正常衰老的人脑功能网络演化模型

丁超 赵海 司帅宗 朱剑

摘 要：为了对正常衰老的人脑功能网络（NABFN）的拓扑结构变化进行探究，提出一种基于朴素贝叶斯的网络演化模型（NBM）。首先，依据朴素贝叶斯（NB）的链路预测算法与解剖距离来定义节点间存在连边的概率;其次，利用特定的网络演化算法，在青年人的脑功能网络基础上，通过不断地增加连边来逐步得到相应中年及老年时期的模拟网络;最后，为了对模拟网络与真实网络间的相似程度进行评价，提出网络相似指标（SI）值。仿真实验结果表明，与基于共同邻居的网络演化模型（CNM）相比，NBM构建的模拟网络与真实网络间的SI值（4.4794， 3.4021）高于CNM模拟网络对应的SI值（4.1004， 3.0132）;并且，两者模拟网络的SI值均明显高于随机网络演化算法所得模拟网络的SI值（1.8920， 1.5912）。实验结果证实NBM能够更为准确地预测出NABFN的拓扑结构变化过程。

关键词： 脑功能网络;演化模型;演化算法;链路预测;朴素贝叶斯

中图分类号： TP391.4; TP183

文献标志码：A

文章编号：1001-9081（2019）04-0963-09

Abstract： In order to explore the topological changes of Normal Aging human Brain Functional Network （NABFN）， a network evolution Model based on Naive Bayes （NBM） was proposed. Firstly， the probability of existing edges between nodes was defined based on link prediction algorithm of Naive Bayes （NB） and anatomical distance. Secondly， based on the brain functional networks of young people， a specific network evolution algorithm was used to obtain a simulation network of the corresponding middle-aged and old-aged gradually by constantly adding edges. Finally， a network Similarity Index （SI） was proposed to evaluate the similarity degree between the simulation network and the real network. In the comparison experiments with network evolution Model based on Common Neighbor （CNM）， the SI values between the simulation networks constructed by NBM and the real networks （4.4794， 3.4021） are higher than those of CNM （4.1004， 3.0132）. Moreover， the SI value of both simulation networks are significantly higher than those of simulation networks derived from random network evolution algorithm （1.8920， 1.5912）. The experimental results confirm that NBM can predict the topological changing process of NABFN more accurately.

Key words： brain functional network; evolution model; evolution algorithm; link prediction; Naive Bayes （NB）

0 引言

人類大脑是世界上最复杂的系统之一，它是由数十亿个神经元组成的一个高度缜密的组织结构[1]。为了便于研究分析，前人利用先进的技术手段将大脑划分为不同的功能区域，以此来负责人的不同身体机能，例如精神功能区、视觉区、听觉区等[2]。研究发现人在正常衰老过程中，脑功能区域连接的变化将导致认知能力的改变[3]。文献[4]已经证实人的语言功能会随着年龄的增加而发生衰退现象，而这一影响正是由于脑区间的动态连接变化造成的。

与此同时，探索人类在正常衰老过程中脑功能区域复杂连接模式与认知能力变化之间的关系已然成为有关学者的关注重点。文献[5-6]通过利用图理论方法和网络建模的方式研究与年龄相关的人的认知表现和各脑功能区域连接变化的关系。然而，目前的已有研究均未能对大时间尺度范围内人的脑区之间的功能连接变化进行有效分析。因此，切实利用适宜的模型构建方法来探索这一变化过程是本文的研究目标，为将来找寻造成人类认知变化的内在原因提供了重要的理论参照。

本文的主要工作如下：1）提出一种利用朴素贝叶斯（Naive Bayes， NB）的链路预测算法和解剖距离定义的基于朴素贝叶斯的网络演化模型（network evolution Model based on NB， NBM）对脑功能网络建模，并与利用共同邻居（Common Neighbor， CN）的链路预测算法和解剖距离定义的基于共同邻居的网络演化模型（network evolution Model based on CN， CNM）对比;2）NBM依据特定的网络演化算法来模拟正常衰老的人脑功能网络（Normal Aging human Brain Functional Network， NABFN）拓扑结构的变化过程，并与随机网络演化算法进行对比;

3）利用不同拓扑属性间的双样本t校验结果来定义网络相似指标（Similarity Index， SI）值，用于评估演化模型的性能。

1 研究现状

随着神经影像技术的发展，利用功能磁共振成像（functional Magnetic Resonance Images， fMRI）扫描数据所构建的脑功能网络已经能够有效映射人的不同脑区之间的功能连接，即不同的脑区定义为网络节点，脑区间的功能连接定义为网络连边。目前，国内关于脑功能网络的研究相对较少，而国外的相关人员已经开始研究与年龄相关的人脑功能网络与认知能力的变化关系[7]，并通过利用复杂网络理论对正常衰老过程中的人脑功能网络的特性变化进行分析：文献[8]利用复杂网络理论来探究98名健康人的脑功能网络的变化，结果发现在正常衰老期间人脑网络的聚类系数会相应增加;文献[9]发现老龄化会影响大脑区域之间的功能连接，结果证实老年人的脑功能网络的模块度与青年人相比有减小的趋势;文献[10]利用fMRI扫描数据系统地构建了126名健康个体的脑功能网络，发现局部效益会随着年龄的增加而减小。以上对于人脑功能网络拓扑属性的研究，为网络建模提供了有效的模型评价依据。事实上，复杂网络理论也为脑功能网络的构建提供了诸多方法，为从建模的方面探索人脑的连接模式提供了新的解决办法。

近年来，复杂网络理论中的链路预测可以利用拓扑结构相似性来预测任意两个未连边的节点之间存在连边的概率，便于人们通过使用链路预测来定义网络模型，以此对复杂网络的变化过程进行研究：文献[11-12]利用链路预测对社交网络等进行构建，并用复杂网络理论中的多种拓扑属性进行分析，发现不同的网络属性间存在差异。与此同时，脑网络也实现了同步研究：文献[13]利用解剖距离定义节点连边概率，实现猫和猕猴脑网络的建模，发现节点连边概率与解剖距离成反比;文献[14]利用链路预测中节点间的连边变化关系对脑网络进行重构，证实局部社团策略对节点连边产生重大影响。以上两者的模型构建方法也为人脑功能网络的建模分析提供了思路：王艳群等[15]提出社团划分算法应用于脑功能网络，并重点分析了脑功能网络的社团结构的变化情况;Yang等[16]提出基于最大似然估计的分层随机图模型来定义节点连边概率实现对脑功能网络的重新构建，最终验证所提模型的模拟性能优于随机预测模型;Li等[17]利用复杂网络理论提出基于点介数的链路预测算法的网络模型并研究从正常到阿尔茨海默病的脑功能网拓扑属性变化过程，结果表明该模型的模拟效果良好;Sulaimany等[18]提出基于多种链路预测算法的网络演化模型，对阿尔茨海默病患者与正常人的脑功能网络结构差异进行研究，结果证实了不同算法对于网络的拓扑结构变化预测存在明显差异;文献[19-20]利用共同邻居（CN）的链路预测算法（简称CN算法）计算得到两节点间的拓扑结构相似性大小，再与解剖距离相结合来共同定义网络模型，以实现对脑功能网络的模拟，同时对比分析模拟网络与真实脑功能网络的多种拓扑属性验证了模型的有效性。虽然文献[15-20]利用基于多种链路预测算法提出的网络模型可以有效地对脑功能网络进行建模，但是它们并没有对正常衰老的人脑功能网络（NABFN）拓扑结构变化过程进行研究。另外，文献[19-20]通过拓扑结构相似性和解剖距离来定义节点连边概率，的确能够有效地对脑功能网络进行模拟，为本文模型的定义提供了参考依据。然而，CN算法计算拓扑结构相似性时并没有区分不同节点作为共同邻居节点时对该相似性的影响。

因此，针对上述问题，本文首先利用朴素贝叶斯理论量化分析网络中的每个节点作为共同邻居节点时对拓扑结构相似性的影响，得到朴素贝叶斯的链路预测算法（简称NB算法）。在此基础上，提出一种基于朴素贝叶斯的网络演化模型（NBM）对脑功能网络建模。其次，为了对NABFN的拓扑结构变化过程进行探究，NBM依据特定网络演化算法来模拟从青年时期经中年，再到老年时期的脑功能网络的演化过程。通过校验模拟网络与真实网络之间拓扑属性变化，结果显示NBM能够有效地预测出NABFN的拓扑结构变化。

2 网络演化模型定义

本章首先介绍模型构建的理论依据，其次，利用CN算法来定义的网络演化模型;最后，利用NB算法以区分不同的共同邻居节点对拓扑结构相似性的影响，并相应给出本文所提网络演化模型的具体定义。

2.1 网络模型构建的理论依据

本文定义由fMRI扫描数据构建的不同年龄范围的脑功能网络集合为真实网络（Young、Middle、Old），由网络演化模型建模得到的网络集合为模拟网络。

实验中，模型构建过程如图1所示。注意，图1仅包含网络中的部分节点。观察到真实网络中的节点a和b、节点c和d之间是否存在连边暂时无法知晓。然而，文献[17-20]均依据链路预测思想来定义网络模型，即节点a和b之间的拓扑结构相似性越大，则两节点越倾向于彼此连接;而文献[13，19]则是考虑两节点间的解剖距离（即欧氏距离），可以观察到节点a和b之间的距离小于节点c和d之间的距离。而距离越小则越倾向于建立连边，解剖距离定义如下：

特别地，文献[19]将解剖距离和拓扑结构相似性相结合提出一种新的网络构建模型，结果证实相对于利用单个因素的模型来说，該模型构建的模拟网络准确性更高。因此，本文模型也综合考虑这两个因素提出一种网络演化模型用于计算两节点间存在连边的概率大小，若概率取值最高，则建立网络连边，由此获得图1中的模拟网络。

2.2 基于共同邻居的网络演化模型

2.3 基于朴素贝叶斯的网络演化模型

近年来，关于朴素贝叶斯理论的研究一直是学术界中的热门方向。相关研究人员已经将其与复杂网络理论充分结合，并取得了重要的研究成果。Valverde-Rebaza等[21]提出一种使用重叠组结构信息来构建朴素的贝叶斯模型的新方法，有助于提高社交网络中连边预测的准确性。同样地，Heiberger[22]提出一种利用公司层面的单体网络作为后验概率来预测国家经济增长的贝叶斯方法，最终能够准确预测出不同季度的整体经济变化趋势。然而以上的研究对象皆是人们较为熟悉的一些复杂网络，而不是人脑功能网络方面的。

此外，2.2节中的CNM表明拓扑结构相似性和解剖距离确实能够有效地构建脑功能网络[19]。本文模型的定义也同样考虑了这两方面的因素。并且，观察图1可以发现，真实网络中的a和b节点存在的共同邻居节点明显多于c和d节点，CN算法则判定节点a和b之间的拓扑相似性校大。然而，CN算法在计算拓扑结构相似性时并没有区分不同节点作为共同邻居节点时对该相似性的影响。因此，本文依据朴素贝叶斯理论，利用NB算法来量化分析单个节点对拓扑结构相似性的贡献。同时，在此基础上，提出一种基于朴素贝叶斯的网络演化模型（NBM），模型定义为：

3 网络演化算法设计

为了研究NABFN的节点连接变化情况，本章提出特定的网络演化算法，并与随机网络演化算法进行对比。

3.1 网络演化算法

针对上文的两种网络演化模型，本节给出了具体的网络演化算法，以实现对NABFN拓扑结构变化过程的模拟，即算法以所有青年人的脑功能网络为起点，逐步得到中年、老年时对应的模拟网络。具体的网络演化算法包含以下步骤：

第1步 初始网络选取。选取真实网络中的Young作为演化的初始网络。

第2步 节点选择。选取Young中的单个样本对象网络G，根据式（13）中Pm取值随机从G中选择一个节点m。

其中：dn代表节点n的度值;Pm表示节点m被选择的概率，它与节点度dm正相关。如果dm≤1，或者m的任意邻居节点间均存在连边，将根据概率Pm重新选择新的节点m。

第3步 连边建立。若节点m邻居节点集合为Φ，随机选取Φ中的两个不存在连边的节点i与j，根据CNM、NBM的定义分别计算节点i与j之间的连边概率 Pi， j。选取 Pi， j取值最大的节点i与j建立连边。

第4步 并行演化。循环执行第2～3步，来不断增加G中节点间的连边数目，并保证Young中所有的样本对象网络并行演化，即：只有当Young中的网络全部完成当前演化步骤时，它们才会同时进入下一个循环。需要注意的是，演化过程包含两个时期，从Young到Middle，以及从Young到Old。两个时期中Young始终作为初始网络，且演化步骤一致，仅仅是相应的真实网络不同。最终当满足方程（15）时，演化过程结束。

其中： Pedge（s）表示网络演化过程中每个时期得到的模拟网络与对应真实网络（Middle， Old）之间关于节点连边数量的双样本t检验的P值。规定每当完成一次第4步后都要重复上述检验。如果第s+1次校验值Pedge（s+1）大于或等于第s次校验值Pedge（s），则演化过程继续下一循环;否则，表明Pedge（s）达到最大值，整个演化过程结束，即：初始网络Young中不再通过循环方式来添加新的连边。此时，Young集合中每个样本对象网络均增加了s条连边，最后选择第s次检验后的模拟网络作为最终模拟网络。

不难看出，本文算法的复杂度与整体边数的双样本t检验值有关。由于演化过程每次仅对Young中的所有网络建立一条连边，因此需要进行多轮操作直到满足演化终止条件为止，算法复杂度会相应增加。另外，对于第3步中计算两节点间的存在连边的概率，该过程也提高了算法复杂度。但是，演化过程的加边次数和网络节点的个数有限，使得整体的算法复杂度仍在可接受的范围内，并且合理的网络模型对于实验结果有着重要的影响。

3.2 随机网络演化算法

为了验证本文所提网络演化算法的准确性，与随机网络演化算法进行对比分析，并且两者演化过程包含的两个时期相同。具体步骤如下：

第1步 初始网络选取。将真实网络中的Young作为演化的初始网络。

第2步 节点选择。随机选取Young中的单个被试网络G中的一个节点m，如果节点m的度值dm≤1或者节点m任意邻居节点间均存在连边，则重新随机選取节点m。

第3步 连边建立。获取节点m对应的所有邻居节点集合Φ，并随机选取Φ中两个不同的节点i和j。若节点i和j之间不存在连边，则建立连边。

第4步 并行演化。循环执行第2～3步，来不断增加G中节点间的连边数目，并保证Young中所有的样本对象网络并行演化，整个过程与3.1节网络演化算法一致。最终当满足方程（15）时，演化过程结束。

4 实验与结果

4.1 样本选取与预处理

本文使用的原始fMRI扫描数据分别来自于脑成像国际联盟（International Consortium for Brain Mapping， ICBM）、生物医学研究中心（The Center for Biomedical Research Excellence， COBRE）以及北京师范大学认知神经科学与学习国家重点实验室（Beijing Normal University， State Key Laboratory of Cognitive Neuroscience and Learning）关于静息态功能性核磁共振影像（resting state fMRI， rs-fMRI）数据集中的一部分，三者包含了不同年龄范围的人脑图像扫描数据。

实验中，随机抽取上述三个数据集中共90个样本对象，并根据年龄大小均分成三组（每组30人），各组样本统计数据如表1所示。其中：青年组（young）平均年龄22.8岁，范围为19～30岁;中年组（middle）平均年龄42.6岁，范围为31～53岁;老年组（old）平均年龄61.3岁，范围为54～79岁。并且，表中数据显示任意组别间关于年龄的双样本t校验值（P-value）显示各组年龄在统计学上存在明显差异。

针对上述所有样本的原始扫描数据。本文使用SPM8（Statistical Parametric Mapping）对数据进行预处理，以去除原始扫描数据中的干扰因素，具体处理包括：时间片校正、头动校正、空间标准化、平滑处理和濾波，最终得到用于构建脑功能网络的标准图像数据。

4.2 脑功能网络构建

利用4.1节处理后的fMRI图像数据来构建脑功能网络，构建过程如图2所示。

具体包括如下工作：1）定义节点。使用国际上通用的标准脑区模板——AAL模板对大脑进行区域分割，每个区域表示网络中的一个节点。在这里，AAL模板将大脑划分为90个感兴趣的脑功能区域（Regions Of Interest， ROI），即网络共有90个节点[24]。值得注意的是，AAL模板对脑区划分所采用的方法是通过计算每个脑区所包含的所有体素的血氧水平依赖（Blood Oxygen Level Dependent， BOLD）信号大小，并取其算术平均值来表示一个ROI，即脑区。

2）获取脑区间相关矩阵。完成第1）步后，将原始图像数据划分为90个不同脑区，同时抽取每个脑区中包含的不同皮层的时间序列进行全局信号线性回归分析。事实上，由4.1节得到的fMRI图像数据是利用仪器对大脑皮层区域进行切分扫描获得的有效时间序列。最后利用回归分析得到的平均时间序列计算脑区彼此间的皮尔森相关系数，得到脑区间相关矩阵A，即90×90的矩阵。相关系数的计算如式（16）所示：

3）确定连边。依据表1，选取任意一个年龄组中的单个样本对象。例如，选取young中的单个对象y1，利用第2）步得到y1对应的脑区相关矩阵A。而后，对于矩阵A中的任意元素取值大于0.5的约占20%，而网络整体的边数不宜过多或者过少，否则不便于建模分析。因此，实验中将对象y1对应的矩阵A中的阈值设置为0.5，最后发现网络演化效果最好。此外，如果A中的某个元素大于0.5，其值设为1;否则为0。值为1则表示对应的节点间存在连边。由此得到对称的只包含0和1元素的二元邻接矩阵B，B即代表对象y1所对应的脑功能网络。

利用上述分析与处理，分别对young、middle和old中所有的样本对象构建对应的脑功能网络集合，即为真实网络Young、Middle和Old。

4.3 模型性能评价指标

为了衡量模拟网络与真实网络间的匹配程度，实验中选取了复杂网络理论中最重要的6个拓扑属性作为评价指标，包括：1）聚类系数（clustering coefficient），指某个节点的所有邻居节点间实际存在连边的数目与理论上存在的最多连边数之间的比值，而网络的聚类系数是网络中所有节点聚类系数的平均值。Sala-Llonch等[8]利用复杂网络理论知识研究了不同年龄段的人群的脑功能网络的拓扑结构变化，结果发现网络的聚类系数随着年龄增加发生着动态变化。

2）全局效益（global efficiency），能够衡量网络的并行信息传输能力，是对网络整体信息传输效率的描述。相关研究已经系统分析了脑功能网络的结构变化与全局效益有关[25]。

3）局部效益（local efficiency），能够衡量信息如何通过相邻节点进行高效传播，进而影响网络局部的信息传输效率。

4）特征路径长度（characteristic path length），是复杂网络中的重要属性指标，刻画了网络中某一节点信息到达另一节点的最优路径，影响网络的拓扑结构[26]。

5）模块度（modularity），是一种衡量网络社区结构强度的指标，体现网络功能的区域自治性，是描述脑功能网络的一个重要指标[8，15]。

6）度（degree），是对节点的重要程度描述，反映了网络中所有节点连边的总体情况。此外，度分布（degree distribution）是网络最基本的一个拓扑性质，它是对网络中所有节点度值的概率统计。研究证实度分布曲线满足幂律分布，说明高度节点更有可能形成额外的连边[27]。

本文选取上述六种属性以及网络中的连边数目（edge number）属性作为评价演化模型是否有效的依据。

同时，本文综合考虑了各个拓扑属性指标之间的双样本t检验值取值大小，提出了网络相似指标（SI）值。

其中：PGlob表示模拟网络与真实网络关于全局效益的双样本t检验值;同样地，PC、PEdge、PQ、PEloc和PLen分别表示模拟网络与真实网络关于聚类系数、连边数、模块度、局部效益和特征路径长度的双样本t检验值。

对于不同的网络来说，以上几种属性校验值存在显著差异，因此不能简单地凭借单个属性的好坏来对模型的模拟有效性进行量化分析。而式（17）将所有的网络属性同等对待，由此表明不同的网络属性对于SI值的影响作用是一样的，是对网络的整体进行有效描述。因此，若一个或多个属性的校验值越大，SI值越大，相应表明两个网络之间越相似。

需要注意的地方是，由于使用NBM和CNM得到的模拟网络与对应真实网络间关于度的双样本t检验结果完全一样，实验中没有将网络的度属性应用于式（17），而是通过利用累积度分布（cumulative distribution）和双样本柯尔莫哥洛夫斯摩洛夫（Kolmogorov Smirnov， KS）校验给出相应的研究与分析。

4.4 真实网络拓扑属性分析

表2反映出真实网络彼此之间关于6种拓扑属性，即：特征路径长度Len、全局效率Eglob、平均聚类系数Cc、模块度Q、连边数Enum和局部效益Eloc，并在此基础上得到的网络相似指标SI值。从表2可看出，Young和Old之间在每个网络属性上均有显著性差异（P<0.05），例如聚类系数（0.0049）和特征路径长度（0.0036）;并且Young和Old之间的SI值最小（0.0445），由此说明人衰老过程中，脑功能网络的拓扑属性发生了明显变化。另外，Middle和Young的连边数（0.0028）以及Middle和Old的特征路径长度（0.0218）等属性校验值均显示真实网络彼此之间存在差异，同时发现Middle和Young间的SI值最大（1.0128），表明两者网络间的差异相对较小。

为了进一步分析各拓扑属性与年龄之间的关系，对每个属性值和年龄之间进行回归分析，如图3所示。各子图的曲线反映网络中的属性值与年龄皆线性相关。除了图3（e）、（f）中的模块度和特征路径长度与年龄负相关以外，其他属性与年龄正相关。此外，所有属性值大小都仅在一定取值范围之内发生变化。结合以上论述，可以证实脑功能网络的拓扑结构随着年龄变化的确会产生相应的动态改变。

4.5 NBM和CNM性能对比

表3给出了CNM模拟网络（C-Mid、C-Old）和NBM模拟网络（N-Mid、N-Old）分别与真实网络（Young、Middle、Old）之间的网络相似指标SI值。当初始网络（Young）演化到中年时期时，N-Mid、C-Mid与Young之间关于全局效益、聚类系数等五种拓扑属性存在显著性差异（P<0.05）。随着网络演化过程的推进，C-Old、N-Old与Young间所有属性皆表现出更明显的差异，并且网络间的SI值为0.0019和0.0034。由此说明，实验的演化操作确实会让脑功能网络的拓扑结构发生变化。

另外，C-Mid、N-Mid和Middle之间的6种拓扑属性没有观察到显著差异，属性校验值均大于0.15;并且，N-Old、C-Old和Old之间除聚类系数以外其余网络属性均未发现明显差异。综合分析表3的结果，可以有效驗证NBM和CNM能够在多个拓扑属性上对真实网络进行模拟。

本文定义，利用NBM演化得到中年及老年时期时的模拟网络称为实验组（N-Mid、N-Old）;利用CNM演化得到的模拟网络称为对照组（C-Mid、C-Old）。此外，对比表3中实验组（N-Mid、N-Old）和对照组（C-Mid、C-Old）的所有属性校验值，可以发现N-Mid和N-Old的网络属性校验值更高。具体的，实验组与对应真实网络（Middle、Old）间的模块度属性校验值为0.8346和0.5624，均高于对照组（0.7246， 0.4046）。同样，观察全局效益、聚类系数以及特征路径长度等属性皆有着相同的结论。并且，网络相似性SI值的结果显示，N-Mid与Middle间SI值为4.4794，高于C-Mid与Middle间的SI值（4.1004）;同样，N-Old与Old间的SI值为3.4021，也要更高于C-Old与Old间的SI值（3.0132）。由此证实实验组可以更为确切地反映脑功能网络拓扑属性变化，说明NBM比CNM模拟性能更好，进而验证了NB算法通过量化分析单个节点对拓扑结构相似性的影响，确实对CN算法作了有效改进。

4.6 NBM模拟网络属性分析

为了研究NBM模拟网络的有效性，对比分析了模拟网络（N-Mid、N-Old）与真实网络（Young、Middle、Old）的6种拓扑属性值，结果如图4所示。从图4中的真实网络属性图像可发现，从Young到Old间的属性值呈阶段性上升或下降趋势，这与图3结果相对应。此外，根据文中的网络演化算法，当Young演化到中年时期时，盒式图中的N-Mid所有的网络属性值与Middle非常接近，尤其是全局效益和特征路径长度。而后，随着Young演化到老年时期，N-Old中除了图4（b）中的聚类系数以外，其余子图的属性，具体包括局部效益、连边数、局部效益、模块度以及特征路径长度，它们的取值范围皆达到Old的整体表现。结合上述分析，可以充分说明NBM模拟网络能够准确地预测多个拓扑属性值，即NBM能够对NABFN的拓扑结构变化过程实现有效模拟。

另外，对比图4中实验组（N-Mid、N-Old）和对照组（C-Mid、C-Old）的拓扑属性值可看出，图4（e）和4（f）中N-Mid和N-Old的模块度和特征路径长度属性值更加接近Middle和Old，这与表3的结果相一致。说明由NBM得到的模拟网络（N-Mid、N-Old）能够更接近对应的真实网络。

4.7 不同网络演化算法对比

通过实现随机网络演化算法的具体步骤，最终得到对应的模拟网络，记为Random模拟网络（R-Mid、 R-Old），将其与真实网络（Young、Middle、Old）关于6种拓扑属性进行比较，结果如图5所示。与此同时，对于各网络拓扑属性执行双样本t检验操作，具体检验结果在表4中显示。观察表3～4中的SI值大小，发现Random模拟网络与对应真实网络（Middle、Old）的SI值（1.8920， 1.5912）均低于对应NBM模拟网络的SI值（4.4794， 3.4021）以及CNM模拟网络的SI值（4.1004， 3.0132）。此外，对比图5（f）与图4（f）可看出，图5（f）中R-Mid、R-Old与对应的Middle、Old之间关于特征路径长度属性存在明显差异;并且，两者的校验值（0.0152， 0.0051）均小于0.05也可充分证实该观点。相反地，对于图4（f）中NBM模拟网络（N-Mid、N-Old）却有着良好的预测效果。同样地，对比图5（a）与图4（a）、图5（d）与图4（d），也能看出全局效益和局部效益存在明显差异。综合上述分析，说明本文所提的网络演化算法的模拟性能优于随机网络演化算法。虽然前者的时间复杂度要高于后者的时间复杂度O（N）但是小于O（N2），在这里，N表示网络节点数目（N=90）。但是，若以时间换取算法预测的准确性，可以明显看出前者的准确性更高，并且算法整体的执行时间仍然在可接受的范围内（没有超过O（N2））。

4.8 节点度分布

为了直观地反映出从Young到Old演化过程中NBM、CNM和Random模拟网络（N-Old、C-Old、R-Old）的度属性随年龄的变化情况，使用节点累积度分布的对数形式予以分析，如图6所示。

结果发现，网络的节点度分布满足幂律分布，这与Viol等[27]的研究结果相符合。

此外，從图6中N-Old和C-Old的拟合曲线可看出，N-Old与Old间的拟合曲线更加接近。

利用KS校验Old与N-Old间的平均度，发现校验值证实两者之间没有明显差异（P=0.6648），且该值高于CNM模拟网络的校验值（0.3574）。由此验证，N-Old与Old之间的度分布更为接近，即整体的节点连边情况相近似。说明与C-Old相比，N-Old能够更为准确地模拟出NABFN节点连边的整体变化趋势。此外，观察N-Old、C-Old与R-Old三者的拟合曲线， 可看出N-Old、Old显然更接近于Old，由此说明文中所提算法比随机网络演化算法模拟性能更优。

5 结语

本文基于朴素贝叶斯（NB）的链路预测算法和解剖距离提出一种网络演化模型（NBM）来发掘NABFN节点连边的变化规律，并对该变化进行模拟。研究首先发现了真实网络的拓扑属性与年龄线性相关的规律。而后，NBM利用网络演化算法逐步得到中年及老年时期的模拟网络。最后，模拟网络与对应真实网络间关于聚类系数、模块度等七种拓扑属性的校验结果表明，NBM与CNM相比，能够更为精确地模拟NABFN拓扑结构的变化过程。同时，实验结果也证实所提算法的模拟效果比随机网络演化算法更好。这一研究成果为解决传统研究技术在大尺度时间范围内无法预测脑网动态结构变化的问题，提供了一个通过网络建模的分析视角来模拟这一变化过程，为将来人类探索人脑的正常衰老机制与认知能力的关系提供了重要的理论依据。然而，本文还有需要改进和完善的地方。真实的人脑功能区域连接会随着年龄变化发生丢失，而实验中仅通过持续地向网络中添加节点连边来模拟NABFN的拓扑结构变化。因此，未来的研究可以考虑同时添加和去除定量的节点间的连边来实现更好的模拟效果。

参考文献（References）

[1] BASSETT D S， SPORNS O. Network neuroscience [J]. Nature Neuroscience， 2017， 20（3）： 353.

[2] TATE M C， HERBET G， MOTITZ-GASSER S， et al. Probabilistic map of critical functional regions of the human cerebral cortex： Brocas area revisited [J]. Brain， 2014， 137（10）： 2773-2782.

[3] SIMAN-TOV T， BOSAK N， SPRECHER E， et al. Early age-related functional connectivity decline in high-order cognitive networks [J]. Frontiers in Aging Neuroscience， 2017， 8： 330.

[4] ZHUANG J， MADDEN D J， DUONG-FERNANDEZ X， et al. Language processing in age-related macular degeneration associated with unique functional connectivity signatures in the right hemisphere [J]. Neurobiology of Aging， 2018， 63： 65-74.

[5] CABEZA R， ALBERT M， BELLEVILLE S， et al. Maintenance， reserve and compensation： the cognitive neuroscience of healthy ageing [J]. Nature Reviews Neuroscience， 2018： 19： 701-710.

[6] HOFFMAN P， MORCOM A M. Age-related changes in the neural networks supporting semantic cognition： a meta-analysis of 47 functional neuroimaging studies [J]. Neuroscience & Biobehavioral Reviews， 2018， 84： 134-150.

[7] TAYLOR J R， WILLIAMS N， CUSACK R， et al. The Cambridge Centre for Ageing and Neuroscience （Cam-CAN） data repository： structural and functional MRI， MEG， and cognitive data from a cross-sectional adult lifespan sample [J]. NeuroImage， 2017， 144： 262-269.

[8] SALA-LLONCH R， JUNQUE C， ARENAZA-URQUIJO E M， et al. Changes in whole-brain functional networks and memory performance in aging [J]. Neurobiology of Aging， 2014， 35（10）： 2193-2202.

[9] GEERLIGS L， RENKEN R J， SALIASI E， et al. A brain-wide study of age-related changes in functional connectivity [J]. Cerebral Cortex， 2014， 25（7）： 1987-1999.

[10] CAO M， WANG J H， DAI Z J， et al. Topological organization of the human brain functional connectome across the lifespan [J]. Developmental Cognitive Neuroscience， 2014， 7： 76-93.

[11] SHAKIBIAN H， CHARKARI N M. Mutual information model for link prediction in heterogeneous complex networks [J]. Scientific Reports， 2017， 7： 44981.

[12] WU J， ZHANG G， REN Y. A balanced modularity maximization link prediction model in social networks [J]. Information Processing & Management， 2017， 53（1）： 295-307.

[13] KAISER M， HILGETAG C C. Modelling the development of cortical networks [J]. Neurocomputing， 2004， 58（3）： 297-302.

[14] CANNISTRACI C V， ALANIS-LOBATO G， RAVASI T. From link-prediction in brain connectomes and protein interactomes to the local-community-paradigm in complex networks [J]. Scientific Reports， 2013， 3： 1613.

[15] 王艷群， 李海芳， 郭浩， 等.静息态脑功能网络的社团结构研究[J]. 计算机应用， 2012， 32（7）： 2044-2048. （WANG Y Q， LI H F， GUO H， et al. Research into community structure of resting-state brain functional network [J]. Journal of Computer Applications， 2012， 32（7）： 2044-2048.）

[16] YANG Y L， GUO H， TIAN T， et al. Link prediction in brain networks based on a hierarchical random graph model [J]. Tsinghua Science and Technology， 2015， 20（3）： 306-315.

[17] LI Y P， QIN Y， CHEN X， et al. Exploring the functional brain network of Alzheimers disease： based on the computational experiment [J]. PLoS One， 2013， 8（9）： e73186.

[18] SULAIMANY S， KHANSARI M， ZARRINEH P， et al. Predicting brain network changes in Alzheimers disease with link prediction algorithms [J]. Molecular BioSystems， 2017， 13（4）： 725-735.

[19] VERTES P E， ALEXANDER-BLOCH A F， GOGTAY N， et al. Simple models of human brain functional networks [J]. Proceedings of the National Academy of Sciences， 2012， 109（15）： 5868-5873.

[20] BETZEL R F， AVENA-KOENIGSBERGER A， GONI J， et al. Generative models of the human connectome [J]. NeuroImage， 2016， 124： 1054-1064.

[21] VALVERDE-REBAZA J， VALEIO A， BERTON L， et al. A Nave Bayes model based on overlapping groups for link prediction in online social networks [C]// Proceedings of the 30th Annual ACM Symposium on Applied Computing. New York： ACM， 2015： 1136-1141.

[22] HEIBERGER R H. Predicting economic growth with stock net-works [J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2018， 489： 102-111.

[23] WU J H， ZHANG G J， REN Y Z， et al. Weighted local Naive Bayes link prediction [J]. Journal of Information Processing Systems， 2017， 13（4）： 914-927.

[24] TZOURIO-MAZOYER N， LANDEAU B， PAPATHANASSIOU D， et al. Automated anatomical labeling of activations in SPM using a macroscopic anatomical parcellation of the MNI MRI single-subject brain [J]. NeuroImage， 2002， 15（1）： 273-289.

[25] PASQUALE F D， PENNA S D， SPORNS O， et al. A dynamic core network and global efficiency in the resting human brain [J]. Cerebral Cortex， 2016， 26（10）： 4015-4033.

[26] PUETZ V B， PARKER D， KOHN N， et al. Altered brain network integrity after childhood maltreatment： a structural connectomic DTI-study [J]. Human Brain Mapping， 2017， 38（2）： 855-868.

[27] VIOL A， PALHANO-FONTES F， ONIAS H， et al. Characterizing complex networks using entropy-degree diagrams： unveiling changes in functional brain connectivity induced by Ayahuasca [EB/OL]. [2018-09-30]. https：//arxiv.org/pdf/1809.10301.