基于MATLAB的汽轮发电机组次同步谐振数字仿真

王彦美，张爱兰

（1.广东电网有限责任公司湛江供电局，广东 湛江524000；2.国网济南供电公司，山东 济南250012）

0 引言

为了保证电力系统安全、优质、经济的运行，在规划、分析和研究电力系统时必须确切完整地考察实际电力系统的特性［1］。在高压、远距离输电线路采用串联电容补偿后，当系统在某种运行方式或补偿度下，由于输电系统的电气与汽轮发电机组的机械系统之间存在发生次同步谐振的情况，严重时会破坏发电机组轴系［2］。工程应用前由于条件的限制不可能在真实系统上进行试验和研究，从而采用数字仿真的方法，即通过建立适当的数学模型来模拟实际的系统，在计算机上进行试验测试和分析研究［3］，这是目前解决含串补系统中汽轮发电机组次同步谐振试验研究困难的有效途径。在实际电力规划建设中采用数字仿真技术对电力技术人员分析汽轮机组轴系的扭振特性、研究次同步谐振的控制与保护配置有很大的帮助。MATLAB是一种用于工程计算的高性能语言［4］，它以矩阵计算为基础，并具有大量事先定义的数学函数，其编程代码接近数学推导格式，编写程序极为方便［5］，比其他数字仿真工具易操作，更加适用于电力系统的仿真试验。用MATLAB语言编写程序简单易学，运算高效，扩充性强、交互性好，电力技术人员通过在M文件下编写汽轮发电机组次同步谐振的程序，掌握其产生机理、发生条件及抑制措施是非常必要的。

1 建立数字仿真模型

数字仿真是用系统的数学模型在数字计算机上进行试验和研究的过程。 实现数字仿真一般包括建立数学模型、 建立数字仿真模型和仿真试验3 个主要步骤［6］。 本文所研究的汽轮发电机的次同步谐振系统模型采用IEEE 第一标准模型，如图1 所示。

图1 IEEE 第一标准模型

1.1 汽轮发电机系统的数学模型

建立电力系统数学模型是依据仿真试验的目的，经过对真实运行系统的调查和研究，确立能够描述系统特性的数学表达式［7］。

由于次同步谐振是发电系统中电气系统与机械系统相互作用形成的， 因此发电机系统的次同步谐振仿真模型由机械系统模型和电气系统模型组成。

1.1.1 轴系机械系统

大型汽轮发电机的轴系很长， 可以看成6 个弹簧质量块结构［9］，即其轴系模型包括高压缸（HP）、中压缸（MP）、低压缸（LPA 和 LPB）、发电机（GEN）和励磁机（EXC），如图 2 所示。

图2 汽轮发电机轴系模型

由图2（b）所示的每个质量块的受力分析，可得轴系上的数学模型为：

式中：M为惯性系数；D为阻尼系数；K为扭转弹簧系数；ω为角速度；θ为相位角；T为驱动转矩； 小角标i代表第i个质量块。

1.1.2 电气系统

图1 所示的电力系统中发电机经过升压传送后再经电容器接入到无穷大系统。 如果不考虑三相不对称的情况，可以忽略零序坐标方程，从而有该电气系统在dq0 坐标下的电压电流方程。

发电机的数学模型为：

式中：udq为发电机端口的电压矩阵，udq=［uduq］T；idq为线路上的电流矩阵idq=［idiq］T；AG和BG分别为与发电机参数相关的系数矩阵和常数项列阵。

输电线路R、L的数学模型为：

式中：Δudq为输电线元件R和L两端的电压降矩阵，Δudq=［ΔudΔuq］T； 输电线电阻矩阵Rdq=diag｛R，R｝；电感系数矩阵Ldq=diag｛L，L｝，p 为微分算子。

串联补偿电容C的数学模型为：

式中：Cdq=diag｛C，C｝。

将公式（2）-（4）联合，得到了图 1 所示系统电气量上的数学模型。

1.1.3 轴系机械系统与电气系统的耦合

在联合建立电气和机械方程时， 电气系统通过电磁力矩Te影响机械系统。 图2（a）中质量块GEN上的转矩由公式（5）求得，通过电气方程获得。 电磁转矩的计算公式为：

式中：ψ为定子电流产生的磁链。

机械系统则通过发电机转子的相位角θ和角速度ω影响系统xy0 坐标系与dq0 坐标系间的夹角，从而影响电气系统［10］。因此，本文所建立的汽轮发电机系统的数学模型， 充分考虑发电系统中电气系统与机械系统耦合影响， 从而保证机械系统模型和电气系统模型的准确性。

2.2 汽轮发电机并网系统线性化模型

图1 所示汽轮发电机经过升压变压器给电网送电，串补线路可以用RLC 电路来表示，无穷大系统的电抗用等效电抗来表示， 而串补电容与线路总电抗的比值代表串补度。

2.2.1 线路变压器和电源模型

将接入串补电容器之前的线路、变压器用RL 串联线路来等效， 于是dq 坐标轴下的RL 串联线路方程为：

式中：R、L为包括变压器和输电线路在内的总电阻和电感；ud、uq为等效 RL 两端的电压；id、iq为线路中流过的电流，ωb为发电机同步转速。

其线性化后的状态方程为：

式中：xRLT=yRLT=［ΔidΔiq］T状态矩阵与输出矩阵相同即，输入矩阵为uRLT=［ΔudΔuq］T。

2.2.2 串补电容线性模型

串补电容用C表示。串补电容器在dq 坐标系下的电路方程为：

式中：uCd、uCq分别为电容器两端电压的 d、q 轴分量；iCd、iCq分别为流经电容器的电流 d、q 分量，与线路上的电流id、iq分别相等。

其状态空间方程为：

式中：输入变量uC=［ΔiCdΔiCq］T，状态变量和输出变量xC=yC=［ΔuCdΔuCq］T。

2.3 数字仿真模型求解算法

建立数字仿真模型就是根据系统的特点、 仿真的要求和仿真计算机的性能， 针对系统的数学模型进行修改、简化，选择合适的算法，编制计算程序的数字仿真过程［11］。 从而使原来在时域上连续的非线性数学模型变成时域上离散的线性的和便于计算机程序实现的仿真模型。

仿真算法繁多，不同算法的适应性不同，需要根据具体的仿真系统和仿真要求选用。 一般根据稳定性高、健壮性好、简单且收敛性好的原则来选取。 本文中采用隐式梯形积分的方法来求解汽轮发电机组次同步谐振的数字仿真模型，如公式（10）所示。

式中：u（t）、ω（t）和θ（t）为待求的节点电压矩阵、各质量块的角速度矩阵和各质量块间的相位角矩阵；Ae为由系统电气参数确定的系数矩阵；Be为由前一时刻t-Δt的节点电压和电流表示的列阵；Am为由各质量块的惯性系数、 阻尼系数和扭转弹簧系数等参数确定的系数矩阵；Bm和Ba为由t-Δt时刻的各质量块旋转角速度和相位角确定的列阵；Δt为仿真时间步长。

对该模型已在文献［6］有详细的推导和说明，这里不再赘述。

2.4 数字仿真流程

数字仿真试验将仿真模型用计算机能执行的程序来描述，同时仿真程序应具有人机对话的功能，以方便为计算人员提供各种仿真结果的信息。 具体程序设计中包括仿真试验的要求，仿真运行参数、控制参数、输出要求。本文设计的汽轮发电机组次同步谐振MATLAB 数字仿真流程如图3 所示。

图3 电气—机械系统迭代求解过程

由于MATLB 语言不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，所以在求解数字图像处理问题时显得大为简洁、高效、方便，这是其它高级语言所不能比的［12］。此外，它能在同一界面上进行灵活操作，快速排除输入程序的书写错误、语法错误甚至语义错误，从而加快了用户编写、修改和调试程序的速度。

3 仿真验证

本文采用的仿真测试系统如图4 所示。

图4 次同步谐振系统图

在t<3.8 s 时，断路器S 处于断开状态，系统初始串补偿度为50%，系统单线路运行。利用所编写的程序对该系统的次同步谐振过程进行了仿真。 通过仿真计算获得了图5 所示的轴系低压缸LPB 转子与发电机转子GEN 之间的扭矩变化曲线。

图5 次同步谐振引起的扭矩变化

1）当t=3.8 s 时断路器闭合，改变系统的运行方式。

由图5 可以看出，在 0～3.8 s 轴系低压缸LPB 与发电机转子GEN 之间的扭矩变化振荡发散。 由于串补电容的存在，使得线路上发生LC谐振，其谐振频率为ωe=≈0.53 Hz，而轴系自然扭振频率中有一个为ωm≈0.47 Hz。 此时电气系统谐振频率和轴系某一自然扭振频率互补，即ωm+ωe≈1，使得电气振荡与机械振荡相互激增，也就是发生了次同步谐振。在3.8～5 s 轴系低压缸LPB 和发电机转子GEN 之间的扭矩变化由发散逐渐收敛， 由于系统运行方式的改变，电气谐振频率发生了较大的变化，此时次同步谐振的发生条件受到破坏，因此振荡被抑制。

2）当t=3.8s 时，不改变系统的运行方式，改变串补偿度。

将系统串补偿度由初始的50%分别降为35%和20%， 汽轮发电机输出有功功率波形分别如图6 和图7 所示。

图6 串补偿度35%时发电机输出有功波形

图7 串补偿度20%时发电机输出有功波形

当串补度改变为35%时， 从图6 可以看出汽轮发电机的输出功率波形基本平稳，不再发散；当串补度进一步改变为20%时， 从图7 可以看出汽轮发电机输出有功功率振荡由发散逐渐收敛。 这是由于串补度的改变使系统谐振频率随之发生变化，次同步谐振的发生条件受到破坏，因此振荡被抑制。

次同步谐振发生受到系统运行方式和串补度等多重因素综合影响。因此，在工程实际中考虑系统运行方式选择合理串补偿度可以有效防止次同步震荡的发生。

4 结束语

串联补偿技术在高压、远距离输电线路应用时，当系统在某种运行方式或补偿度下，输电的电气系统与汽轮发电机组的机械系统之间相互的作用会存在发生次同步谐振的情况，严重时会破坏发电机组轴系。本文以MATLAB为工具，研究了汽轮发电机组次同步谐振数字仿真过程。通过对实际算例进行仿真分析，验证了算法的有效性。

需要指出串联补偿电容常用在超高压及以上系统，这种系统中的线路分布电容较大，采用线路分布式模型代替本文的集中式模型来计算，结果将更为精确。