变截面爆炸成型弹丸垂直侵彻装甲钢板靶后破片质量模型*

邢柏阳，刘荣忠，张东江，陈 亮，侯云辉，郭 锐

（1. 南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094；2. 西安现代控制技术研究所，陕西 西安 710065）

爆炸成型弹丸（explosively-formed projectile，EFP）在侵彻装甲后形成的破片会对装甲内部人员和仪器造成毁伤[1-2]，因此通过靶板厚度和EFP着靶速度预测靶后破片质量、数量以及速度分布特性对EFP靶后毁伤效应评估、工程防护与设计具有重要意义。而准确计算EFP垂直侵彻有限厚装甲钢板时靶板和EFP产生的靶后破片质量，是预测上述分布特性的重要基础。

在侵彻问题中，Alekseevskii[3]和Tate[4-7]所建立的A-T模型取得了很好的效果，很多学者对此模型进行了改进和发展[8-13]，但所涉及侵彻体的主体部分都是细长等截面圆柱杆，没有考虑小长径比和变截面的情况。文献[3-9] 在研究长杆弹侵彻问题时忽略了蘑菇头轴向长度对侵彻过程的影响；文献[14-15] 在研究EFP侵彻问题时忽略了蘑菇头轴向长度对侵彻过程的影响；文献[15] 在研究EFP垂直侵彻RHA（rolled homogenous armour）靶板时，忽略了EFP的强度，直接套用了射流的扩孔模型：这些都是与实际情况不符的。目前对于靶后效应的理论研究均是基于侵彻体的主体部分是细长等截面圆柱杆的情况[2,16]，对于EFP靶后效应的研究多集中在仿真和试验方面[17-19]，而在EFP靶后效应的理论研究中均未考虑EFP变截面的特性[1,14-15]。EFP主要用于末敏弹的战斗部，这类EFP具有变截面的特性，因此不能直接套用主体部分是细长等截面圆柱杆的侵彻理论；由于其长径比小，因此不能忽略蘑菇头轴向长度对侵彻过程的影响；由于其头部形状不规则，因此在侵彻有限厚钢靶板后产生的冲塞体形状不确定；由于其炸高很大（可达1 000倍装药直径），因此不能像射流一样忽略其强度。基于上述原因，使得利用现有的理论计算EFP垂直侵彻有限厚装甲钢板时靶板和EFP产生的靶后破片质量将会带来较大的偏差。

因此，本文将在考虑了EFP蘑菇头轴向长度、EFP强度的基础上，对冲塞体形状进行假设，并运用理论的方法分别分析考虑和不考虑EFP变截面的特性时，靶板和EFP产生的靶后破片质量。本文将借助文献[20] 中的的试验数据验证理论分析中的关键参量，借助文献[18-19] 中的的试验数据验证仿真方法的可信性，并利用此仿真方法对某典型EFP垂直侵彻装甲钢板时靶板和EFP产生的靶后破片质量进行计算，利用所得的仿真结果分析和判断EFP变截面的特性对靶板和EFP产生的靶后破片质量的影响。

1 质量模型

1.1 基本假设

冲塞体是当EFP侵彻有限厚靶板到一定深度时，在靶板背面形成的一个内部布满裂纹的金属块[16]，部分消蚀的EFP内部也布满裂纹。冲塞体和部分消蚀的EFP内部的裂纹会随着侵彻的进行，逐渐延伸扩展，当侵彻完成，冲塞体和部分消蚀的EFP将在靶板后形成若干碎块，即为靶板和EFP产生的靶后破片。为了简化侵彻过程，本文中做如下假设：（1）EFP开坑阶段所需的时间短、消耗的能量少，因此不计EFP开坑对侵彻过程的影响。（2）初始扩孔的轴向压力与径向压力相等，径向压力与扩孔面积成反比。（3）针对本文所涉及的EFP垂直侵彻装甲钢板的情况，假设冲塞体为圆台且母线与底面夹角45°。理由是：Backman等[21]指出脆性靶板产生靶后破片时靶后出孔较大呈喇叭状；Yarin等[16]在研究钨合金长杆弹侵彻装甲板时在其理论中指出靶后出孔较大呈喇叭状；Arnold等[22]和Dalzell等[17]分别运用仿真的方法发现射流和EFP垂直侵彻装甲板时靶后出孔较大呈喇叭状；王昕等[18]、李睿等[15]在运用试验的方法研究EFP垂直侵彻装甲板时发现侵彻出孔呈锥形，外侧直径较大；张先锋等[14]在研究EFP对有限厚靶板侵彻过程及后效中认为冲塞崩落块为圆台且母线与底面夹角45°。

1.2 变截面EFP对装甲钢板的侵彻模型

邢柏阳等[23]、Xing等[24]在之前的研究中发现，密实结构EFP具有旋转对称的特性，可以用任意通过其旋转轴的截面表示其形状。本文中根据某典型EFP的激光高速照相测量结果（如图1上半部分所示），绘制了EFP垂直侵彻装甲钢板的过程示意图，如图2所示，H0为靶板厚度，H为EFP未消蚀部分和消蚀部分交界面距离靶板底面的距离，R表示侵彻孔（蘑菇头）半径，u为EFP的侵彻速度，v表示EFP未消蚀部分的速度，r为EFP未消蚀部分和消蚀部分交界面处的EFP截面半径，l为EFP未消蚀部分和消蚀部分交界面距离EFP尾部的距离，P为EFP的侵彻深度。

图1 某典型爆炸成型弹丸的形状Fig. 1 The shape of a certain typical explosively-formed projectile

图2 爆炸成型弹丸（EFP）垂直侵彻靶板的过程Fig. 2 The process of an explosively-formed projectile (EFP)normally penetrating into a target

由于EFP具有变截面的特性且没有函数表达式可以描述其横截面半径与其轴向位置的对应关系，因此只能根据EFP的激光高速照相测量结果获取横截面半径（ri）与其轴向位置（li）关系的离散点数据，记为r（li），l为 EFP 未消蚀部分的长度，由于离散点的数量足够大，因此可以认为dl=li+1-li，结合牛顿第二定律，可知EFP未消蚀部分的减速度满足以下关系，

式中：i为自某典型EFP尾部起的离散点序号，由于EFP具有变截面的特性，使得没有函数表达式可以描述其横截面半径与其轴向位置的对应关系，因此通过对激光高速照相图像识别而获得离散点；li为第i个离散点处与某典型EFP尾部的距离；ri为某典型EFP的li处外轮廓横截面半径；dl为某典型EFP上任意两个离散间的距离，i足够大为侵彻时间，从t=0时刻开始侵彻；ρp为EFP的密度；Yp为EFP的强度因子。

不考虑EFP变截面的特性时，即认为EFP轴上所有位置处的横截面半径均相同，其值为前述所有离散点横截面半径（ri）的平均值：

式中：k为离散点的数量。此时EFP未消蚀部分的减速度关系即为A-T模型[3-7]中的减速度关系：

考虑和不考虑EFP变截面的特性时，EFP的消蚀速度、侵彻速度均满足A-T模型[3-7]：

式中：vcr为临界侵彻速度。当v＞vcr时，EFP可以侵彻靶板；当v≤vcr时，EFP停止侵彻靶板。

分析图2中的受力关系，得到EFP对靶板的轴向作用力满足：

由假设（2）可以得到初始扩孔的径向压力p0、侵彻过程中扩孔的径向压力p与扩孔半径的关系：

式中：u0为t=0时刻的侵彻速度，v0为EFP着靶速度，r为EFP消蚀部分和未消蚀部分交界面处的横截面半径。可以发现，r是影响EFP-靶板交界面处压力的关键因素。另外，r的取值视情况而定，当考虑EFP变截面的特性时取ri，当不考虑EFP变截面的特性时取，后文中r的取值规则与此相同。

侵彻过程中扩孔的径向压力可以使用含有靶板强度因子的流体力学Bernoulli方程得到:

由式（9）～（11）可以得到扩孔速度：

由式（12）可以发现，扩孔速度与R负相关，与r和v0正相关。当考虑EFP变截面的特性时，随着侵彻进行：结合图1可以发现r先快速增大再缓慢变化，然后又快速增大，再缓慢变化；结合式（12）可知R先快速增大（bI阶段），再缓慢增大（bII阶段，R≈RbII（常数）），然后又快速增大（bIII阶段），再缓慢增大（bIV阶段）。当不考虑EFP变截面的特性时，随着侵彻的进行，r恒为定值，由于扩孔速度恒为正值，但r/R的值逐渐减小，因此R先快速增大（dI阶段），然后一直保持缓慢增大（dII阶段，R≈RdII（常数）），理论分析并计算可得RbII≈RdII。

1.3 靶板和EFP产生的靶后破片质量

冲塞体形成时刻tc的各参数关系如图3所示，网格表示冲塞体内部的碎块，Hc为冲塞体高度，Rc为冲塞体形成时刻的侵彻孔（蘑菇头）半径，uc为冲塞体形成时刻的EFP的侵彻速度，vc为冲塞体形成时刻的EFP未消蚀部分的速度，rc为冲塞体形成时刻的EFP未消蚀部分和消蚀部分交界面处的EFP截面半径，lc为冲塞体形成时刻的EFP未消蚀部分和消蚀部分交界面距离EFP尾部的距离，Pc为冲塞体形成时刻的EFP的侵彻深度。

图3 冲塞体形成时刻Fig. 3 Forming time of a plug

根据假设（3），冲塞体为圆台且母线与底面夹角45°，因此冲塞体形成时受到的轴向剪切力如式（13）左边所示，此时其值与EFP对靶板轴向的作用力相等，如式（13）右边所示，即：

式中：τmax为靶板的最大剪切强度。τmax的计算方法如下：

式中：τ0为γ=1时材料的剪切强度；n为材料的应变硬化指数；q和为材料的应变率敏感指数；α为应力的温度软化系数；CV为材料的定容比热容；β为塑形功转化为热量的比例系数（Taylor-Quinney系数[25]）；为剪应变；为平均剪应变率。

式（12）～（13）表明：r可以影响冲塞体形成时刻的侵彻孔（蘑菇头）半径（Rc），并进一步影响冲塞体形成时刻的冲塞体高度（Hc）。

考虑EFP蘑菇头轴向方向的长度对侵彻过程的影响，有如下关系：

式（17）～（18）表明r将会影响冲塞体形成时刻的侵彻深度（Pc），并最终决定冲塞体的形成时刻（tc）。因此冲塞体质量，即靶板产生的靶后破片质量，满足以下关系：

由式（13）和（19）可以得到：

在本文讨论的靶板厚度（30 mm≤H0≤70 mm）和EFP着靶速度（1 650 m/s≤v0≤1 860 m/s）范围内，f（uc）＞0恒成立，因此mt与Rc总是呈正相关，并且当Rc变化幅度较大时，Rc是影响mt的主要因素；当Rc变化幅度较小时，uc是影响mt的主要因素。

冲塞体形成时EFP总的剩余质量即为EFP产生的靶后破片质量，即：

基于上述理论分析可以发现，r通过影响扩孔速度，进而影响冲塞体形成时刻的各个参量（Rc、Hc、Pc、tc等），最终影响靶板和EFP产生的靶后破片质量。本文将基于某典型EFP，对不同靶板厚度和EFP着靶速度条件下，考虑和不考虑EFP变截面的特性时，所得的靶板和EFP产生的靶后破片质量与仿真结果的偏差，进行分析和比较，具体地验证改进后的模型可以减小与实际情况的偏差。

2 模型验证

2.1 侵彻孔半径模型验证

Yarin等[16]在通过试验研究钨合金长杆弹侵彻装甲板时发现，在统计靶板的质量损失时结果波动很大，接近30%，因此本文中将利用试验中可以稳定测量的参数验证力学模型的准确性。由于Held等[20]在侵彻孔半径模型方面所做的工作非常经典，并且射流侵彻水介质和EFP侵彻装甲钢都属于侵彻体强度小于靶板强度的模式，因此将文献[20] 中的初始条件代入式（12）中，得到的侵彻孔半径（R）随侵彻时间（t）的变化曲线如图4中的红线所示，黑点为Held等[20]的理论结果。

由图4可以发现，利用本文理论模型所得的侵彻孔半径（R）随侵彻时间（t）的变化关系与Held等[20]的理论结果十分吻合，表明本文理论模型具有较高的准确性。

图4 侵彻孔半径随时间变化关系Fig. 4 The time history of the crater radius

2.2 仿真模型验证

Dalzell等[17]采用AUTODYN-3DTM对EFP侵彻靶板形成破片云的过程进行了数值模拟，指出SPH（smoothed particle hydrodynamics）算法较Lagrange算法和Euler算法在研究靶后破片方面更具优势。在试验中所统计的靶板质量损失波动很大[16]，并且，经常发现靶板和EFP产生的靶后破片会粘结在一起。因此，本文首先利用试验中可以稳定测量的结果[18-19]验证本文仿真方法的可信性，进而利用得到验证的仿真方法对某典型EFP进行仿真计算，验证理论模型所得的、但在试验统计中波动较大的结果。

本文使用AUTODYN-3DTM的SPH算法，仿真模型中EFP和靶板的材料种类、状态方程以及本构方程取自文献[19,26] 。文献[18-19] 的试验中，EFP战斗部由药型罩、主装药、传爆药、壳体组成，其装药直径（D）为56 mm，药型罩为壁厚3 mm的球缺形紫铜罩，装药为长径比0.86的压装JH-2，壳体厚度为0.045D。EFP垂直侵彻厚度为20 mm的45钢板，EFP的形状、尺寸如图5下半部分的X光照片所示，试验中测得EFP着靶速度为2 120 m/s，45钢板的长、宽均为200 mm。在仿真中构建与文献[18-19] 的试验中完全一致的初始条件，仿真中EFP的形状、尺寸如图5上半部分所示，并对靶板边界施加固定约束，EFP侵彻45钢板前的仿真模型如图6所示。

图5 依据文献[18-19] 构建的EFP模型Fig. 5 The EFP model developed according to references [18-19]

图6 依据文献[18-19] 构建的仿真模型Fig. 6 The simulation model developed by according to references [18-19]

仿真所得侵彻80 µs和95 µs时的靶后破片云形状如图7（a）、（b）上半部分所示，文献 [18] 中给出的相应时刻的X光照片如图7（a）、（b）下半部分所示，对比发现仿真所得的靶后破片云图和文献[18] 中试验所得的X光照片非常吻合。另外，仿真所得侵彻95 µs时的靶后破片云径向膨胀速度vJ=531 m/s,靶后破片云头部膨胀速度vT=1 690 m/s与文献[18] 中的试验结果vJ=525 m/s，vT=1 678 m/s的误差不超过2%，表明本文所用的仿真方法是可信的。

图7 本文仿真所得的靶后破片云与文献[18] 的对比Fig. 7 Behind-armor debris clouds obtained by this paper compared with that in reference [18]

3 对比分析

图1中某典型EFP战斗部装药直径（D）为125 mm，装药长度为0.84D，药型罩为壁厚0.064D的球缺形紫铜罩，主装药、传爆药均为8701，周侧壳体厚度为0.048D，底部壳体厚度为0.12D，由西安现代控制技术研究所设计并由辽沈工业集团有限公司生产。某典型EFP的最大半径为28.5 mm，最大长度为98 mm，其形状及尺寸均在图1中标明，其激光高速照相测量结果如图1上半部分所示，其仿真中的模型如图1下半部分所示，并对靶板边界施加固定约束。使用上述仿真方法计算某典型EFP以着靶速度1 650 m/s垂直侵彻厚度为70 mm的装甲钢板，仿真得到图8所示的靶板出孔形状，其中黑色虚线表示靶板出孔侧面，黄色虚线表示冲塞体形成前EFP的侵彻路径，可以发现，靶板出孔与靶板底面夹角接近45°，与文献[14-18,21-22] 比较吻合，因此假设（2）是具有可信性的。

图8 某典型EFP垂直侵彻靶板的出孔形状(单位：mm)Fig. 8 The exit hole shape of a target normally penetrated by a certain typical EFP (unit in mm)

质量模型中的参数全部取自文献[7,13,19,25-26] ，Yp和Rt的计算方法由文献[7] 给出，主要参数为：τ0=0.907 GPa，n=0.25，=8.0×107s-1，q=7.33，α=6.8×10-4，β=0.9，CV=452 J/（kg·K），靶板的杨氏模量Et=210 GPa，Tate给出的计算Yp时的系数λ=0.7，ρp=8.93 g/cm3，ρt=7.85 g/cm3。

3.1 靶板厚度对靶后破片质量的影响

由式（19）和（21）可以发现，冲塞体的形状参数直接决定了靶板产生的靶后破片质量，间接影响了EFP产生的靶后破片质量。由式（18）可以发现，冲塞体的形状参数与靶板厚度密切相关，因此靶板厚度是影响靶后破片质量的主要因素之一。在某典型EFP着靶速度为1 650 m/s的情况下，垂直侵彻厚度为30、40、50、60、70 mm的装甲钢板，靶板和EFP产生的靶后破片质量如图9所示。

图9 不同靶板厚度条件下的靶后破片质量Fig. 9 Mass of behind-armor debris for different thicknesses of targets

通过编写MatlabTM程序进行图像识别，读取某典型EFP的激光高速照相测量结果（如图7上半部分所示），辨识其边界点，从而获取横截面半径与其轴向位置关系的离散点数据，对式（20）和（21）进行数值求解，可以得到考虑EFP变截面的特性时靶板和EFP产生的靶后破片质量，分别记为mt，bjm、mp，bjm。利用所得的离散点数据以及式（2），求出r'=16.23 mm，对式（20）和（21）进行数值求解，可以得到不考虑EFP变截面的特性时靶板和EFP产生的靶后破片质量，分别记为mt，djm、mp，djm。使用本文仿真方法所得的靶板和 EFP 产生的靶后破片质量，分别记为mt，sim、mp，sim。

由图9可以发现，相比于不考虑EFP变截面特性的结果，考虑EFP变截面特性的结果与仿真结果更吻合，能够更加准确地解释靶板和EFP产生的靶后破片质量随靶板厚度的变化规律。

考虑EFP变截面的特性时，随着靶板厚度的增大，侵彻时间不断增长，在本节研究的靶板厚度范围内Rc逐渐由bII阶段过渡到bIII阶段，最后进入bIV阶段。由于bIII阶段Rc快速增大，由理论分析可知，此时Rc是影响mt的主要因素，结合式（20）可知靶板产生的靶后破片质量先基本不变，然后快速增加，最后缓慢增加。随着靶板厚度的增大，EFP的消蚀长度不断增大，因此EFP产生的靶后破片质量不断减小。

不考虑EFP变截面的特性时，由理论分析并计算可得RbII≈RdII，并且在本节研究的靶板厚度范围内Rc始终处于dII阶段，因此对于厚度较小的靶板，考虑与不考虑EFP变截面所得的靶板产生的靶后破片质量接近；但随着靶板厚度的增大，考虑EFP变截面的Rc开始快速超过不考虑EFP变截面的Rc，因此考虑与不考虑EFP变截面所得的靶板产生的靶后破片质量差不断增大。由于此时Rc的变化极其缓慢，由理论分析可知，uc是影响mt的主要因素，随着靶板厚度的增大，uc不断减小，但由于uc对mt的影响比较小，因此不考虑EFP变截面的特性时，靶板产生的靶后破片质量缓慢减小。由于不考虑EFP变截面时EFP的头部质量大于考虑EFP变截面时EFP的头部质量，这使得在侵彻开始阶段不考虑EFP变截面时EFP损失的质量较大，因此不考虑EFP变截面所得的EFP产生的靶后破片质量总是小于考虑EFP变截面所得的结果。

计算以上5种工况条件下，考虑和不考虑EFP变截面的特性时，所得的靶板和EFP产生的靶后破片质量与仿真结果的偏差，如表1所示。举例，考虑EFP变截面的特性时所得的靶板产生的靶后破片质量与仿真结果的偏差的具体计算方法为：εt，bjm=|（mt，bjm-mt，sim）/mt，sim|×100%，另外 3 个偏差的计算方法与此类似。

表1 不同靶板厚度条件下靶后破片质量的偏差Table 1 Mass deviations of behind-armor debris for different thicknesses of targets

由表1可以发现，考虑EFP变截面的特性时所得的靶板和EFP产生的靶后破片质量与仿真结果的偏差，均明显小于相同靶板厚度条件下不考虑EFP变截面的特性时所得的靶板和EFP产生的靶后破片质量与仿真结果的偏差，并且，随着靶板厚度的增大，EFP变截面的特性对靶板和EFP产生靶后破片质量的影响不断增强。表明，相比于改进前的模型，改进后的模型能够更准确地解释靶板和EFP产生的靶后破片质量随靶板厚度的变化规律。

3.2 EFP着靶速度对靶后破片质量的影响

由式（12）可以发现，EFP着靶速度对扩孔速度有显著的影响，而扩孔速度与冲塞体形成的临界条件密切相关，因此EFP着靶速度是影响靶后破片质量的主要因素之一。在装甲钢板厚度为40 mm的情况下，某典型EFP分别以1 650、1 680、1 740、1 800、1 860 m/s的着靶速度进行垂直侵彻，靶板和EFP产生的靶后破片质量如图10所示。

由图10可以发现，相比于不考虑EFP变截面特性的结果，考虑EFP变截面特性的结果与仿真结果更吻合，能够更准确地解释靶板和EFP产生的靶后破片质量随EFP着靶速度的变化规律。

考虑EFP变截面的特性时，由于靶板厚度固定为40 mm，当EFP着靶速度为1 650 m/s时，侵彻时间最长，但是由3.1节中的分析可知，此时的Rc处于bII阶段，即Rc缓慢增大，此时影响Rc的主要因素是EFP的着靶速度，次要因素是侵彻时间。因此在本节研究的EFP着靶速度范围内，随着EFP着靶速度的增高，Rc不断增大，同时uc不断增大，结合式（20）可知靶板产生的靶后破片质量不断增大。由于侵彻时间不断减短，因此EFP的消蚀长度不断减小，因此EFP的剩余长度不断增大，使得EFP产生的靶后破片质量不断增加。

图10 不同EFP着靶速度条件下的靶后破片质量Fig. 10 Mass of behind-armor debris for different impact velocities of EFPs

同理，不考虑EFP变截面的特性时，此时的Rc处于dII阶段，影响Rc的主要因素是EFP的着靶速度。因此在本节研究的EFP着靶速度范围内，随着EFP着靶速度的增高，靶板产生的靶后破片质量不断增大。由于侵彻时间不断减短，使得EFP产生的靶后破片质量不断增加。

计算以上5种工况条件下，考虑和不考虑EFP变截面的特性时，所得的靶板和EFP产生的靶后破片质量与仿真结果的偏差，如表2所示。

由表2可以发现：考虑EFP变截面的特性时，所得的靶板和EFP产生的靶后破片质量与仿真结果的偏差，均明显小于相同EFP着靶速度条件下不考虑EFP变截面的特性时所得的靶板和EFP产生的靶后破片质量与仿真结果的偏差；并且，随着EFP着靶速度的提高，EFP变截面的特性对靶板和EFP产生靶后破片质量的影响不断减弱，当EFP着靶速度达到1 860 m/s时，考虑和不考虑EFP变截面的特性所得的靶板产生的靶后破片质量十分接近。表明，相比于改进前的模型，改进后的模型能够更准确地解释靶板和EFP产生的靶后破片质量随EFP着靶速度的变化规律。

4 结 论

本文中建立了变截面爆炸成型弹丸（explosively-formed projectile，EFP）垂直侵彻装甲钢板靶后破片质量模型，并得到以下结论：（1）相比于改进前的模型，改进后的模型能够更准确地解释靶板和EFP产生的靶后破片质量随靶板厚度和EFP着靶速度的变化规律，可以减小与实际情况的偏差；（2）当EFP着靶速度为1 650 m/s时，随着靶板厚度从30 mm增大到70 mm，靶板产生的靶后破片质量先保持基本不变，然后快速增大，再缓慢增大，EFP产生的靶后破片质量不断减小，EFP变截面的特性对靶板和EFP产生靶后破片质量的影响不断增强；（3）当靶板厚度为40 mm时，随着EFP着靶速度从1 650 m/s提高到1 860 m/s，靶板和EFP产生的靶后破片质量均不断增大，EFP变截面的特性对靶板和EFP产生靶后破片质量的影响不断减弱。