基于集总参数建模的微型镊子推杆设计

成一诺，邹明耀，程文皓

(1. 清华大学 精密仪器系，北京 100084；2. 夷陵中学，宜昌 443005)

0 引 言

通过物理方法拾起微小物体很有希望实现具有专一选择性、精确性、可控性的移动，这些特征使得微操作可以应用于微系统的自动化建造。得益于微机电技术的发展，很多微型钳设备已经被开发出来，包括二指设备和单指设备。尽管可以使用MEMS钳类工具，而且人们已经在自动化操作技术领域已经取得了显著成就，但微细操作在很大程度上依然对操作技术有很高的要求，需要操作人员反复的试验并且容易出差错。所有的困难中，最令人长期困惑的问题就是在微尺度下如何摆脱强大的附着力从操纵装置中释放出微小的物体。力的尺寸效应引起了粘附力，包括毛细力，静电力，范力，体力(如重力)。

为了快速而准确的释放微小物体，在过去的十年当中很多方法被提出过。释放的方法可以被分为两大类，被动释放方法和主动释放方法。其中，被动释放方法依靠微小物体与基底材料之间的附着力从最终的操纵装置中剥离微小物体。被动释放技术的共性包括：该技术与基底材料的特性相关，很耗费时间，可重复性差。与之不同，主动释放方法将微小物体从最终操纵装置中剥离，但不需要与基底接触。现在有电场脱离法[1]，机械振动法[2]和基于真空的压差操作法[3]。然而，这些方法都还有很多缺点，包括依赖基底材料，不便于集成，无法实现精确控制。

本文介绍了Brandon[4]等人提出的一种使用MEMS微型推杆的主动发射方法，这种微型推杆集成在两个钳臂之间形成了活塞结构，如图1所示。

图1 三头微型钳的SEM图像

此结构保留了双头钳类工具拾起微小物体时的优势，而且活塞可以将微型物体挤出，从而使其附着在夹臂上后被发射到基底上的指定区域，这种方法的可重复性很好，而且精度可以高达0.70±0.46 μm。这个结构与现有的微型钳不同，现有的微型钳或者仅有一个主动驱动臂，或者有两个相互依存的主动钳臂。由于每个钳臂抓紧一个微物体时具有很强的随意性，因此文中所提到的结构中对于粘附物体的放置都有一个独立的驱动器，从而保证恰当的使其与活塞结构排成一列以便于发射。

文中简单介绍了推杆的结构设计。推杆采用梳状静电驱动执行器推动，文中重点采用集总参数建模分析了推杆所受的梳状静电驱动力。利用本文的推杆结构，可以改善现有微型镊子的缺陷，为亚微米粒子的操作提供了有效的解决方案。

1 推杆总体设计

1.1 驱动方式选择

常用的微系统驱动器有电磁驱动、静电驱动、压电驱动、以及热驱动等，热驱动中钳臂温度的上升有可能影响附着力的大小，进而会降低微型镊子性能的一致性。为便于系统集成和系统的小型化，可考虑采用电磁驱动或静电驱动。静电执行器功耗小，但输出力(力矩)比较小；电磁执行器输出力(矩)可以较大，但同时消耗功率较大。考虑到微钳所需推力很小，为了减小系统功耗，减少散热，此处采用静电驱动。

静电驱动的输出可以是平行极板的间距变化，也可以是极板相对面积的变化，即梳状静电驱动。平行极板间距变化量很小，输出力也很有限。要想增加输出力必须增大极板面积，这在一定程度上造成了加工的困难。另外，如果驱动电压过大就有“塌陷”的危险。梳状静电驱动结构的输出位移可以更大，要想增加驱动力只需平行的增加极板个数，而且没有“塌陷”的危险。综上，选择梳状静电驱动作为本文的驱动方式。

1.2 结构设计

微型镊子整体原理结构如图2所示。从图中可以看到，微型镊子系统主要有左夹持臂、右夹持臂和中间的推杆组成。

图2 微型镊子结构原理图

微型镊子的夹持臂和推杆都采用梳状静电驱动，夹持臂采用悬臂梁形式固定，推杆采用双端固支梁形式。本文主要分析推杆的设计，参考文献[4]中推杆的部分参数如表1所示。

表1 微镊子推杆的结构参数

由图2可以看到，推杆由两根固支梁固定，两根梁的效果等价，只是为了控制推杆的运动方向。表1中推杆弹性梁数量是将结构中的2根固支梁作为4根悬臂梁，相应的长度也是等效悬臂梁的长度。为简便起见，在下文分析中只考虑一根固支梁。

2 推杆详细设计

为保证本文原创性及计算的独立性，文中采用额外添加的约束条件：推杆位移可达8 μm，控制电压不大于50 V，推杆固定在单根固支梁正中央。下面针对修改后的参数进行推杆设计。

2.1 固支梁等效弹性系数

对于长度为L，宽度为W1，厚度为H的双端固支梁，在中心点作用负载力F时，微梁中心点挠度c与负载力F的关系为

等效弹性系数

为保证输出位移能达到8 μm，在设计中留出一定的余量，按照10 μm进行设计计算。计算参数及结果如表2所示。

2.2 梳状静电驱动力计算

对于带有电荷Q，间距为g的可动平行平板电容，其存储的能量可以表示为

表2 固支梁弹性系数及计算参数

(1)

考虑到电荷Q和电压V的关系

(2)

得到

(3)

式中A为相对极板面积。对于矩形极板，其长为l，宽为W2，于是有

(4)

对于梳齿电容，极板间距g保持不变，而只有矩形极板在长度l(或宽度W2)方向上的尺寸发生变化。设梳状静电执行器“梳齿”较少的电极共有n个“梳齿”(也称“指状电极”)，则另一个“梳齿”一定有n+1个“指状电极”，由于每个指状电极的正、反面各对应着一对可动平行平板电容，因此相当于共有2n个可动平行平板电容并联。于是，梳齿电容上存储的能量为

(5)

此即梳齿电容的能量表达式。当电容两端电压为V时，其所受静电力Fc可以表示为

(6)

取电容极板宽度W2=25 μm，相对极板间距g=4 μm，空气介电常数ε=8.85×10-12C/N·m2，代入式(6)中，得

当输出位移Δx=10 μm时，所需的驱动力为

F=k1Δx=24.678 μN

要求控制电压不大于50 V，得到

n≥178.5

考虑到推动粘附在夹持臂上的颗粒还需要一定的力，取指状电极个数n=200，此时相应有400个可动平行平板电容。

2.3 强度校核

硅屈服强度应力σs=7×109N/m2，固支梁最大弯矩发生在固支端，其最大应力应满足

对于上述设计的系统，取n=200，联立式(6)，得到系统驱动电压V必须满足

V≤250 V

本文设计的系统满足强度条件。

2.4 结构设计

根据上述分析，确定指状电极参数为：极板宽度W2=25 μm；极板长度l=50 μm；极板厚度h=2 μm；相对极板间距g=4μm；与推杆相连的指状电极个数n=200，与基底相连的指状电极个数n1=201，有效平行平板电容有400个。

弹性固支梁参数：厚度H=3 μm，宽度W1=25 μm，长度L=1500 μm。

推杆固连在固支梁中央，其结构参数为：厚度H3=25 μm，宽度W3=100 μm，长度L3=3000 μm。

3 集总参数建模分析

3.1 集总参数建模

上述计算是基于静力学分析的，即不考虑推杆的动力学特性，下面利用集总参数建模方法对系统进行分析。

3.1.1系统等效质量

系统总质量为固支梁、推杆和指状电极三者之和，运动中推杆和指状电极速度一致，可当作一体；固支梁的质量也近似等效到梁端。

推杆体积

V1=H3W3L3=75×105μm3

固支梁体积

V2=HW1L=0.825×105μm3

齿状电极体积

V3=nW2lh=5×105μm3

系统总质量

m=ρ(V1+V2+V3)=1.87×10-8kg

3.1.2系统等效阻尼

系统在运动过程中收到的阻尼力为气动剪切阻尼力，与上面类似，阻尼力主要由固支梁表面决定，另外为了夹取表面的颗粒，微镊子的大部分区域都是悬空的，在这里假设阻尼力主要由推杆的运动产生，推杆与下地面间距h3=10 μm，得到推杆运动等效阻尼为

3.1.3系统微分方程

系统广义等效电路如图3所示，双口电容作为换能器，将电能量域输入电压V转换到机械能量域输出驱动力F。系统总质量等效电感m，弹性固支梁等效弹簧k，气动阻尼等效阻尼b。

图3 系统等效广义电路图

根据吉尔霍夫定律，图中右侧各电势满足如下关系

-F+Em+Ek+Eb=0

由式(6)驱动力F和输入电压V之间的关系，得到广义电压

(7)

将各器件上的电势表示为x的函数，如下所示

Ek=kx

得到

(8)

这里x为指状电极相对初始位置的位移，系统等效弹性系数k在前面已分析，k也为位移x的函数，函数关系为

(9)

由此得到推杆运动位移x和控制电压V之间的微分方程如下：

(10)

其中

3.2 仿真分析

3.2.1函数定义

从式(10)可知，推杆运动的控制方程为二阶非线性常微分方程，无法直接求解。利用MATLAB的ODE45函数计算其数值解，求解命令为：

Vspan=linspace(0,50,501);

[t,y1]=ode45(@pillar,Vspan,[0,0]);

其中定义微分方程组的函数如下：

function dy=pillar(t,x)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=x(2);

dy(2)=(A*t^2-B*(1+3/4/H^2*x(1)^2)*x(1)-b*x(2))/m;

3.2.2仿真结果

计算得到推杆位移和施加电压的关系如下图所示。从图中可以看到，随着电压增加，推杆位移单调增加，且当施加电压达到50 V时，推杆位移接近8 μm。微分方程计算结果与设计值有一定偏差，这是由于过程中用到的刚度、阻尼等参数都是经验公式估计值，数值模型上有一定偏差。计算中发现，位移-电压关系曲线对初值不敏感，这是由推杆受力状况决定的：在静态平衡情况下，推杆所受静电力与固支梁弹性力平衡，即电压和位移有唯一的对应关系，初值会影响推杆的初始位置和初始速度，但在电压一定的情况下，推杆最终都会平衡在该电压对应的位置上，故无论初始时刻推杆的位置和速度如何，平衡后推杆位置都由电压唯一决定。这表明梳状静电执行器具有很高的稳定性，能够实现位移的精确控制。

图4 推杆位移与驱动电压关系曲线

4 结 语

本文中对微型镊子中克服粘附力的解决方案做了简单介绍，重点分析了梳状静电微推杆的基本原理及设计方法。推杆采用梳状静电驱动执行器推动，文中对推杆的结构进行了设计、校核，利用集总参数模型分析了推杆运动的控制方程，并采用MATLAB数值分析方法计算了推杆运动位移与驱动电压的关系。仿真结果显示推杆运动位移与驱动电压具有单调的对应关系，基于电压控制的梳齿电极驱动方案输出位移稳定，可控性高，适合进行微位移操作。本文提供的集总参数建模方法及推杆驱动设计方法，可供静电驱动系统设计参考。