三角形中位线的妙用

李杨

中图分类号：G633.64文献标识码：A文章编号：1992-7711（2019）14-046-1

北师大版《数学》在八年级删减了“平行线等分线段”及“平行线分线段成比例”定理，刚开始让我们老师有些茫然，但没想到正因为这一删减，在九年级上册第三章《证明》“三角形的中位线”，却收到了意想不到的结果。

传统教材与新教材对“三角形中位线”定理的证明，都是采用作辅助性构造平行四边形，再无新意。而初学新教材的学生却首次提出不作辅助性，利用三角形相似即可证明，让人眼前一亮。

定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

已知：如图1中DE是△ABC的中位线

求证：DE∥BC，DE=1/2BC

证明：∵DE是△ABC的中位线

∴AD/AB=AE/AC=1

又∵∠DAE=∠BAC

∴△ADE∽△ABC

∴DE/BC=AD/AB=1/2

即DE=1/2BC

∴∠ADE=∠ABC

∴DE∥BC

同样，教材P87“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理，新旧教材仍均是采用构造矩形来证明的。但这种证明，学生，包括老师均难以想象，难以接受。学了“三角形的中位线”，学生的思维又不得不让你惊叹。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

已知：如图2中直角△ABC中，∠ABC=900，BE是AC边上的中线

求证：BE=1/2AC

证明：作AB的中点F，连接EF

∴EF是△ABC的中位线

∴EF∥BC

又∵∠ABC=900

∴∠AFE=∠BFE=90°

又∵AF=BF，FE=FE

∴△AFE≌△BFE

∴BE=AE

又AE=EC

∴BE=1/2AC

有了這种证明，你能想到它的逆定理的证明吗？

逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

已知：△ABC中，AE=CE，且BE=1/2AC

求证：∠ABC=900

证明：作AB的中点F，连接EF

∵BE=1/2AC，AE=CE

∴BE=AE

又∵BF=AF，EF=EF

∴△AFE≌△BFE

∴∠AFE=∠BFE=90°

又BF是△ABC的中位线

∴EF∥BC

∴∠ABC=∠AFE=90°