数形结合解选择题常见惊喜

广东省珠海市艺术高级中学 罗兴文

“数”和“形”是数学大厦的两块基石，两者在内容上相互联系，在解题方法上相互渗透，在特定的条件下相互转化，“数形结合法”就是在这一学科特点下发展起来的。应用“数形结合”解题就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义，又分析其几何含义，力求在代数与几何的结合中寻找解题思路，它是观察推断问题的一条非常重要的捷径。

一、数形结合解决几何概型有关问题常见惊喜

例1 甲、乙同学约定在校门口会面，假定他们都将在12:00～12:30这段时间内的任意时刻随机到达校门口。甲说：我最多等你5分钟，看不见你来我就走人。乙说：我也最多等你5分钟，看不见你来我就走人。假设两人到达校门口互不影响，且没借用任何通讯工具，问甲、乙两人在校门口相会的概率为（ ）

二、数形结合解决平面向量有关问题常见惊喜

【类题通法】解决向量问题的常见两种方法：（1）几何法，即几何的观点，利用向量合成予以解决；（2）代数法，即代数的观点，通常用坐标法予以解决。两类方法都借助数形结合思想，化抽象为具体，解题明快。

三、数形结合解决镶嵌函数有关问题常见惊喜

例3 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10-x}(x≥0)，则f（x）的最大值为（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

【类题通法】镶嵌函数是一类特殊函数，常以min{a,b,c}和max{a,b,c}形式呈现。解决此类题型只需借助信息，利用数形结合思想将镶嵌函数问题转化为几个分段函数的图像，问题就变得明朗，易于理解和接受。

四、数形结合解决立体几何中与函数有关问题常见惊喜

例4 如右图，已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE=x(0＜x＜1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y=V(x)的图像大致为（ ）

【类题通法】立体几何中与函数交汇的问题，处理常见两种策略：（1）引入变量，由变量减的函数关系刻画，确定对应的解析式；（2）确定解析式方法烦琐，计算复杂，只需做定性分析，就能快速解决。两种策略中“数与形”的转化达到极致。

五、数形结合解决解析几何有关问题常见惊喜

【类题通法】在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，使数更形象、更直白地得以表达，充分利用图像的特征，挖掘题中所给的代数关系向几何关系转化，避免烦琐的计算。几何意义是实施数形结合的关键，常见的几何结构的代数形式有：（1）定义法；（2）比值考虑转化为直线的斜率；（3）二元一次考虑转化为直线的截距；（4）根式考虑转化为两点间的距离；（5）根式分式考虑转化为点到直线的距离。

六、数形结合解决线性规划有关问题常见惊喜

A.[6，15] B.[7，15] C.[6，8] D.[7，8]

【解题分析】作出可行域，由3≤x≤5，发现目标函数Z=3x+2y的最大值随x的变化而改变。（1）当x=3时，目标函数Z=3x+2y过点M，此时可行域为四边形；（2）当3＜x＜5时，目标函数向右上方移动，可行域仍然为四边形；（3）当x≥5时，可行域由四边形变为三角形。

图（2）中，当目标函数过（0，4）时，Zmax=3×0+2×4=8。

综上所得：Zmax∈[7，8]。故选D。

七、数形结合解决方程根（函数零点）有关问题常见惊喜

A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

【类题通法】由零点定理可知，函数的零点等价于方程的根，等价于函数图像与x轴交点的横坐标。数形结合思想将三者紧密联系起来，彼此相互转化。由此可见，数形结合是联系三者的纽带，它能将所研究的问题抽象变形象，不论是求函数零点或方程的根，或已知零点，确定参数取值范围等，都能得以解决。

“以形助数”和“以数助形”是数形结合思想的灵魂。以形助数，揭示形中数的本质；由数助形，利用形的直观性开拓解题思路。即常说的代数法和几何法。代数方法解答过程严密、规范、思路清晰；几何方法具有直观、具体、形象的优势。在解决有关问题时，数形结合思想所表现出来的思路上的灵活、过程上的简便、方法上的多样化是一目了然的，它为问题的解决提供了多条通道，使灵活性、创造性的思维品质在解题中得到了更大限度的发挥。在具体应用中应扬两种方法之长，避呆板单调解法之短，做到左右逢源，游刃有余。