用舒尔不等式的变形证明一组征解题

河南省南阳师范学院软件学院(473061)李居之

《数学通讯》(上半月)自2010年第1 期恢复“问题征解”子栏目以来,每期精选适合高中学生的有趣、实用、新颖、灵巧、深浅适度、富有启发性的5 道题目进行征解,使其成为启迪思维、开发智力的小智囊.笔者研读了近十年来的征解题,在欣赏优美精巧解答的同时,注意到了供题人经常使用舒尔不等式及其变形来命制问题,本文以此为出发点,用舒尔不等式的一个变形举例说明.

需要说明的是,利用舒尔不等式的变形证明不等式问题时,有时需结合均值不等式和柯西不等式以及两个恒等式,这里将其列出,并且为了计算方便,不妨设p=a+b+c,q =ab+bc+ca,r =abc.

①(舒尔不等式的变形)设a,b,c ≥0,则有p3-4pq+9r ≥0；

②(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r；

③a3+b3+c3=p3-3pq+3r.

例1(《数学通讯》2010年第9 期问题27)设a,b,c ∈R+,且a+b+c=3,求证：2(a3+b3+c3)+3abc ≥9.

证明待证不等式等价于2p3- 6pq + 9r ≥9 ⇔6p3- 18pq + 27r ≥27 ⇔6p3- 18pq + 27r ≥p3⇔5p3-18pq+27r ≥0.由舒尔不等式的变形并结合均值不等式得5p3-18pq+27r=5(p3-4pq+9r)+2pq-18r ≥从而原不等式成立,当且仅当a=b=c=1 时等号成立.

类似地,还可以证明2006年乌克兰数学奥林匹克竞赛题：

设a,b,c ＞0,求证：

例2(《数学通讯》2012年第10 期问题111)已知a,b,c为正实数,求证：

证明由柯西不等式得则待所证不等式等价于

由舒尔不等式的变形结合均值不等式得

从而原不等式成立,当且仅当a=b=c=1 时等号成立.

类似地,还可以证明《数学教学》2018年第10 期问题1041：

设a,b,c ＞0,求证：

例3(《数学通讯》2013年第1、2 期问题124)已知正数a,b,c 满足abc=a+b+c+2,求证：

证明容易证明r ≥8,待证不等式等价于

由舒尔不等式的变形结合条件r =p+2 得

从而原不等式成立,当且仅当a=b=c=1 时等号成立.

类似地,还可以证明《数学通讯》2017年第1 期问题284：

例4(《数学通讯》2014年第10 期问题195)已知正实数a,b,c 满足a+b+c=3,求证：

证明将条件a+b+c=3 代入舒尔不等式的变形可得3r ≥4q-9,再由均值不等式得

从而原不等式成立,当且仅当a=b=c=1 时等号成立.

类似地,还可以证明《数学通讯》2010年第3 期问题8：

若a,b,c 为正数,a+b+c=3,求证：

例5(《数学通讯》2015年第4 期问题211)已知x,y,z为正数,求

的最小值.

解由舒尔不等式的变形结合均值不等式得

故P 的最小值为5,当且仅当x=y =z 时等号成立.

类似地,还可以证明《数学通讯》2017年第4 期问题295：

设x,y,z ＞0,求证：

尽管品牌真实性有不同定义，但研究者发现品牌真实性与消费者态度和行为意向有直接的关系[8]。Spiggle等[5]研究发现若人们对延伸品牌的真实性评价越高，那么他们就会更加接受该品牌的广告信息推送，更愿意尝试该品牌的新产品以及向亲朋好友推荐这个品牌；Ewing等[9]研究发现若人们对绿色产品的品牌真实性评价越高，那么他们会更加喜欢购买绿色产品，也会愿意以更高的价格购买该产品；Morhart 等[10]研究发现品牌真实性与消费者对品牌的情感依恋和积极的口碑呈正相关；吴漪等[11]认为全球品牌真实性会正向影响品牌可靠性；徐伟等[12]研究发现本土品牌在国际化后，其品牌真实性会影响人们的购买意向。

例6(《数学通讯》2018年第7 期问题354)已知a,b,c为非负实数,且a+b+c=ab+bc+ca ＞0,求证：

证明所证不等式结合条件a+b+c=ab+bc+ca 等价于

因为a,b,c 为非负实数,所以只需证明a+b+c+abc ≥4.因为

所以

从而只需证明

进一步只需证明

此即为舒尔不等式的变形,显然成立.从而原不等式成立,当且仅当a,b,c 中有一个为0,其余为2 时等号成立.

类似地,还可以证明《数学通报》2016年第9 期问题：

已知a,b,c ≥0,且a+b+c=ab+bc+ca ＞0,求证：

例7(《数学通讯》2019年第2 期问题388)已知正数a,b,c 满足a+b+c=3,求

的最小值.

解由舒尔不等式的变形结合条件a+b+c=3 可得4(ab+bc+ca)≤9+3abc,再由均值不等式得

故P 的最小值为9,当且仅当a=b=c=1 时等号成立.

类似地,还可以证明2010年广东省高中数学竞赛题：

设a,b,c ≥0,且a+b+c=1,求证：9abc ≤ab+bc+ca ≤