次方程、一元一次不等式；反过来，用一元一次方程、一元一次不等式的解与解集解决与一次函数相关的实际问题。

难点：根据一次函数的图像直接解决一元一次方程、一元一次不等式相关问题。

四、教学过程

1.情境创设，“数学”思考。

背景材料：一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1 kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm。

请你设计一个问题，让同学们尝试解决，并说说为什么这样设计。

设计意图：以一个开放性的材料为背景导入，培养学生问题意识，引导学生自主建立起一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的三者关系框架，尝试用多种方式解决问题，并有意识地用数学概念、原理、方法去理解、描述以及解决现实问题。该思想就是模型思想。

在课堂教学实施环节，笔者捕捉了下列“生成性”教学资源来组织课堂教学。

生1：挂10kg重物时，弹簧长度为多少？

生2：挂多重的物体时，弹簧长30cm？

生3：弹簧所挂物体的最大质量是多少？附解答：设挂xkg的重物，（25+0.5x）≤35。这样设计的原因是可以知道弹簧所挂重物的最大质量是多少。

生4：现在弹簧长度为xcm，假设挂了nkg物体（n≤20），则弹簧伸长ycm，求此一次函数的表达式和x的范围。

生5：（1）请画出其图像；（2）当弹簧长30cm时，挂了多少kg重物？在图像上找出这个点；（3）当挂6-13kg的重物时，求弹簧的长度范围。

教师追问：（1）回顾反思上述生1至生3的问题，你能用另一种表达方式解决这些问题吗？（引出生4、生5的问题。）

（2）当x=10时，就能得到一个一元一次方程y=0.5×10+25；当y=30时，也能得到一个方程30=0.5x+25。从图像“形”角度上看，每一对解都有什么样的解释呢？

（3）当y≤35时，能得到一元一次不等式0.5x+25≤35，解不等式便能解决问题，从图像上看，哪一部分图像能对应该不等式？你有什么新的想法？

（4）若弹簧长度是33.8 cm，求所挂物体的质量。若弹簧长度不超过33.8 cm，求所挂物体的质量的取值范围。你是如何解决的？

教学活动组织：学生独立思考、师生对话、生生对话交流解决上述问题。

设计意图：引导学生从算式解法过渡到方程、不等式、函数的视角，自主建立一次函数、一元一次方程、不等式之间的联系，深刻体会“数缺形时少直观，形少数时难入微”的内涵，尤其体会每个数学模型各自的优越性以及之间的联系，实现模型思想、数形结合思想的渗透，润物细无声。

2.学以致用，解决问题。

问题1：试根据一次函数y=2x+4的图像，说出2x+4=0、2x+4＞0、2x+4＜0的解或解集。

图1

变式1：（1）试根据一次函数y=2x+4的图像，直接说出2x+4=4、2x+4＞4、2x+4＜4的解或解集。你是如何看出的？

（2）能否根据一次函数y=2x+4的图像，直接说出2x+4=2.56、2x+4＞2.56、2x+4＜2.56的解或解集？应该如何解决？

（3）一般性思考：通过上述问题的解决，思考如何由一次函数产生一元一次方程、一元一次不等式问题，又是如何解决的呢？

问题2：在同一个坐标系中画出一次函数y=2x+4和y=-2x的图像，求不等式2x+4＞-2x的解集。你是如何思考的？

变式2：如图2，一次函数y=kx+b（k≠0）和y=mx（m≠0）的图像交于点A，点A的横坐标为-1，直接写出下列关于x的方程的解或不等式的解集：

（1）kx+b=mx；

（2）（k-m）x+b＞0。

问题3：尝试独立思考教材中“尝试”板块问题，并与大家交流分享。

图2

设计意图：课始，由实际问题出发，激发学生用已掌握的数学知识、技能方法解决问题。在这个过程中，学生厘清了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式三者之间的关系，使得学习回到了数学内部。而以上问题串以及变式，帮助学生进一步强化理解。

3.回顾反思，巩固练习。

回顾如何由一次函数产生一元一次方程、一元一次不等式问题的，又是如何解决的，再次体会它们之间的相互关系。

课堂练习：教材中的练习。

4.作业布置。

必做题：6.6习题1-4。

选做题：如图3，一次函数y=mx+n和y=kx+b的图像交于点P（1，2），y=mx+n的图像交y轴于点A（0，1）。

直接写出下列关于x的不等式（组）的解集：

（1）1＜mx+n＜kx+b；

（2）（k-2）x+b＜0。

五、教学反思

1.反刍“方程”的重要地位及意义。

本节课的课题是“研究一次函数与一元一次不等式的关系”，为什么没有“方程”呢？方程在这“三个一次”数学模型中“功不可没”。不等式的学习过程就是类比的过程，而方程的解往往又能表现在不等式解集的“临界值”上，方程与一次函数的关系更紧密。

图3

例如，问题情境中的（20，35）这个点是如何找到的？先固定y=35，则35=0.5x+25，得到一元一次方程，解得x=20，于是找到点（20，35）。而如何从图像“形”的角度看待0.5x+25≤35？0.5x+25≤35即y≤35，找临界值y=35（假如原式是y＜35，也是引导学生抓住临界值y=35），此时，x=25。从“形”的角度看，找到一个“临界点”（20，35）。对于不等式0.5x+25≤35，即y≤35，从“形”上看，就是图像上该“临界点”下方的部分，于是直观感知x≤20。

2.联系地、发展地、整体地教与学，指向“深度学习”。

一次函数、一元一次方程、一元一次不等式这三者内在的联系到底如何认知？我们不能单向、片面化地理解。本节课的定位是以“函数”为核心回看方程、不等式，并从“数、式”和“形”的双重角度阐释函数与它们之间的内在联系，以体现数学关联性、整体性、发展性，也是前面所学知识的自然延伸。而方程的解往往又是不等式的临界值，反映在函数图像上就是临界点。本节课的重点应该是以前面的两个角度“回看”方程和不等式，反之，当在图像上不能直接看出时，就体现出方程和不等式这两个重要的数学模型也能研究函数问题。

如背景材料中的问题设计，从课堂的生成性资源来看，学生能自觉用不同的数学模型来设计、解决问题。但笔者并不止步于此，而是进行追问：回顾反思上述生1至生3的问题，你能用另一种表达方式解决这些问题吗？目的是引发学生思考，除了算式、一元一次方程、一元一次不等式数学模型，还有函数这一重要模型。这样，学生既能感受知识之间的联系和区别，又能认识到代数领域内知识的发展性、整体性。这样的学习才能让学生对知识有更深刻的认识，即“深度学习”。

3.在自然生成中感悟数学模型思想，发展学生数学核心素养。

《义务教育数学课程标准》（2011年版）提出：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发和因材施教。

基于此，笔者设计的开放性问题既培养了学生的问题意识，又重视学生已有的经验，使学生在体验从实际背景中抽象出数学问题、建构数学模型、寻求结果、解决问题的过程中，提升解决问题能力，提升数学素养，引导学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，有效发展了学生的数学核心素养。从课堂教学实施环节捕捉的“生成性资源”来看，学生在提出问题过程中，是能够有意识地用数学模型解决问题的，从而进一步感悟数学模型的功能、价值。

本文为江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“初中数学生成性教学实践研究”（课题编号：C—b/2018/02/38）阶段性研究成果。