“均值不等式”在椭圆中求最值问题

羊荣菡

摘 要 椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，在解答题中我们经常遇见与它相关的最值问题，其具有运算量大，综合性强等特点.要解决这类问题往往将它转化为求函数值域，一般利用函数单调性解，而均值不等式的应用，对解分式函数提供了另外一个途径.本文以教学中遇见的实例加以说明。

关键词 椭圆;最值;均值不等式

中图分类号：O174.54，A 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）04-0200-02

在解析几何解答题中经常会遇到一类分式函数求最值问题，我们通过一道例题来探讨它的一般解法。

例：已知圆，圆，动圆P与圆M外切，与圆N内切，记动圆的圆心P的轨迹为C。过点的直线l与C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程。

解：由题知直线的斜率不为0，设直线为

所以面积的最大值为，此时直线的方程为。

思考1：实际课堂上，大部分學生做法有所不同，很多人不能解决问题。针对学生出现的问题，分析整理如下：

改变直线方程的设法①可得：

②与椭圆方程联立得

此时，该如何求最值呢？先平方吧

探究一：接下来，观察到分式的分子分母中出现x的齐次式，可采用分离常数

换元，令

从而，将分子中的参数t整体除到分母上（注意该参数能否为0，如果可以为0，需单独考虑，此处，不再单独讨论）构造出应用均值不等式的结构特征。

分离变量和换元再用基本不等式求解是解决二次分式的常规方法。

探究二：利用均值不等式

思考2：在解法一中也可以用均值不等式简化运算如下：

S_△AOB=×   ┃OQ┃×┃y₁-y₂┃

=

对分子应用均值不等式，正好可以与分母相约，达到求得最值的目的。

“积定和最小”“和定积最大”注意：

①均值不等式成立的条件（各因式或项都取正值）②合理寻求各因式或项的积或和为定值③确定等号能够成立。不满足上述条件时，要适当进行拆项。添项等变形。

参考文献：

[1]欧阳志辉.椭圆中的最值问题[J].中学数理化，2007（03）.