浅谈数学高考选做题中的极坐标和参数方程

曾芳芳

极坐标和参数方程是数学高考选做题中的一个内容，也是考生的一个得分点，近几年的高考中这部分的内容出题相对稳定都属中档题目，所以在高考中这部分尽量拿到满分是我们平时训练的目标。但在平时的学习中，很多的同学往往搞不清楚什么时候用极坐标方程，什么时候用参数方程，所以做题束手无策，本文就如何扎实掌握好极坐标方程和参数方程的内容谈谈自己的看法，希望能对教师和同学们有所帮助。

一、区分清楚普通方程、极坐标方程、参数方程的关系

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数：，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。

图1可以很直观的看到它们之间的关系。

二、一题多解，归纳对比区分三种方程

归纳对比法是归纳法和对比法的综合运用。科学史上，运用归纳法的典型代表是牛顿，他在《自然哲学数学原理》中说，“科学研究的实质是归纳的”。对比法也是科学研究和发现的重要方法。“有比较才能有鉴别”。把归纳与对比联合起来使用，不仅是进行科学研究的方法，同时也是重要的教学方法。所以在平常的教学时，我们为了讲清楚这三种方法，可以找一个三种方法都可以使用的典例，这样学生能更好的掌握这三种方程。

例在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ。

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

（2）若射线l ： y=kx（x≥0）分别交C1，C2于A，B两点（A，B异于原点），当时，求|OA|·|OB|的取值范围。

①化简完第一个问就可以看到C1是圆（x-1）2+y2=1，C2 ： y=x2，l ： y=kx（x≥0）都很简单，联立可以求出A，B（k， k2），利用两点的距离公式化简|OA|·|OB|=2k，，∴|OA|·|OB|。所以如果选做题给出的曲线是圆，那么用普通方程，学生更容易能理解;或者联立方程很容易求出解的也可以用普通方程。

②观察到l ： y=kx（x≥0）必过定点（0，0），所以|OA|表示直线l上点A到定点（0，0）的距离，可用A点对应的参数|tA|表示，同理，|OB|可用B点对应的参数|tB|表示，|OA|·|OB|=|tA||tB|，所以，把射线l ： y=kx（x≥0）化成参数方程（t为参数）代入C1，C2求出tA，tB即可。所以给出直线的定点，就选择参数方程。

③观察到|OA|·|OB|中的O是极点，|OA|表示A点对应的极径|ρA|，|OB|表示B点对应的极径|ρB|，把圆化成极坐标ρ=2cosθ，求出ρA=2cosθ，，|OA|·|OB|=ρAρB=2k。所以与极点有关系的距离问题都可以用极坐标去解决。

通过这样的对比，学生就不会搞混三种方程，反而能更容易区分什么条件下用那种方程，并且在做题时能根据题目的意思快速的选择最好的方法去解题。

另外，从图1中可以看出普通方程和参数方程是在直角坐标下的方程，并且参数方程比普通方程的优点在于只有一个变量，更容易讨论，通常在求最值问题时，用参数方程，最终可以转化成三角函数求最值问题。

总之，教师在教授这部分内容的時候一定要先讲清这三种方程之间的关系，然后让学生弄清三种方程各自的特点，特别是|tA|和ρ的几何意义，才能做出正确的选择;另一方面还要学生在做题时不断地总结，不断地反思才能把这部份的内容完全的掌握，高考才会在这部分得满分。