圆型压电陶瓷结构自由振动的有限元分析

董 波

(滁州职业技术学院 土木工程系，安徽 滁州 239000)

随着移动通讯技术和智能制造技术的飞跃发展，压电陶瓷结构也得到了迅猛的发展[1]-[2]。大量的研究工作主要集中于压电陶瓷的材料特性和制作工艺上。在理论上，可以通过三维运动方程并结合边界条件对压电陶瓷结构的高频振动进行精确求解，但是异常复杂的耦合方程和边界条件使得解析求解几乎行不通[3]。Mindlin等利用将振动位移沿着厚度坐标展开的方式将传统的三维问题转化为二维问题，解析获得了石英晶体板高频振动的色散关系、频谱关系、振动模态图和相关电学参数[4]-[5]。同样基于Mindlin板理论，有限元计算也逐渐用来分析压电声波器件的高频振动，获得压电声波器件的振动特性[6]。

与此同时，随着通用有限元软件(ANSYS、ABAQUS、COMSOL等)技术、计算算法和计算机性能的不断提升，可以直接利用有限元软件对三维问题进行数学建模并求解[7]。吴荣兴等利用有限元软件ANSYS对石英晶体谐振器高频振动进行了分析，获得复杂结构模型的石英晶体板厚度剪切振动模型[8]-[9]。本文同样采用有限元软件ANSYS对圆形压电陶瓷结构自由振动进行了分析，获得了圆形压电陶瓷结构自由振动的振动特性，为进一步分析复杂结构奠定了研究基础。

1 模型建立

本文选取的圆型压电陶瓷片模型的半径为1.25mm,厚度为0.2mm，材料密度为7500kg/m3，压电陶瓷的材料常数见文献4。在利用ANSYS软件对圆型压电陶瓷片高频振动模拟的过程中，将利用SOLID226单元进行建模。具体过程为首先建立一个面，利用面旋转获得圆柱体的模型并进行网格划分，这里使用MESH200单元。最终建立的圆型压电陶瓷片有限元模型的网格划分如图1所示。

图1 圆型压电陶瓷片的有限元模型

这里需要指出的是，图1表示的是网格的划分方式，并不是真实的网格划分。实际在圆型压电陶瓷片的长度方向、厚度方向以及旋转方向的网格划分将比较密。这里圆型压电陶瓷结构的高频振动分析的目的是为了获得压电陶瓷片工作模态，也就是厚度剪切振动的频率解[8]。

2 收敛性证明

在分析圆型压电陶瓷片高频振动之前，需要验证所建模型的计算结果的收敛性。常用的验证方法是固定圆型压电陶瓷片的两个方向的网格划分，不断增加第三个方向的网格划分，当计算结果逐渐收敛时，说明该计算模型有效并收敛。理论研究表明，在一个厚度剪切振动波长内至少要保证8个节点，因此本文固定初始矩形面在长度方向划分100个单位，宽度方向划分50个单元，接着增加旋转网格数量，从10开始增加，每个单元约为12×4微米。这里首先希望获得的是厚度剪切振动模态，因此在计算时设定求解模态为20个，扩展模态的数量同样为20个，计算频率基于经典板的近似公式从2MHz增加到6MHz,收敛性计算结果表格如下表所示。

收敛性计算表

3 收敛性结论

验证了计算结果的收敛性后，就可以来计算圆型压电陶瓷片高频振动时的振动频率。这里选取的网格划分数为200×50×25，通过前面讨论，可以计算获得无数个振动频率，如何识别出圆型压电陶瓷片厚度剪切振动的真实频率成为关键问题。根据基本频率计算的理论公式[3]，即：

上式中f，c66，ρ和b分别为频率、弹性常数、密度和半板厚。在基频附近可以获得多个频率，ANSYS画图不是非常清晰，因此，通过对各节点位移的输出并通过matlab数值编程，可以绘制厚度剪切振动的模态位移图如图2所示。

从图2可以发现，厚度剪切振动的振动能量主要集中在圆型压电陶瓷板的中间部位(位移主要区域)，符合能陷作用的要求[3]。但是从整体上看，厚度剪切振动并不具备完全圆心对称，因此在左右和上下方向并不完全一致。

图2 圆型压电陶瓷片厚度剪切振动模态的位移云图

同样，降低频率的搜索范围，可以绘制出圆型压电陶瓷片的弯曲振动模态的位移图如图3所示。

图3 圆型压电陶瓷片弯曲模态的位移云图

从图3可以发现，弯曲振动的能力也集中在板的中间位置，并且弯曲模态关于圆心完全对称，符合前期的理论分析结果。先前的研究表明圆型压电陶瓷片的厚度剪切振动无法获得其解析解，主要原因是各向异性的材料特性使得运动方程的求解变的非常复杂，而各向同性材料的高频振动解已经获得了部分解[4]-[5]。因此，这里采用的有限元方法成为最直接的方法。

4 结论

本文利用有限元分析软件ANSYS对圆型压电陶瓷结构的高频振动特性进行了分析，绘制了厚度剪切振动和弯曲振动模态的位移图。计算表明，可以获得厚度剪切振动和弯曲振动的频率，并且具有很好的能陷效应。这里建立的模型为进一步分析圆型压电陶瓷结构的电极效应、支座效应和电学参数奠定了良好的基础。