变量变换回归分析(Ⅳ)偏好评分资料的结合分析法——

胡良平

(1.军事科学院研究生院，北京 100850；2.世界中医药学会联合会临床科研统计学专业委员会，北京 100029

1 基本概念

1.1 偏好评分

在心理、生理和精神卫生等学科领域中，研究者常使用各种量表对患者进行评定[1-4]，此类评分一般被视为“计量资料”。然而，在很多其他领域，研究者常基于自己的知识、经验、感受和偏好，来给被评价对象(以下简称为“被评者”)评分，此即“偏好评分”。这里的“被评者”可以是人(如某病患者、参加比赛的歌手、前来应聘的求职者、课题或项目的申请者等)、物品或商品(如电脑、汽车、住宅或服装等)等。评价者进行评分时，通常依据被评者在若干方面或属性或因素的表现或真实情况，并结合自己的“偏好”，给出一个自己认为最合理的分值。由此可知，“偏好评分”不像试验结果那样客观、精准，而在一定程度上带有主观性。这就不难理解，为什么同一位患者的影像学光片由多位放射科医生来阅读，通常会给出不同的评分结果。

1.2 因素及水平

如何区分“被评者A”与“被评者B”？通常需要根据具体情况，从几个主要方面或角度来度量或认定被评者，用统计学的术语来描述，就是拟考虑的“因素”。以一位患者的CT光片为例，假定要考虑的主要因素有A、B、C、D，每个因素又可分为好、中、差3个档次。于是，这4个因素都具有3个水平。请一位临床医生基于前述4个因素来给100例某病患者的CT光片进行病情评分，病情由轻到重依次评为1、2、……、10分。这样就可以获得对这100例患者的“偏好评分”。这里的“偏好”主要反映了该临床医生在阅片方面的经验和技能，显然不可能像定量检测样品中某种物质含量那样精准。

1.3 偏好评分的性质

通常，偏好评分有两种具体形式，其一，仅用很少的几个分值来描述所有的“被评者”，如用“1、2、3、4、5”5个分值来描述100例某病患者；其二，使用1～ 81共81个不相同的分值来描述81例某病患者。前一种“偏好评分”只能被视为“有序资料”；而后一种“偏好评分”可以被视为“有序资料”，也可被近似视为“计量资料”。

1.4 偏好评分资料的数据结构

在一项关于轮胎的消费情况的调查中，假定轮胎主要属性(或因素)有4个：品牌、价格、使用寿命、有无公路意外保险计划，各属性包含不同水平[5]。见表1。

表1 轮胎的属性及其水平

若将各属性的所有水平进行组合，一共有3×3×3×2=54种可能的组合形式(相当于有54种不同的轮胎或54种不同的试验条件；在多因素试验设计中，每种“组合”被称为一个“试验点”)。最好的做法是采用析因设计，即在54个试验点的每个试验点上至少做2次独立重复试验。那么总试验次数至少需要108次。为了节约成本，研究者拟采用正交设计。利用SAS软件产生一个组合数为18的正交设计表。见表2。其中最后两列为两名顾客(即在各试验点上均做了2次独立重复试验)给出的偏好评分，用1～18来表示其偏好(1表示最愿意购买，18表示最不愿意购买)。

表2 具有18种水平组合的混合水平正交表

由表2可知，偏好评分资料的数据结构由两种性质的变量及其取值构成：定性的影响因素(表2中第2～5列)和偏好评分(表2中最后2列)。就整体而言，它是一个多因素析因设计或正交设计(或均匀设计)下所收集的一元或多元有序资料。

由于未找到合适的临床实例，故借用上面关于“商品”的例子。若临床工作者能在临床工作中发现与此实例类似的“临床问题”，可以采用本文介绍的“结合分析法”进行数据处理。

1.5 偏好评分资料的分析任务及分析方法

针对每一位顾客(即评价者)给出的“评分”，需要回答以下三个问题：其一，4个因素的“重要性(或贡献率)”分别是多少(重要性之和为100.00%)？其二，每个因素各水平的“分值效用”(即每个水平的“重要性”，确切的含义为“水平效用”)是多少？其三，该顾客最偏爱或喜欢的轮胎是哪一款(即理想试验点)？为实现前述的统计分析任务，需要选择“结合分析法”。

2 结合分析简介[6-8]

2.1 何为结合分析

结合分析也叫联合分析，它用于确定哪些产品(或服务)的属性(或因素)对于消费者(或评价者)来说是最重要的、哪些是中等重要的、哪些是次要的；还可用于估计每种属性(或因素)的每个水平的“效用(即对偏好评分的作用)”大小。

2.2 结合分析的基本思想

结合分析的基本思想是：将偏好评分近似视为计量因变量，将每个属性的每个水平视为一个“二值自变量”。假定每个属性的所有水平对因变量的影响是可以叠加的，进一步假设每个属性所有水平效应之和为0(这在统计学上被称为“约束条件”，以保证计算出的“效用值”有正有负，代表不同的作用方向)。在前述假设成立的条件下，构建多重线性回归模型，并基于最小平方法原理求解回归模型中的参数估计值。

2.3 结合分析的基本模型

结合分析中通常采用普通最小平方法估计回归模型中的参数，因素的每个水平被视为一个自变量，并且，每个自变量只有0或1两个可能的取值。模型可用式(1)表示。

Y=a+∑vx

(1)

在式(1)中，Y表示所有属性(或因素)的一种水平组合条件下被评价对象的总效用，也被称为“轮廓(即一个试验点)”的总效用。a为截距，v为各水平的分值效用(相当于回归系数)，x为取值为0或1的哑变量，当它代表的某属性的一个水平出现时，x=1；否则x=0。

若模型中属性水平的分值效用的差值(最大效用与最小效用之差)越大，则该属性的相对重要性越高。一般用百分比来描述各属性的重要性。见式(2)。

(2)

在式(2)中，m表示属性个数，Wj表示第j个属性的相对重要性，max(vj)和min(vj)分别表示第j个属性各水平中最大和最小的分值效用。

3 实例的SAS实现

3.1 对实例的进一步解说

在前面的“实例”中，表1列出了拟考察的“属性(或因素)及其水平”，表2是将这个实际问题付诸研究所给出的一种“试验设计”(第2～5列)及其两位顾客给出的“偏好评分”(最后两列)。表2中的每一行代表4个因素各取一个水平所对应的一种组合(也叫试验点)，也就是一款特定的产品(在本例中为一种轮胎)。统计分析的目的是希望依据某位顾客的“偏好评分”，回答前述“偏好评分资料的分析任务”中提及的问题。

3.2 分析实例所需要的SAS程序

options validvarname=any;

proc format;

value brandf 1=' goodstone' 2=' pirogi' 3=' machismo' ;

value pricef 1=' $69.99' 2=' $74.99' 3=' $79.99' ;

value lifef 1=' 50,000' 2=' 60,000' 3=' 70,000' ;

value hazardf 1=' yes' 2=' no' ;

run;

data tires;

input brand price life hazard rank1 rank2 @@;

format brand brandf9. price pricef9.

life lifef6. hazard hazardf3.;cards;

;

run;

proc transreg utilities cprefix=0 lprefix=0;

ods select convergencestatus fitstatistics utilities;

model identity(rank1 rank2/reflect)=

class(brand price life hazard/zero=sum);

output out=out replace predicted;

run;

proc print label data=out;

var rank1 rank2 prank1prank2 brand price life hazard;

run;

【说明】“model语句”中的选项“reflect”的含义：代表各水平取正的“分值效用”时，对应着最好的“偏好评分”。这样可以免去使用者在下专业结论时，需要顾及结果变量究竟属于高优指标还是低优指标。

若忽略了选项“reflect”，当结果变量为高优指标时，需要选取绝对值最大的正效用值对应的水平组成“理想试验点”；而当结果变量为低优指标时，需要选取绝对值最大的负效用值对应的水平组成“理想试验点”。

3.3 主要输出结果及解释

因篇幅所限，下面仅给出第一位顾客偏好评分对应的结合分析结果：

RootMSE1.72562R-Square0.9385DependentMean9.50000AdjR-Sq0.8955CoeffVar18.16446

以上结果表明：模型对资料的拟合优度较高，均方根误差=1.72562、R2=0.9385。与“分值效用(Utility)”和“重要性(Importance)”有关的计算结果见图1。

图1 与表2中顾客A的偏好评分对应的计算结果

由图1中第4列计算结果可知：轮胎的4个属性的相对重要性为：价格>使用寿命>品牌>是否有公路意外保险计划。价格方面，越便宜越受顾客偏好；使用寿命方面，越长越受顾客偏好；品牌方面，顾客最偏好的是pirogi；是否有公路意外保险计划方面，顾客更偏好有保险计划的轮胎。最受顾客欢迎的轮胎属性组合为“品牌pirogi +使用寿命70 000km+价格$69.99+有公路意外保险计划”，它们都是各属性中“分值效用”取最大正值的“水平”。

4 讨论与小结

4.1 讨论

4.1.1 式(1)的解读

结合分析的“回归模型”式(1)的真实含义，就是把“偏好评分值”视为“计量因变量”，而把所有的“属性(或因素)”视为“定性自变量”，但需要对每个属性变量产生哑变量。值得注意的是：在对每个属性变量产生哑变量时，不采取通常的方法(以其中一个水平为基准)，而是将其每个水平产生一个“0与1”的二值变量，但必须限制该属性的所有水平对应的哑变量之和等于0。例如：对于“品牌”这个属性变量而言，由表2的第2列可知，第1～6行都是第1种品牌“GOODSTONE”，若用TB1代表它，则TB1=1，其后的12行都不是该品牌，故TB1=0；同理，可用TB2代表第2种品牌，则在第7～12行令TB2=1，其他行上令TB2=0；可用TB3代表第3种品牌，则在第13～18行令TB3=1，其他行上令TB3=0。于是，就将一个具有3水平的“品牌”转换成TB1、TB2、TB3三个“二值变量”了。

类似的，利用以上方法可将“价格”转换成TP1、TP2、TP3三个“二值变量”，将“使用寿命”转换成TL1、TL2、TL3三个“二值变量”，将“有无公路意外保险计划”转换成TH1、TH2两个“二值变量”。于是，可用拟合多重线性回归模型的REG过程来实现模型(1)的拟合。

4.1.2 用REG过程拟合式(1)

/*结合模型的构建与参数估计*/

data abc;

input a b tb1 tb2 tb3 tp1 tp2 tp3

tl1 tl2 tl3 th1 th2;

cards;

161510010001010171810010000101541000101000199100010010012210000110010751000010011012110101001000118170101000010111120100101001014160100100011067010001010103301000101001131400110010010151300110001010480010100100110600101000110110010011000181000100100101

;

run;

proc reg data=abc;

model a=tb1-tb3 tp1-tp3 tl1-tl3 th1 th2;

restrict tb1+tb2+tb3=0,tp1+tp2+tp3=0,

tl1+tl2+tl3=0,th1+th2=0;

run;

4.1.3 上述SAS程序的主要输出结果

方差分析源自由度平方和均方FPr>F模型7454.7222264.9603221.82<0.0001误差1029.777782.97778校正合计17484.50000

均方根误差1.72562R20.9385因变量均值9.50000调整R20.8955变异系数18.16446

以上结果与前面使用“TRANSREG过程”输出的“拟合优度”结果是相同的。

参数估计值变量自由度参数估计值标准误差tPr>|t|Intercept19.500000.4067323.36<0.0001tb11-0.166670.57521-0.290.7779tb211.166670.575212.030.0700tb31-1.000000.57521-1.740.1128tp115.666670.575219.85<0.0001tp21-0.666670.57521-1.160.2734tp31-5.000000.57521-8.69<0.0001tl11-2.166670.57521-3.770.0037tl21-0.666670.57521-1.160.2734tl312.833330.575214.930.0006th110.944440.406732.320.0426th21-0.944440.40673-2.320.0426RESTRICT-11.66533E-161.28569E-80.001.0000∗RESTRICT-1-9.4369E-161.28569E-8-0.001.0000∗RESTRICT-17.12104E-161.28569E-80.001.0000∗RESTRICT-100 - -

以上的输出结果中，除了最后“RESTRICT”所在的4行外，第3列和第4列与前面图1中第2列和第3列是完全一致的。此处，还多出了“t值”和“P值”，但少了关于各属性“重要性”的计算结果。但若利用上面的计算结果代入式(2)，就不难计算出“重要性”的数值。例如：

属性最大值-最小值重要性(%)品牌1.1667-(-1.0000)=2.16672.1667/18.8889=0.114708=11.471%价格5.6667-(-5.0000)=10.666710.6667/18.8889=0.564707=56.471%寿命2.8333-(-2.1667)=5.00005.0000/18.8889=0.264705=26.471%保险0.9444-(-0.9444)=1.88881.8888/18.8889=0.099995=10.000%合计18.8889

上面的“重要性”计算结果与前面图1中第4列对应的结果略有出入，可能是每一项“分值效用”输出时仅保留了4位小数，属于“舍入误差”所致。

4.1.4在第3.2节SAS程序的“model语句”中不使用“reflect”的输出结果

若将前面第3.2节SAS程序“model语句”中的选项“reflect”删除，其他内容不变，与图1对应的输出结果见图2。

将图2与图1对照，仅第2列中各因素的各水平的“分值效用”的正、负号发生了反转，绝对值没有任何改变。此时，若希望找出“理想试验点”，必须弄清楚“偏好评分”属于“高优指标”还是“低优指标”。本例开始就交代了“偏好评分”为“低优指标”，故“理想试验点”应由各属性中“分值效用”取最大绝对值且为负号对应的“水平”组合起来，即品牌pirogi+使用寿命70 000km+价格$69.99+有公路意外保险计划。

图2 与表2中顾客A的偏好评分对应的计算结果(未用reflect选项)

4.2 小结

结合分析模型是基于各属性(或因素)的分值效用可以简单叠加的假定成立的条件下构造出来的，当实际问题符合此假定时，其分析结果是正确的；否则，要慎重使用。必要时，需要选择其他统计模型。