基于弹道重构的脱靶量分析

李殿元,钱龙军

(南京理工大学,江苏 南京 210094)

在高炮武器系统射击精度试验中,脱靶量是最重要的检测项目之一, 其大小直接影响弹丸对目标的命中概率和毁伤效果。在这期间,根据实测的弹道轨迹数据和目标航路数据,可以很方便地检测弹丸的脱靶量,从而获得客观的射击精度分析结果。

目前,弹道轨迹的建模方法可以分为基于理论弹道方程组的建模方法和基于射表的建模方法[1]。相比弹道方程,射表在火控系统中应用更加广泛,为了便于应用,它被制成弹道局部信息关于发射条件的表格函数,但不能直接给出满足某个发射条件的整条弹道数据。由于射表建立的是命中点与射击诸元的对应关系,即通过目标命中点的坐标位置(目标水平距离、目标高度)直接查询或计算火炮的射击诸元(高低角,方位角、弹丸飞行时间),从而避免了通过弹道微分方程求解射击诸元的繁复过程[2]。这是射表数据的常用方法,同样也可以从火炮射角和方位角出发计算在不同的飞行时间弹丸所在空间的位置, 即弹丸飞行的水平距离和高度,这里把根据射表数据建立弹丸飞行轨迹的过程称为弹道重构。

在现实应用中,往往需要火控系统提供弹道的轨迹数据,如陆军指挥系统空域管理模块需要高炮弹道轨迹数据与其他空域使用单位的数据进行冲突检测,或使用弹道轨迹数据与数字地理信息系统进行遮蔽判断等[3-4]。而通过弹道重构能够拟合出一条完整的弹丸轨迹,清晰地再现了弹丸运动的全过程,为弹道的使用提供了方便。而且在计算脱靶量时能清楚地知道弹丸所处的空间位置,提高了解算精度,使其成为一种计算脱靶量的可行方法。

1 弹道重构的一般方法

1.1 重构方法

通常情况下,火炮基本射表的二元表格函数是以斜距离D和武器线高低角ε为自变量的,但是由于不同武器其性能和使用方法不同,相应射表的格式也不存在统一的规范。假设以D、ε为自变量的二元表格函数为

(1)

由于d=D·cosε,h=D·sinε，

(2)

故二元表格函数可转化为如下形式

(3)

为了进行弹道重构,考虑把(φ,tf)作为自变量，(d,h)作为函数值,建立二元表格函数,其中的原理是相同的。这样就可以在炮口地理坐标系[5]中建立以射角φ发射,在t时刻弹丸飞行水平距离x(φ,t)与飞行高度的拟合函数为z(φ,t)

(4)

i=1,2,…,n

(5)

An×(N+2)(N+1)/2X((N+2)(N+1)/2)×2=Bn×2

(6)

其中，

根据最小二乘法原理,弹丸飞行水平距离x(φ,t)与飞行高度的拟合函数z(φ,t)的待定拟合系数为

(7)

在应用中,弹道一般以地理坐标系为基准,设地地理坐标系与炮口地理坐标系的原点重合,假设火炮射击的方位角为β,则对式(4)表示的坐标,做一个旋转变换,就得到了弹道在地理坐标系中的坐标

(8)

通过这样的方法,弹丸的轨迹便重构出来了。

1.2 重构函数拟合效果的判断

在用最小二乘法进行数据拟合过程中,本文采用的是误差平方和最小的准则。在重构弹道时,我们以误差的均方根作为判断拟合准确度的准则,即

(9)

只有当Δ不大于给定的允许误差时,认为拟合函数符合精度要求。本文采用“卡斯-19”式100 mm高射炮对空射表数据为例,重构出水平距离d和高度h的拟合系数,并用均方根误差判断其准确度,如表1、表2所示,经过计算得到d和h的均方根误差分别为σd=0.978 5 m,σh=0.972 8 m,而射表中给出的d和h的表格数据精确到个位,故重构函数的拟合精度满足要求。

1.3 验证

2 弹道重构下的脱靶量分析

2.1 脱靶量定义

对着发射击的弹丸而言,严格意义上的脱靶量应是弹丸与目标之间在空间的最短偏差矢量。当该向量等于零时表示弹丸命中目标,否则为“脱靶”。但是在测量实践中,这种理论上的脱靶量是难于测量的,于是衍生出几种便于测量又不会产生较大误差的等效脱靶量定义。由于脱靶量是弹目偏差或炸目偏差的总称[5],对着发射击的弹丸而言脱靶量即为弹目偏差,本文给出一种通常意义下的弹目偏差定义,为此首先定义弹目偏差坐标系Tg-xByBzB[6]:坐标原点为命中点Tg;vbT为弹头相对目标的相对存速,其方向称为迎弹方向,过Tg点垂直于迎弹方向的平面称为迎弹面,记为Q。沿着vbT的有向直线规定为弹目偏差坐标系的纵深轴yB;过vbT的铅垂面与迎弹面的交线规定为弹目偏差坐标系的高低轴zB,它与地理坐标系铅锤轴z1间的张角为锐角，方向是zB的正方向;在迎弹面内,垂直于zB的直线规定为弹目偏差坐标系的方位轴xB,依右手定则从yB旋转90°到xB的旋转方向是xB的正方向。显然由坐标轴xB与zB张成的平面是迎弹面如图1所示。

图1 弹目偏差坐标系

表1 水平距离d的拟合系数

均方根误差为:σd=0.978 5 m

均方根误差为:σh=0.972 8 m

2.2 脱靶量计算方法

假设目标做匀速直线运动,其运动轨迹为

(10)

其中,(xmb0,ymb0,zmb0)是目标的初始位置,(vx,vy,vz)是目标在速度方向上沿着各坐标轴的分量。目标航迹模型是已知的,则可以预测未来点Tg,利用命中问题的顺解法求出导弹飞行时间tf和射击诸元方位角β和抬高角α,从而重构出地理坐标系下的标准弹道。

按照弹目偏差定义计算脱靶量,求解方法如下:

1)通过解命中求出射击诸元并重构出标准的弹丸轨迹；

2)在未来点Tg(目标中心)建立弹目偏差坐标系,从其定义可知,弹目偏差坐标系是以Tg点为原点的地理坐标系经过偏航、俯仰而得。

(11)

(12)

其中vbT=(vbTx,vbTy,vbTz)T是vbT在地理坐标系中的投影表示。利用重构出的标准弹道对其做差分求出轨迹上各点的速度, 再借助弹头相对目标的相对存速

vbT(tf)=vb(tf)-vT(tf)

(13)

求出地理坐标系各轴系下的相对速度,从而确定偏航角βvbT和俯仰角εvbT;

3)在标准的弹道射击诸元基础上,分别给定误差φ、β,按照新的射击诸元重构出实际弹道;

4)由于在弹目偏差坐标系中要计算出实际弹道与迎弹面的交点坐标,而坐标是时间的函数,难点在于如何求出弹丸飞抵迎弹面的时间。可将地理坐标系下的实际弹道转换到弹目偏差坐标系下,即:先进行一步平移变换,再经过偏航βvbT和俯仰εvbT两次旋转即可完成。

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(14)

(15)

由于在迎弹面处的纵坐标为零,即yB(t)=0,这样便找到了求解飞行时间的约束条件,时间可求,则交点坐标也迎刃而解。

3 实例仿真

本文以“卡斯-19”式100 mm高射炮对空射表为例,假定气象条件和弹道条件均为标准条件,目标做匀速直线运动,初始位置[-1 000 3 000 5 000],目标速度为[220 -200 -50]。通过解相遇算出射击诸元,并重构出其标准弹道如图2所示。

图2 重构出的标准弹道

令诸元误差Δφ和Δβ服从正态分布,打靶次数设置为400,在Matlab14环境下进行蒙特卡洛打靶仿真,得到弹丸在迎弹面oxh内的弹着点分布情况,如图3所示。图中“o”为诸元误差下弹着点在迎弹面内的分布,“*”为分布点的均值,即期望弹着点。

图3 迎弹面Q上的弹着点分布

二维随机向量(X1,X2)T服从二维正态分布的充要条件是其两主成分(设为z1,z2)各自服从正态分布且相互独立[9]。利用此结论将二维随机向量转化为两个互不相关的主成分,然后通过检验两主成分是否各自服从正态分布且相互独立来间接检验原二维随机向量是否服从二维正态分布。具体分如下两步进行:

1)分别检验假设:H0i: 主成分zi服从正态分布;H1i:zi不服从(i=1,2),这可以利用Matlab软件中的相关命令进行。若有一者不服从正态分布,则可断定(X1,X2)T不服从二维正态分布;若两者都通过正态性检验,则进入2);

2)检验假设H0:z1,z2相互独立;H1:z1,z2不独立。此假设可通过二维列联表进行检验,检验的步骤是先将z1,z2的取值范围分别分成r和s个互不相交的子区间,这样可得rs个互不相交的小矩形。算出样本落入每个小矩形的频数nij(i=1…r;j=1…s)。令

(16)

则检验统计量

(17)

在H0为真时的极限分布为χ2((r-1)(s-1)),然后利用χ2检验法进行检验。若独立性也获得通过,即可认为(X1,X2)T服从二维正态分布。

经计算迎弹面上的弹着点(xi,hi)T,i=1…400的相关系数矩阵为

(18)

其特征值分别为0.2437,1.7563,对应的特征向量分别为(-0.7071,0.7071)T,(0.7071,0.7071)T,由此可得两主成分估计

(19)

由主成分表达式可求出400对数据(zi1,zi2)T,利用Matlab提供的检验函数jbtest分别对z1,z2的正态性进行检验,均获得通过,并画出(zi1,zi2)T的区间坐标分布柱状图。

从图4和图5的结果亦能得出z1,z2各自服从正态分布。

图4 z1的区间分布频率

图5 z2的区间分布频率

表4 数据的区域分布频率

至此验证了(xi,hi)T的两主成分z1,z2服从正态分布且相互独立,所以迎弹面上弹着点(xi,hi)T服从二维正态分布。

对蒙特卡洛打靶结果进行统计分析,弹着点的数学期望值和标准差计算公式为

(20)

则弹着点在二维平面Q上的协方差矩阵为

(21)

其中,协方差阵中的主对角元素σ11和σ22分别为h向和x向的方差,即

(22)

σ12和σ21则为h向和x向的协方差,即

(23)

经计算可得

(24)

(25)

可见其平均弹着点位于迎弹面中心,与坐标原点十分接近,在此假定散布中心位于原点不变。

由于诸元误差引起的弹着点在迎弹面内服从正态分布,依照文献[7-8]的处理方式,其分布密度为

(26)

将目标在迎弹面Q上的投影区作为一个方形域ν,面积为SABCD,各边平行坐标轴,如图6所示。

图6 迎弹面上的二维目标域

A点坐标为A(-4,4),B点坐标为B(4,4),C点坐标为C(4,-4),D点坐标为D(-4,-4)。故可以知道矩形四条直角边的直线方程

(27)

对于该二维目标,取矩形右下角C点为射击指向点,坐标为E0,故射击误差EB为

EB=E0+Ep

(28)

所以可计算弹丸的命中概率p为

(29)

将式(25)、(26)和(27)代入式(29),得

(30)

这样,在考虑诸元误差的条件下,利用弹道重构的方法,便计算出了高炮在迎弹面Q上的命中概率。

4 结束语

对于利用射表及其逼近函数进行火控解算的普遍做法,本文提出了依据射表和解算出的射击诸元,重新构建弹道轨迹的思路,在分别改变射角和方位角作为诸元误差的情况下进行蒙特卡洛打靶试验,计算脱靶量和命中概率。通过对仿真结果的计算和分析,证明了采用该种弹道重构方法的正确性,为高炮射击脱靶量精度分析提供了一个实用的工具。