具有整周回转能力的3T1R并联机构运动学分析

畅博彦 李晓宁 金国光 张 转 杨 帅

(1.天津工业大学机械工程学院， 天津 300387； 2.天津市现代机电装备技术重点实验室， 天津 300387)

0 引言

3T1R型并联机器人在高速抓放、产品分拣、零件装配等工艺过程中，尤其在需要调整工件姿态的场合下，具有广泛的应用前景。最初的3T1R并联机构是以Delta机器人为基础，通过在其动平台上添加一个独立的转动副而得到。随着数学工具的发展，相继提出了H4、I4、Par4、Heli4等类型的3T1R并联机构[1-6]。赵铁石等[7]提出了4-TRT型3T1R并联机构；黄田等[8]提出了Cross-IV型四自由度3T1R并联机构；刘辛军等[9]提出了X4型四自由度3T1R并联机构；沈惠平等[10-16]对国内外现有的2～6自由度并联机构进行拓扑结构和运动解耦性分析，提出了并联机构的4个运动解耦规律、4个运动解耦设计原理及其方法和2个降耦原理及其3种降耦方法，结合并联机构拓扑结构设计理论，提出了多种3T1R并联机构，并对其拓扑结构特征和运动特性进行了分析；杨廷力等[17-18]基于方位特征方程，详述了3T1R并联机构拓扑结构综合的完整过程，并得到多种新型3T1R并联机构；朱小蓉等[19-20]提出了一种无过约束并联机构设计方法，并基于降耦原理设计了一种低耦合度的3T1R运动解耦并联机构。但是，由于受到支链间的相互约束作用，大多数的3T1R并联机构的转动能力较小(小于90°)，不足以满足实际工况的使用要求[21]。

实现3T1R并联机构整周回转运动的方法主要包括[21]：① 在动平台上直接增加一个独立的转动副，这种方法增加了机构末端的转动惯量和制造成本。② 利用齿轮放大机构动平台的旋转角，该方法使并联机构的结构更加复杂，对可靠性有一定影响。③ 采用两个轴线相同、但旋向相反的螺旋副，使动平台具有整周回转能力，该方法简单有效，但需要保证制造、装配和控制精度，以避免锁死。

本文将平行四边形机构与平行四边形剪叉机构相结合，提出一种平面二维移动放缩单元，经模块化组合和扩展后，构造一种新型平面二维移动放缩机构，并将该放缩机构作为支链应用于3T1R并联机构的设计，对所得并联机构的拓扑结构进行分析和降耦设计，得到耦合度为1的降耦机构。以降耦机构为研究对象，基于序单开链法建立机构的位置正反解方程，用于对机构的工作空间和转动能力进行分析，以确定机构可实现整周回转运动的工作空间范围。

1 平面二维移动放缩支链

1.1 支链的组成原理

图1所示的平面二维移动放缩支链由3种模块，即底部模块、中部模块和顶部模块，经转动副顺序连接而成，3种模块均由二维移动放缩单元演变而来，演变过程如图2所示。二维移动放缩单元以平行四边形机构和平行四边形剪叉机构为基础构造而成，构造过程如图3所示。由图1可以看出，对于由n个模块(n≥2)组成的二维移动放缩支链，其包括1个底部模块、n-2个中部模块和1个顶部模块。

图1 n层平面二维移动放缩支链简图Fig.1 Two-dimensional pantograph mechanism consisted of n-layer modules

图2 3种模块构造简图Fig.2 Construction diagrams of three kinds of module

1.2 支链的运动学分析

图3 二维移动放缩单元Fig.3 Two-dimensional pantograph unit

以二维移动放缩单元为研究对象，以E0为原点，杆IB为x轴，建立固定坐标系Oxy如图4所示，杆BC、IJ、FE1、CK′与x轴正向的夹角分别为θ11、θ12、θ13、θ14；杆E0G、IJ、E0H、BC的长度为l1，杆E0I、E0B的长度为l2，杆FG、FJ、DH、DC的长度为0.5l2，杆JK、FE1、CK′、DE1的长度为l3。

采用矢量代数法可建立机构的闭环矢量方程，针对闭环运动链E0GFE1E0，列写闭环矢量方程

E0G+GF+FE1=E0E1

即

(1)

图4 二维移动放缩单元运动建模Fig.4 Kinematic modeling of two-dimensional pantograph unit

针对闭环运动链E0HDE1E0，列写闭环矢量方程

E0H+HD+DE1=E0E1

即

(2)

联立式(1)、(2)，可将θ13、θ14分别表示为θ11和θ12的函数

(3)

因此，在已知θ11和θ12时，可求得E1点坐标为

(4)

对于由n个模块(n≥2)组成的平面二维移动放缩支链，根据机构的中心对称性，可得

(5)

由于E0=(0,0)，代入式(5)可得

(6)

由此可知，对于n层平面二维运动放缩机构，第n层中E2n点可将E1点处的运动轨迹放大2n倍。如图5所示，对于3层平面二维运动放缩机构，第3层中E6点可将E1点处的运动轨迹放大6倍。

图5 3层平面二维移动放缩机构Fig.5 Two-dimensional pantograph mechanism consisted of 3-layer modules

2 3T1R并联机构及其拓扑特性分析

2.1 机构设计

本文提出的3T1R并联机构由动平台1、静平台0通过4条结构相同的平面二维移动放缩支链连接而成，如图6、7所示，其中，各支链与动平台1相连的4个转动副R10、R20、R30、R40的轴线与动平台平面垂直；各支链与静平台0相连的转动副R11、R21、R31、R41为驱动副，其轴线共面且R11‖R31⊥R21‖R41。

图6 3T1R并联机构三维模型Fig.6 3D modeling of 3T1R PM

图7 3T1R原始机构Fig.7 Original 3T1R PM

2.2 机构的拓扑特性分析

2.2.1机构的方位特征集和自由度

选定动平台1上任意一点O′为基点。确定支链末端构件的方位特征集为

第Ⅰ、Ⅱ支链组成第1回路，其第1个独立回路位移方程数ξL1为

第Ⅰ、Ⅱ支链组成的第1子并联机构的自由度和方位特征集为

由第1子并联机构及第Ⅲ支链组成第2个回路，其第2个独立回路位移方程数ξL2为

第1子并联机构及第Ⅲ支链组成的第2子并联机构的自由度和方位特征集为

由第2子并联机构及第Ⅳ支链组成第3个回路，其第3个独立回路位移方程数ξL3为

机构自由度为

机构动平台的方位特征集为

机构的过约束度Nov为

因此，取静平台0上的4个转动副R11、R21、R31、R41为驱动副时，动平台1具有3个移动和1个绕其法线方向上的转动输出。

2.2.2机构的耦合度计算

第1个回路的约束度Δ1为

第2个回路的约束度Δ2为

第3个回路的约束度Δ3为

耦合度k为

由于该机构的耦合度k=2，机构位置正解比较复杂，但可通过降耦设计，在保持机构的基本功能(方位特征集和自由度)不变的前提下，使机构的正向运动学和逆向运动学方便求解。

3 3T1R降耦机构的设计

根据第2.2节中对该机构进行拓扑特性分析时，发现第1回路的方位特征集和自由度与整个机构的方位特征集、自由度相同，即Mpa(1-2)=Mpa(1-4)、F(1-2)=F(1-4)，因此当机构只包含支链Ⅰ和支链Ⅱ时，可得到降耦机构如图8所示。

图8 3T1R并联机构的降耦设计Fig.8 Coupling-reducing design of 3T1R PM

3.1 降耦机构的POC集和自由度

选定动平台1上任意一点O′为基点。确定支链末端构件的方位特征集

第Ⅰ、Ⅱ支链组成唯一回路，其回路位移方程数ξL1为

机构自由度为

机构动平台的方位特征集为

机构的过约束度Nov为

因此，取转动副R12、R14、R22、R24为驱动副时，动平台1具有3个移动和1个绕其法线方向上的转动输出。

3.2 降耦机构的耦合度计算

回路的约束度Δ1为

耦合度k为

由此可知，通过减少支链的数目，并改变其驱动副，实现了机构的基本功能(方位特征集和自由度)不变，但机构的耦合度降低为1，此时，机构的位置正解可由基于序SOC的一维搜索法求得[14]。

4 降耦机构的位置分析

4.1 位置正解

4.1.1坐标系建立及符号标注

机构位置分析求解模型如图9所示，静平台为边长为2a的正方形，动平台为边长为b的正方形，4个驱动分别为R12、R14、R22、R24。静坐标系OXYZ建立在静平台的中心点O处，X轴和Y轴分别与R21、R11轴线平行，Z轴由右手法则确定；而动坐标系puvw位于动平台的中心点p，pR10为u轴、pR20为v轴，w轴由右手法则确定。机构的主要结构参数为：在各支链中， R14、R12、R24、R22的转角θ11、θ12、θ21、θ22为输入角，α1、α2为支链Ⅰ、Ⅱ的转角，E6点到动平台的直线距离为l4，动平台绕w轴方向的转角为姿态角γ，如图10所示。

图9 3T1R并联机构的位置分析模型Fig.9 Model of position analysis in 3T1R coupling-reducing PM

图10 姿态角γ的测量Fig.10 Measurement of angle γ

该机构的位置正解可描述为：已知输入角θ11、θ12、θ21、θ22，求动平台中心的位置坐标p(x,y,z)及姿态角γ。

4.1.2SOC上各运动副位置求解

由SOC中的分支链，可求得转动副R10的位置坐标，再由矢量方程Op=OR10-pR10求得p点的坐标为

(7)

同理，由SOC的另一分支链，求得转动副R20的位置坐标，再由矢量方程Op=OR20-pR20求得p点的坐标为

(8)

由式(7)和式(8)可得

(9)

(10)

6C1+l4=6C2+l4

(11)

其中A1=l1sinθ11cosα1+l3sinθ14cosα1

A2=-l1cosθ21-0.5l2-l3cosθ24
B1=l1cosθ11+0.5l2+l3cosθ14
B2=l1sinθ21cosα2+l3sinθ24cosα2
C1=l1sinθ11sinα1+l3sinθ14sinα1
C2=l1sinθ21sinα2+l3sinθ24sinα2

由式(11)可得

(12)

由式(9)和式(10)联立并消去γ后可得

A2+B2=b2

(13)

其中

A=a+6A1-6A2

B=6B1-a-6B2

由此可建立目标函数

(14)

4.2 位置反解

该机构的位置反解可描述为：已知动平台中心的位置p(x,y,z)及姿态角γ，求输入转角θ11、θ12、θ21、θ22。

4.2.1输入角θ11和θ12求解

由式(7)中x、z坐标，可知

6sinα1(l1sinθ11+l3sinθ14)=z-l4

(15)

(16)

将式(15)和式(16)联立可求得

由式(7)中y、z坐标，可得

6l1cosθ14=P1-6l1cosθ11

(17)

(18)

将式(17)和式(18)联立消去θ14，有

P3sinθ11+P4cosθ11+P5=0

(19)

令

可得方程式(19)的解为

(20)

将式(17)和式(18)联立消去θ11，有

P6sinθ14+P7cosθ14+P8=0

(21)

令

可得方程式(21)的解为

(22)

根据式(20)、式(22)和式(3)可求解得到输入角θ11、θ12。

4.2.2输入角θ21和θ22求解

由式(8)中y、z坐标，可知

6sinα2(l1sinθ21+l3sinθ24)=z-l4

(23)

(24)

将式(23)和式(24)联立可求得

由式(8)中x、z坐标，可得

-6l3cosθ24=Q1+6l1cosθ21

(25)

(26)

将式(25)和式(26)联立消去θ24，有

Q3sinθ21+Q4cosθ21+Q5=0

(27)

令

可得方程式(27)的解为

(28)

将式(25)和式(26)联立消去θ21，有

Q6sinθ24+Q7cosθ24+Q8=0

(29)

令

可得方程式(29)的解为

(30)

根据式(28)、(30)和式(3)可求解得到输入角θ21、θ22。

4.3 位置正反解实例验算

4.3.1正解算例

表1 机构位姿正解数值Tab.1 Numerical forward solutions of PM

4.3.2反解算例

将表1中位置正解结果代入式(20)、(22)、(28)、(30)和式(3)，得到的位置反解结果为θ11=15.240 6°，θ12=94.91 0°，θ21=31.035°，θ22=131.03°。与给定的4个输入角一致，从而验证了所建机构正反解模型的正确性。

5 降耦机构的工作空间和转动能力分析

5.1 工作空间分析

工作空间是衡量并联机器人性能的一个重要指标，本文采用极限边界搜索法对该3T1R降耦机构进行工作空间分析。首先设定其工作空间的搜索范围，基于导出的位置反解公式，求解出该搜索范围内每一点所对应的杆长和运动副转角，筛选出所有满足杆长约束和运动副转角约束条件的点，若其中的任一值超出了其允许值，则对应的点在工作空间外，表示机构达不到此时的位置，反之，即可判断该点是在工作空间内，这些符合条件的点组成的三维立体图，即为该机构能够达到的工作空间。

机构的结构参数已在4.3节给出。为了找到空间内所有满足要求的点，首先确定其三维搜索范围：0≤Z≤4 m、0≤θ≤2π、0≤ρ≤5 m(θ、ρ分别为柱坐标系中搜索角度和搜素半径)；约束条件为θ11、θ12、θ21、θ22存在实数解；通过Matlab数值分析，取沿Z方向的步长ΔZ=0.1 m，搜索半径步长Δρ=0.1 m，旋转角步长Δθ=π/36，姿态角γ在0°～360°之间变化。可求得机构的工作空间三维立体图如图11所示，X-Y的截面图如图12所示。

图11 降耦机构的三维工作空间Fig.11 Three-dimensional workspace of coupling-reducing PM

从图11、12可以看出，该3T1R机构的工作空间连续，随着Z的增加，机构的工作空间X-Y的截面积逐渐减小，但图形更加规则。

图12 工作空间的X-Y截面图Fig.12 X-Y cross-sectional views of workspace

5.2 转动能力分析

动平台的转动能力即为末端执行器在工作区域内的转角范围，是衡量并联机构输出转动灵活性能的一个重要指标。在分析其转动能力时同样采用极限边界搜索法，基于导出的位置反解公式，通过固定高度Z处的X-Y截面来分析该机构动平台的转动能力[14]。通过改变搜索半径ρ以及搜索角θ，分别计算动平台在此X-Y截面内转角的最大值γmax和最小值γmin，用于评价机构在该截面上的转动能力。由此，在得到降耦机构工作空间的基础上，可进一步研究其在不同X-Y截面上的转动能力，即动平台在不同高度情况下，输出转角的最大值γmax和最小值γmin的分布规律，如图13所示。

由图13可以看出，动平台转动能力即输出转角的最大值γmax和最小值γmin的分布规律，在某些高度条件下，可分别达到180°和-180°。由此可得，当机构动平台中心位置p为工作空间内某一特定点时，若对应的动平台输出转角最大值γmax=180°，且输出转角最小值γmin=-180°，则称动平台在该点处具有整周回转能力，满足上述条件的点的集合即为机构具有整周回转能力的工作空间。

在对降耦机构进行转动能力分析的基础上，可进一步筛选得到不同高度下机构具有整周回转能力的工作空间，如表2所示。图14为动平台中心位置p(x,y,z)=(0.812 m,1.016 m,2 m)时，对应其整周回转过程的示意图。

由表2可以看出，当Z∈[0，3.4 m]时机构均具有整周回转能力，其中Z∈[0，1.4 m)时，机构具有整周回转能力的工作空间的截面是复连通点集，定义为Ⅰ型工作空间；Z∈[1.4 m，3.4 m]时，机构具有整周回转能力的工作空间的截面是单连通点集，定义为Ⅱ型工作空间。在Ⅱ型工作空间内，动平台的运动轨迹规划和姿态调整灵活简便。

为了更直观地评价机构在不同X-Y截面上工作空间的大小，需要求解对应的截面积。但是若截面形状是不规则图形，其面积就无法使用常规的几何图形面积计算公式进行求解，因此采用蒙特卡洛方法来计算工作空间内不同高度Z下X-Y截面的面积。在上文所述边界搜索法中，其最大搜索边界是半径为5 m的圆，因此选取边长为10 m的正方形为边界，可使机构工作空间面积均在该正方形内；当搜索点符合均匀分布时，落入工作面积内部的点的数量，与工作面积所占正方形面积的比例成正比。

假设在面积为S的正方形内搜索点数为N，落入待求工作空间面积内部的点数为n，则该工作面积s可表示为

(31)

由式(31)可求得，在Z取不同值时机构的工作空间的截面积和机构具有整周回转能力的工作空间的截面积，如图15所示。可以看出，机构的工作空间的截面积随着Z的增大而减小，当Z取值为3.7 m时，工作空间的截面积为0，即动平台沿Z轴方向移动的最大高度为3.7 m。此外，机构具有整周回转能力的工作空间的截面积随着Z的增大先增大后减小，且当Z取值为1.4 m时达到最大，为17.336 m2，当Z取值为3.5 m时，机构不具备整周回转能力。

图13 不同高度条件下降耦机构的转动能力Fig.13 Rotational capacity of coupling-reducing PM at different heights

图14 动平台中心位置p(x,y,z)=(0.812 m,1.016 m,2 m)时的整周回转过程示意图Fig.14 Rotational capacity of moving platform with its geometric center p(x,y,z)=(0.812 m,1.016 m,2 m)

图15 X-Y截面积变化曲线Fig.15 Changing curves of X-Y cross-sectional area

6 结论

(1)提出了一种二维移动放缩单元，经模块化组合与扩展后，构造了一种新型平面二维移动放缩机构，将该放缩机构作为支链，设计得到一种新型4支链3T1R并联机构，分析了该并联机构的拓扑结构特性，求得机构的耦合度为2，位置正解求解比较复杂。

(2)对4支链3T1R并联机构进行降耦设计，在保证基本功能(方位特征集和自由度)不变的情况下，将机构耦合度降为1，使其位置正解求解得到简化。

(3)采用基于序单开链法的位置正解求解原理，建立了降耦机构的正解方程，采用一维搜索法求得其数值解，并通过数值解验证了正反解方程的正确性。

(4)基于机构的位置反解公式，分析了降耦机构的工作空间和转动能力，结果表明：该并联机构的工作空间大，且具有连续性；动平台转动能力强，且在一定工作空间范围内具有整周回转能力；在转动能力分析的基础上，筛选得到了不同高度下机构具有整周回转能力的工作空间，将其分为Ⅰ型工作空间和Ⅱ型工作空间，在Ⅱ型工作空间内，动平台的运动轨迹规划和姿态调整灵活、简便。

(5)基于蒙特卡洛方法研究了工作空间截面积随Z的变化规律，结果表明：机构的工作空间的截面积随着Z的增大而减小，动平台沿Z轴方向移动的最大高度为3.7 m。机构具有整周回转能力的工作空间的截面积随着Z的增大先增大后减小，且当Z取值为1.4 m时达到最大，当Z取值为3.5 m时，机构不具备整周回转能力。该方法对不同结构参数的同类型机构均适用。