基于毕达哥拉斯模糊Frank算子的多属性决策方法

彭定洪 杨扬

摘 要：针对毕达哥拉斯模糊环境下的多属性决策问题，提出一种基于毕达哥拉斯模糊Frank算子的多属性决策方法。首先将毕达哥拉斯模糊数和Frank算子相结合，给出了基于Frank算子的运算法则;然后提出了毕达哥拉斯模糊Frank算子，包括毕达哥拉斯模糊Frank加权平均算子和毕达哥拉斯模糊Frank加权几何算子，并讨论了这些算子的性质;最后提出了基于毕达哥拉斯模糊Frank算子的多属性决策方法，将该方法应用于绿色供应商的选择中。实例分析表明，运用该方法可以解决实际的多属性决策问题，并可以进一步应用到风险管理、人工智能等领域。

关键词：毕达哥拉斯模糊数;Frank算子;多属性决策;集结算子

中图分类号： TP18; TP391

文献标志码：A

Abstract： To solve the multi-attribute decision making problems in Pythagorean fuzzy environment， a multi-attribute decision making method based on Pythagorean fuzzy Frank operator was proposed. Firstly， Pythagorean fuzzy number and Frank operator were combined to obtain the operation rule based on Frank operator. Then the Pythagorean fuzzy Frank operator was proposed， including Pythagorean fuzzy Frank weighted average operator and Pythagorean fuzzy Frank weighted geometric operator， and the properties of these operators were discussed. Finally， a multi-attribute decision making method based on Pythagorean fuzzy Frank operator was proposed， which was applied to an example of green supplier selection. The example analysis shows that the proposed method can be used to solve the actual multi-attribute decision making problems， and can be further applied to areas such as risk management and artificial intelligence.

Key words： Pythagorean fuzzy number; Frank operator; multi-attribute decision making; aggregation operator

0 引言

1965年自Zadeh[1]第一次提出模糊集以来，模糊集理论便受到了众多学者的关注，也得到了迅速的发展，广泛应用于社会生产生活的各个方面。随着社会经济的不断发展，客观世界也变得越来越复杂，为了更准确地表达并解释现实世界的问题，众多学者发展并拓展了模糊集的形式，包括区间模糊集[2]、犹豫模糊集[3]、直觉模糊集[4]、区间直觉模糊集[5]等。其中直觉模糊集理论由Atanassov[4]于1986年提出，是对经典 Zadeh模糊集理论最为重要的拓展之一。直觉模糊集用隶属度、非隶属度和犹豫度来详细地刻画现实问题，其理论和应用研究在模糊集领域取得了丰硕的成果，但在直觉模糊环境进行决策时，要求专家给出的评价值的隶属度和非隶属度之和小于1，但现实情况往往并非完全满足，因此，Yager[6]对直觉模糊集进行拓展，提出了毕达哥拉斯模糊集，满足隶属度和非隶属度之和大于1，但其平方和不超过1，使得决策者在决策过程中不必重新修改直觉模糊决策值也可以进行决策。自从毕达哥拉斯模糊集被提出以来，众多学者也对其进行了研究，成为了国内外模糊集研究热点之一。在多属性决策问题中，集成算子是众多决策方法的基础，因此在毕达哥拉斯模糊环境下，集成算子的研究也显得尤为重要，如Wei等[7]提出了毕达哥拉斯模糊幂集成算子，包括：毕达哥拉斯模糊幂平均算子、毕达哥拉斯模糊幂几何算子、毕达哥拉斯模糊幂加权平均算子、毕达哥拉斯模糊幂加权几何算子、毕达哥拉斯模糊幂有序加权平均算子、毕达哥拉斯模糊幂有序加权几何算子、毕达哥拉斯模糊幂混合平均算子以及毕达哥拉斯模糊幂混合几何算子，将其应用于多属性决策中;Zhang等[8]提出了广义毕达哥拉斯模糊Bonferroni 平均算子和广义毕达哥拉斯模糊Bonferroni 几何平均算子;刘卫锋等[9]提出了毕达哥拉斯模糊交叉集成算子，包括毕达哥拉斯模糊交叉加权平均算子和毕达哥拉斯模糊交叉加权几何算子;Garg[10]基于爱因斯坦T模，提出了畢达哥拉斯模糊爱因斯坦加权平均（Pythagorean Fuzzy Einstein Weighted Averaging， PFEWA）算子，毕达哥拉斯模糊爱因斯坦有序加权平均（Pythagorean Fuzzy Einstein Ordered Weighted Averaging， PFEOWA）算子，广义毕达哥拉斯模糊爱因斯坦加权平均（Generalized Pythagoras Fuzzy Einstein Weighted Averaging， GPFEWA）算子和广义毕达哥拉斯模糊爱因斯坦有序加权平均（Generalized Pythagoras Fuzzy Einstein Ordered Weighted Averaging， GPFEOWA）算子;Wei等[11]基于Hamacher T-norm和T-conorm提出了毕达哥拉斯犹豫模糊Hamacher加权平均算子和毕达哥拉斯犹豫模糊Hamacher加权几何算子。通过以上研究梳理可知，上述算子的运算法则基于代数T-norm和代数T-conorm、爱因斯坦T-norm和爱因斯坦T-conorm以及Hamacher T-norm和T-conorm，但这些代数运算法则缺乏一定的灵活性和鲁棒性，而Frank T-norm和Frank T-conorm可以克服其缺陷，因为Frank T-norm和Frank T-conorm具有一般的T-norm和T-conorm的特征，涵盖了代数T-norm和代数T-conorm、爱因斯坦T-norm和爱因斯坦T-conorm以及Hamacher T-norm和T-conorm，是唯一满足兼容性法则的一类T-norm。