单边碰振轨道非线性能量阱减震性能及碰撞参数研究

王菁菁， 浩文明， 吕西林

(1.广州大学 土木工程学院，广州 510000；2.湖南工业大学 土木工程学院，湖南 株洲 412000；3.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)

非线性能量阱(Nonlinear Energy Sink，NES)是一种新型的被动结构控制技术，与调谐质量阻尼器(Tuned Mass Damper， TMD)类似，均是附加质量块通过弹簧单元和阻尼单元与主体结构相连。两者的区别在于，TMD为线性阻尼器，刚度为定值，其自振频率常调至与主体结构相近；NES采用非线性弹簧，产生非线性回复力，即对应于不同位移时回复力与位移比值不同，随输入能量大小变化而改变，这一特性可使能量从受控结构的低阶模态转移至耗能更快的高阶模态[1-2]。其中轨道非线性能量阱(Track Nonlinear Energy Sink，轨道NES)由轨道和附加质量组成，其通过附加质量沿竖直平面内的轨道运动产生非线性回复力。碰振非线性能量阱(Vibro-impact Nonlinear Energy Sink, VINES)通过位移的非连续性实现非线性，即在线性振子运动往复方向上存在对称碰撞面，当质量块与碰撞面发生碰撞时作用力激增产生非线性。在对非线性控制装置的研究方面，Nucera等[3-4]对一三自由度结构在不同楼层分别附加NES和VINES进行了理论和试验研究，主体结构响应降低显著；AL-Shudeifat等[5]数值模拟了单边碰振非线性能量阱(Single-sided Vibro-impact Nonlinear Energy Sink，SSVINES)即只在质量块运动方向的单向设置碰撞面对两自由度结构的控制作用，并通过试验验证了其优越的抗冲击性能；Wierschem等[6-7]在大比例9层试验结构中实现了NES和SSVINES组合的控制方法，并对地震作用和爆炸荷载进行了试验研究。以上研究中，无碰撞面的NES均采用三次方回复力-位移关系，带碰撞面的VINES和SSVINES仍使用线性弹簧回复力，只在碰振发生时展现出非线性特点。各控制装置力-位移关系，如图1所示。

图1 NES、VINES和SSVINES力-位移关系Fig.1 Force-displacement relationships of NES, VINES, and SSVINES

本文所研究的单边碰振轨道非线性能量阱(Single-sided Vibro-impact Track Nonlinear Energy Sink，SSVI轨道NES)在原轨道NES的基础上设置单个制动装置(碰撞面)，轨道为主体结构的一部分，附加质量沿轨道运动，无碰撞发生时回复力-位移关系成非线性，当NES质量与一侧的制动装置发生碰撞时回复力瞬间增大产生不连续非线性，即SSVI轨道NES同时具有回复力-位移关系和碰撞两类非线性。本文将推导SSVI轨道NES运动方程并由动量守恒确定碰撞前后速度变化，通过数值模拟和振动台试验考察某两自由度主体结构附加SSVI轨道NES的响应。由于SSVI轨道NES最初使用脉冲型荷载进行优化，其对地震作用下的结构控制效果仍有待改进，本文又研究了SSVI轨道NES碰撞恢复系数和制动器位置对其减震性能的影响。结果表明：通过改变SSVI轨道NES碰撞恢复系数和调整制动器位置，可以有效提高SSVI轨道NES的减震性能；可根据不同地震特性选择响应控制参数。

1 单边碰振轨道非线性能量阱

轨道NES是一种非线性的结构控制技术，其通过附加质量沿轨道运动产生非线性回复力，可视作小车在竖直平面内弯曲的轨道上运动(见图2(a))。轨道NES的水平向回复力与轨道形状及形状函数的导数有关，因此通过设计特殊的轨道形状，可在不同位移处实现不同线性比例的回复力，此时回复力-位移关系不可做线性简化，具有本质非线性的特点。SSVI轨道NES在轨道NES的基础上增加单个制动装置(碰撞面)，制动装置位于NES质量运动方向的一侧(见图2(b))，当无碰撞发生时SSVI轨道NES等同于轨道NES。SSVI轨道NES的不对称设置可使质量块在每次碰撞之间积累足够的动能，保证碰撞的高效耗能。SSVI轨道NES回复力-位移关系见图3，其与SSVINES的不同点在于，在未发生碰撞时通过NES质量沿轨道运动提供非线性回复力。由于兼备回复力-位移关系和碰撞两类非线性，SSVI轨道NES较以往NES非线性更强，能够更有效得降低结构响应。

图2 轨道NES和SSVI轨道NES示意图Fig.2 Configuration of track NES and SSVI track NES

图3 SSVI轨道NES力-位移关系Fig.3 Force-displacement relationship of SSVI track NES

2 控制系统模型

2.1 主体结构

本文使用一两自由度结构作为主体结构，SSVI轨道NES置于结构顶层。该主体结构为一两层钢框架试验模型(见图4)，楼板和底板为457.2 mm× 457.2 mm× 12.7 mm规格的钢板，相邻层间距203.2 mm，由4根横截面为50.8 mm×1.27 mm的柱连接，柱的材料采用了高屈服强度的钢铁，以保证即使在大位移的情况下柱也不发生屈服，主体结构仍保持线性。第一、第二层质量分别为24.3 kg和24.2 kg，楼层刚度分别为6 820 N/m和8 220 N/m。结构模态阻尼比为0.1%。结构第一、第二阶固有频率分别为1.63 Hz和4.56 Hz，与实际多层框架结构相近，该模型可为后续大比例模型试验提供基础和参考。

图4 主体结构原型结构Fig.4 Physical model of primary structure

当SSVI轨道NES置于顶层时，该系统的现象学模型如图5所示。其中：m1,m2和mN分别为第一、第二层和SSVI轨道NES的质量;k1和k2分别为第一、第二层结构刚度;c1和c2分别为第一、第二层阻尼系数;cN为SSVI轨道NES阻尼系数;x1和x2分别为第一、第二层质量相对地面的位移;uN为NES相对于轨道的水平位移;h(uN)为轨道的形状函数，可以写成uN函数;xg为地面位移。

图5 SSVI轨道NES系统示意图Fig.5 Phenomenological model of SSVI track NES system

2.2 运动方程

无碰撞发生时，SSVI轨道NES的运动规律与轨道NES相同，两者运动方程一致；发生碰撞瞬间，NES质量和顶层质量位移不变，速度发生突变，可通过动量守恒求解，将碰撞后的新速度带入运动方程即可求解后续响应。在推导该系统的运动方程时，假设质量块不发生转动且与轨道时刻保持接触，使用线性黏滞阻尼模拟NES的各种阻尼因素，如可能存在的材料阻尼和摩擦阻尼等。

通过拉格朗日方程可得到NES的回复力表达式及第一、第二层和NES的运动方程为

(1)

(2)

(3)

(4)

2.3 动量守恒

碰撞发生时，NES质量和顶层质量速度发生突变，非弹性碰撞过程中机械能损失，整个系统能量减少，因此在运用动量守恒时需引入碰撞恢复系数，以考虑碰撞耗能对速度的影响。碰撞恢复系数仅与两个碰撞面的材料特性有关。

(5)

(6)

联立动量守恒方程式(5)和碰撞恢复系数表达式(6)可得

(7)

(8)

式中：上标为碰撞前的运动状态；上标为碰撞后的运动状态；rC为NES质量与制动装置的碰撞恢复系数；其他符号含义与前文相同。

3 控制参数优化

为了对比线性和非线性两类控制方法的控制效果，本文对同一主体结构附加相同质量的TMD进行了优化，优化后的TMD刚度系数为210 N/m。

图6对比了SSVI轨道NES系统、TMD系统和锁住系统在优化脉冲型荷载作用下，即初始速度为0.15 m/s时的底层层间位移响应。其中锁住系统仅依靠自身阻尼耗能，由于结构阻尼比仅为0.1%，响应衰减微弱。经过优化的SSVI轨道NES与TMD控制性能相当， 4 s内(约6个振动周期)即可降低结构响应达70%，控制效果显著。

图6 0.15 m/s初始速度的层间位移Fig.6 Story drift under 0.15 m/s initial velocity

4 振动台试验

4.1 试验模型

在对SSVI轨道NES试验装置进行设计时，采用了4条平行轨道的方案。NES质量块呈扁平的长方体，与两轴四轮相连，4个轮子分别在各自的轨道上滚动且所到达的轨道位置相同。采用这样的设计，NES质量在运动过程中可保持平动，满足理论分析中的假设。同时NES质量平均分配在4个轨道上，4个轨道之间有足够的空间可以安置质量块。制动装置为一直角加肋钢板，放置于两组轨道之间，通过螺栓与楼板固定。SSVI轨道NES试验模型，如图7所示。

图7 SSVI轨道NES试验模型Fig.7 Physical model of SSVI track NES

4.2 试验模拟对比

试验中的脉冲输入通过控制台面发生阶跃位移得到。图8中显示了台面位移约为0.02 m时，脉冲激励的台面测量加速度和台面测量位移。

图8 试验脉冲型荷载实测加速度及位移Fig.8 Measured acceleration and displacement of shake table

采集振动台加速度时程作为数值模型中地面振动激励，可得到数值模型计算得到的结构响应。图9对比了由试验测得和数值模拟得到的SSVI轨道NES系统的顶层位移响应。由图可知，数值模拟结果与试验结果吻合良好。但是，当响应逐渐减小时，数值模拟和试验结果的吻合程度降低。这是因为阻尼力与输入能量大小有关，表现出一定的非线性特点。以与轨道间的摩擦为例，当输入能量很小时，NES质量在平缓轨道段运动，当输入能量很大时，轨道变得陡峭，NES质量与轨道间的摩擦情况发生变化。

图9 试验与模拟结果对比Fig.9 Comparison between experiment and simulation

4.3 试验结果分析

图10对比了试验测得的SSVI轨道NES系统和锁住系统在图8所示激励(振动台发生0.02 m阶跃位移)作用下的结构响应。SSVI轨道NES控制效果明显，激励开始约4 s(约6个振动周期)可使第一、第二层位移均下降至锁住系统位移的1/5以下，此后仅以微小幅值振动。同时，可观察到在1.13 s,1.70 s,2.28 s,2.94 s,3.62 s,4.22 s,4.94 s和5.56 s时NES质量与制动装置发生碰撞(图中竖线所示)。在NES相对位移图中，碰撞时NES质量到达负向0.009 m后相对位移不再增加。在结构加速度图中，碰撞时NES质量和第二层加速度出现峰值，而除碰撞发生时刻外，SSVI轨道NES系统加速度响应仍显著小于锁住系统，整体上较锁住系统响应大幅减小。

值得注意的是，脉冲型荷载作用下系统能量随时间衰减，但第二次碰撞产生的加速度大于第一次碰撞。原因为NES与主体结构初始时刻具有相同的速度，第一次碰撞时两者速度相差较小，而第二次碰撞时两者速度差别较大，此时速度突变所造成的加速度峰值也较第一次碰撞时大。

图11为锁住系统和SSVI轨道NES系统顶层加速度小波变换。小波变换显示了结构振动的频率成分随时间的变化，阴影深浅对应振动能量的大小。锁住系统为线性系统，因此振动仅分布在其两阶自振频率处，且两条水平阴影线深浅随时间变化不明显，表明仅依靠结构自身阻尼时振动能量耗散极弱。SSVI轨道NES系统中在碰撞发生时刻可观察到垂直阴影线，表示碰撞使大量振动能量向高频区域扩散，且在碰撞之间仍有相当一部分振动发生在高频区域，此时的振动较低频振动耗能更快。除此之外，在一、二阶频率之间可以观察到若干水平阴影线，体现了非线性回复力对振动频率的改变，使振动频率更加分散，促使低阶振动向高阶振动传递。碰撞和回复力作用的综合效应使得SSVI轨道NES系统的小波阴影明显浅于锁住系统，SSVI轨道NES系统中振动能量快速衰减。

图10 试验加速度和位移响应Fig.10 Acceleration and displacement responses from experiment

图12为通过式(1)计算得到的NES回复力和碰撞力的小波变换。从图12(a)和图12(b)可知，主体结构自振频率处存在水平阴影线，即NES质量运动与主体结构运动形成共振。回复力小波变换中，块状阴影表示非线性的回复力-位移关系能够使振动能量在频谱间扩散；碰撞力小波变换中，可在碰撞时观察到振动能量大幅传递至极高的频率区域。两者的综合作用既可加速消耗系统能量又使SSVI轨道NES具备应对主体结构频率变化的鲁棒性。

图11 主体结构响应小波变换Fig.11 Wavelet transforms of primary structural responses

图12 NES回复力和碰撞力小波变换Fig.12 Wavelet transforms of restoring force and impact force

5 减震性能分析

通过进一步数值模拟发现，在地震作用下，使用脉冲型荷载优化得到的SSVI轨道NES和TMD系统仍具有较好的减震性能。表1为本文所考察的12条地震作用的信息。图13为当主体结构刚度保持不变和刚度下降为原始刚度的50%时，SSVI轨道NES系统和TMD系统分别与锁住系统的层间位移均方根之比。主体结构频率改变时，SSVI轨道NES系统中，结构响应增加程度较小，大多数地震作用下响应比值小于0.5，最大不超过0.73。TMD系统中，50%刚度时有10条地震作用下的响应比值接近或超过0.5，其中2号、3号、6号、8号和9号地震响应比值接近或超过1，最大接近2，表示此时TMD系统的响应超过锁住系统响应近一倍，TMD的减震性能退化严重。TMD性能退化的主要原因在于，TMD为线性控制装置，当主体结构频率远离TMD的设计频率时，两者间无法形成调谐共振机制，难以通过TMD振动耗能。而SSVI轨道NES不存在单一自振频率，可在较广泛的频率范围内形成共振，因此一方面可以与频率发生改变的主体结构发生共振，另一方面可以与主体结构高阶频率发生共振。

表1 地震作用信息

(a) SSVI轨道NES系统

(b) TMD系统图13 地震作用下控制系统刚度变化前后层间位移比值Fig.13 Response ratios of system with original and decreased stiffness under seismic excitations

以2号地震为例，图14对比了主体结构刚度不变时，SSVI轨道NES系统、TMD系统和锁住系统的层间位移响应，图15对比了主体结构刚度下降时各系统在同一地震作用下的结构响应。

图14 2号地震作用下100%刚度结构层间位移Fig.14 Story drifts of systems with 100% stiffness under earthquake No.2

图15 2号地震作用下50%刚度结构层间位移Fig.15 Story drifts of systems with 50% stiffness under earthquake No.2

然而，通过分析地震作用下的控制系统响应发现，使用相同的设计参数，SSVI轨道NES的减震性能(6个振动周期响应下降处于30%～40%)与脉冲型荷载作用下的控制性能(6个振动周期响应下降约70%)仍存在差距。主要原因在于各地震作用所包含频率成分、峰值加速度不同，而SSVI轨道NES所使用参数由脉冲型荷载优化得到，不能完全适用于复杂的地震作用。

6 控制参数二次优化

为了改善SSVI轨道NES的减震性能，本文对控制装置参数中较易改变的碰撞恢复系数和制动装置位置进行了二次优化。选择这两个参数进行二次优化的原因在于，在后续可能进行的试验中碰撞特性可通过改变制动装置位置和表面材料进行调整，是一种简单有效的提高减震性能的方法。

为反映各地震特性，先分别对12条地震作用下的SSVI轨道NES进行二次优化，此时每条地震作用下优化得到的碰撞恢复系数和制动装置位置存在不同，而实际设计中，应根据结构和地震特性选择一组统一的控制参数。表2列出了各地震作用下二次优化所得参数和分组统一后的取值。

根据二次优化的制动装置位置可将12条地震分为A，B两组。图16和图17分别绘制了A组地震和B组地震的功率谱密度，两者存在明显差别。A组地震频率分布较集中，峰值主要集中在0～2 Hz低频范围内；B组地震频率分布较平均，峰值分散在0～10 Hz内。较大的制动装置位置对应低频成分显著的地震，较小的制动装置位置对应包含一定高频成分的地震，其原因可能在于：高频成分较多的地震其地面加速度的作用较明显，相对位移作用明显的低频地震，此时用于控制的附加质量难以形成较长的运动轨迹，而具有非线性回复力-位移关系的NES在小位移时不能充分发挥其回复力的作用，因此增加碰撞耗能有利于提高整体减震水平。而制动装置位置越小，发生碰撞时的速度越大，SSVI轨道NES碰撞耗能的程度也越高。

表2 二次优化和统一后参数取值

图16 A组地震频谱图Fig.16 Power spectral density of earthquake group A

图17 B组地震频谱图Fig.17 Power spectral density of earthquake group B

表3中列出了SSVI轨道NES系统使用二次优化且统一后的参数时与锁住系统的底层层间位移均方根的比值。此时SSVI轨道NES系统的响应仅为锁柱结构的11.00%～35.62%，较二次优化前具有显著提升，表明在进行减震设计时，可根据该地区地震作用的频率分布特点进行控制参数的设计。

表3 二次优化且统一后SSVI轨道NES系统响应比值

7 结 论

(1)本文研究了一种新型的非线性结构控制方法——单边碰振轨道非线性能量阱，该装置中附加质量沿特殊设计的轨道运动，并在运动方向的一侧与制动装置发生碰撞，具有回复力-位移关系和碰撞两类非线性特点。

(2)SSVI轨道NES具有与传统线性控制方法相当的抗冲击性能，尤其在脉冲型荷载作用下，控制效率可高达70%。且在主体结构刚度发生变化时，SSVI轨道NES展现出良好的鲁棒性。SSVI轨道NES的非线性特点和控制性能通过振动台试验得到验证。在地震作用下，SSVI轨道NES可通过对碰撞参数进行二次优化提高其减震性能。

(3)使用SSVI轨道NES进行减震控制时，可根据该地区地震作用的频率分布特点选择参数。