向量妙解三角形“四心”

周明墩

摘 要 三角形“四心”（如垂心、重心、外心、内心）与平面向量结合在一起的几何问题是近年来高考命题的热点，考生解决此类问题时错误率较高，甚至束手无策。而掌握好三角形“四心”的定义，利用向量的基本性质能够更直接快捷地解决此类问题。

关键词 向量解法;三角形;四心

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）03-0203-02

三角形“四心”（如垂心、重心、外心、内心）与平面向量结合在一起的几何问题是近年来高考命题的热点，考生解决此类问题时错误率较高，甚至束手无策。而掌握好三角形“四心”的定义，利用向量的基本性质能够更直接快捷地解决此类问题。因此笔者搜集了部分资料，结合多年积累的教学经验，就三角形“四心”与平面向量的联系作一个归纳，并利用平面向量的相关知识求解三角形“四心”的问题。

一、垂心（orthocenter）——各边高线的交点：高线与对应边垂直

【典例】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，求证：的轨迹过的垂心。

分析：由题意得：

，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹过的垂心，如图1所示。

点评：本题考查平面向量的有关运算，两向量数量积为零它们所在的直线垂直，三角形垂心定义等相关知识的巧妙结合。

二、重心（barycenter）——各边中线的交点：重心将中线长度分成

【典例】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，求证：的轨迹过的重心。

分析：由题意得：，当时，表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹过的重心，如图2所示。

点评：本题考查向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线互相平分，三角形重心定义等相关知识的融合。

三、外心（circumcenter）——各边中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等

【典例】已知平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，求证：的轨迹过的外心。

分析：过中点，当时表示垂直于的向量，所以在垂直平分线上，所以动点的轨迹过的外心，如图3所示。

点评：本题以向量为载体对三角形的外心进行考查，利用了共线向量定理等相关知识。

四、内心（incenter）——各角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等

【典例】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，求证：的轨迹过的内心。

分析：由题意得：，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹过的内心，如图4所示。

点评：本题考查的单位方向向量，向量的加减法，菱形的基本性质，角平分线的性质，三角形内心定义等相关知识的深度融合。

以上利用向量妙解三角形“四心”问题的典例，将“形”和“数”紧密的结合在一起，使学生对三角形的“四心”在向量中的表现形式有了进一步的认识，看到了其内在的统一，以及新形式、新特点。平时教学中有意识的对数学知识点进行较为系统的整合，充分考查数学学科核心素养的六个主要方面，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、運算能力、直观想象和数据分析。并渗透七大数学基本思想方法：函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想。无论在提高学生解题能力方面，还是在开拓学生视野方面都大有神益，更能提高我们教师教学的有效性。